А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следствие С Если функции 51(г) иуа(г), аналитические в области ,ьл, совпадают па некоторой кривой Е, принадлежащей двиной области, то они тождественно равны в области й. Следствие 2. Если функции уг( ) и уя(г), знзлитическпе соответственно в областях Зх и 82, имеющих общую подобласть х, совпадают в хь, то супгествует ед1шственная аналитическая функция Р(з) такая, что Е(д) =— ~ А(~), е ЕЕ.ФИ ( .12 (л) з ~ йя Теорелге единственности и ее следствиям можно придать также следую1пие формы.
1' 11усть в областя й вь1брана сходящаяся к точке а ~ й последовательность различных точек е„~.ь. Тогда в этой области може~ существовать лишь единсгвепнзя аналитическая функция Д( ), принимаю1цая в точках „заданные значеш1я. 2«11усть в области й дана некоторая кривая Е. Тогда в " может су1песгвовать лишь единственная аналитическая функция у(г), г1ринимающая заданные значения на Е. 78 Рилы Аи глитичгских Функ!!гит !ГЛ, 2 3' Пусть в области -" лана некоторая подобласть Е .
'!'огдз в области г' может сушестнова гь ли~иь единственная аналитическая функция ~( ), приги1ьгающая заданиые значения в подоб. ласти в'. Если супгестнует фуикция /'(с), определенная в области Ч, о которой говорилось в 1', 2' и 3", то оиа может быть названа аналитическим продолжением в Р с множества ~ г„), линии!. или подобласти Ч'. Отметим, что задание значений аналитической функции иа соогветствугоигем миожесгве точек ие может быть произведено произвольно.
Однако мы здесь не будем обсуждать требования, которым должны удовлетворяаь эти зиачеиия, чтобы их можно было аналитически продолжигь в области к. ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОЛОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ фУНКПИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В этой главе мы рзссмотрим ряд фундаментальных следствий теоремы о единственности определения аналитической функции. Как было установлено, анзлитическая функщия однозначно определяется заданием ее апачений на некотором множестве точек в обласги се определения. Это обстоятельство позволяет построить аналити леское продолжение в комплексную область элементарных функций дейсптительной переменной и выяснить их свойства и колтплекспой плоскости.
Мы также кратко рассмотрим обптие принципы аналитического продолжения. й 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение с действительной оси 1. Продолжение с действительной оси. Теорема о единственности определения знали гпческой функции позволяет звтомзтически распространить на комплексную область элеменгарные функции действительной переменной. Предварительно отметим справедливость следующего утверждения; пусть на отрезке [а, Ь! действительной оси х задана непрерывная функция Г" (х) действительной переменной; тогда з некоторой области р комплексной плоскости, содержащей отрезок(а, Ь) действительной оси, может существовать только одна аналитическая функпли г"(з) комплексной переменной:, принимающая данные значения г (х) на отрезке (а, д).
1(азовем функцию г (а) аналитпчесмпж гтродолжентте.тт фунавйтгтт г (х) дейслтвпшельной переменной х в кощттлексн)тю область 5. Перейдем к рассмотрению примеров построения аналитических продолжештй элементзрных функций действительной переменной. Сред~и элеэ1ен~арных функций действительной переменной особую роль играют показательная функция е" и григонометрические функции Мп х и сов х. Кзк известное), эти функции могут быть заданы своими разложениями *) Определение и осиовиыс свойства этих фуикпии действительной переисипои см. вып. К стр. 41йт. Ео АнАлитическое Г!Родолжение элементАРные Функции !Гл, 5 в ряды Тейлора! ел (3.1) л=а хйлгг 5!ПХ= ~ ( — 1)л —, (2и+ !)! ' л =-О (3.2) у л Хйл соа х = ( — 1)л —, (2л)1' л=-О (3.3) причем эти ряды сходятся при всяком значении Ая Рассйготрим на комплексной плоскости следующие степенные ряды: айл г ( 1)л (2л+!)! ' (3.6) л=а э: ( 1) ( )!' гг=О (3.6) г )л йл лй П!' (3.7) л=.а ййл+й 5!и== "Э ( — 1)" —,— — —, (2л+- !)! ' (3.6) л=-О йй г сов а = ~~ ( — 1)л —, (Ел)! ' (3.9) л=а При действительных з=:=х выражения (3.4), (3.6), (3.6) и (3.1), (3.2), (3.3) соответствешю совпадают.
Как следует из теоремы Дбеля, областью сходимости рядов (3.4)— (3.6) является вся плоскость комплексной перемеггиоя, т. е. эти ряды представляют собой Целые фуикггии ком!!Лексиаи перемеииои г, "влягошиеся апалимшеским продела!ем!гей! па всю комплексную илоскОсть элЕментаРных фуиггпий деяствителы!ои иеремепиоя е.', Гбп х и соа ль 11ля внедеипых функаии естественио сохрани гь прежние обоаиачеиия.
Положим % 1! элементлРные Функции комплекснои пеРеа!енноп 81 С помощью функции е" построим пшерболпческпе функции комп- лексной переменной': е""-1-е г 2 ег е г ай»= —. 2 (3.11) В силу об1пих свойств аналитических функций эти функции также являются целыми. Аналогичным образом с помощщо основных тригонометрических функций а!п г и соа г путем формального переноса в комплексную область соответствующих определений могут быть построены и мп г ! остальные тригонометрические фупкпии: !е г — — — ', соаес еог г' г1п г и т. д. Эти функпи и уже пе являются пелым и, поскольку их аналитичность нарушается в тех точках плоскости г, где знаменатели определ1пощих их выражений обраща1отся в нуль.
Как будет показано ниже, для всех построешнях функций комплексной переменной сохраняются многие основные свойства соотве1ствую1цих элементарных функций действительной переменной. Это будет установлено иа основании некоторых об1пих положений, а сейчас мы посгрошч продолжение па комплексную область е1пе двух элементарных функций. рассмотрим следующие сгепепные ряды: е =-1 1 ) лы 2" и! [2л+1) е:.= 1 (3.1 3) КаК НЗВЕСтНО, ПЕРВЫЙ ряд е) СХОдитСя Н ШПЕрааЛЕ 0(Х(2, а ВтО- рой — в интервале — 1 ( х ( 1 к функциям действ1пельпой переменной 1пх и агсейп х соответственно. Как легко установить, степенные ряды (3.!гу) и у 1.
3... (2п — 1) г'"ег + д 2" . и! (2л+!) (3.! 3') и =! *) См. вып. 1, стр. 275, где приведено рагложеиие 1и (1-(-у), замена У=г — ! дает (Г.!2). 82 АнАлитическОе пРОЛОлжение. злехгентАРные Функции !Гл. а сходятся первый — внутри круга '. 2 — 1) <1, а второй — внутри круга ! 2, < ! и на соответствую1дих отрезках действительной оси совпадают с рядами (3.12) и (3.13).
Поэтом> аналитические функпии комплексной переменной 2, определенные с помощью рядов (3.12') и (3.!3') внутри их кругов сходнмости, являются аналитическим продолжением на соответствующую комплексную область элементарных функций 1и х и смсейп х действительной переменной х. Для этих фупкпий мы также сохраним прежние обозначения, положив 1)л 1 (2. — 1)~~ и=г с~ ! ° 3, (2п — !] 22" 1 агсейп 2 = 2+ 2!а и! (2л+ 1) п=1 Ответны, что фупкпии (3.14) и (3.15), в отличие от введенных выше функпий (3.7) — (3.9), уже не являются целымн функниями, так как определяющие их ряды сходятся пе на всей комплексной плоскости, а лишь внутри кругов единично1.о радиуса. Свойства этих функций также будут рассмотрены несколько позже.
Отметим только, что функпия (3,14) в круге ',2 — 1',< 1 совпадает с введенной иным 2 способом в гл. 1, стр. 45, функпией 1пз= 31 —, так как обе эти аналитические функпии определены в указанной области и совпадаюг на общем интервале действительной оси 0 < х < 2 с одной и гой же функпией !их. Поэтому для обеих функпий мы используем одно Г 2Р' и то >ке обозначение. Тем самьм| и функпия Г(2) = т -„., определенная на комплексной плоскости 2, разрезанной по огрипагельной части действ1пельной оси, является аналитическим продолжением функции )их на соответствующую область.
В заключение заметим, что если фупкшгя у(х) действительной переменной х задана своим степенным рядом (3.1 6) сходящимся на отрезке ]а, Ь], то существует аналитическая функпия г" (2) комплексной переменной 2, явлюо1цаяся аналитическим продолжением 7'(х) в комплексную область Я, содержашу1о отрезок ]а, ь] действнтелы1ой оси. указанное обстоятельство позволяет называть функпию действгпельной переменной у(ж), представимую 5 и эльлшгплг пыв гоикции комгглвксиоц пгявмшшои 83 рядом (3.16), аналитической фуикциея. 1)ацомиим в), что функция деяствигелшгоИ переменной, представимая иа отрезке (а, (г] степеи.
иым рядом (3.16), имеет иа этом отреаке производные всех порядков. Очевидио, аналитическим цродолжеиием ироизводиои 7'г"г(х) в область у является производная гт"г(е). 2. Продолжение соотношений. Перейдем к рассмогрешцо дальиейших следствий из теоремы о едиисгвеицости определения аиа.чигическои функции. Эга теорема позволяет це только строить аиалгпические продолжения элемецгарпых функций действительной переменной, по и аналинитесна ггродолвгсагль в но,гггг,генсную область соотношения, илгеюигие лгесто между соответетвуюшими фУикицями действительной переменной. В качестве типичных примеров рассмогрич, во-первых, соотношения вида щи' х + сочв х =- 1, егьх (3.17) (3.1 8) и, во-вгорых, соотношения вида ею .
егь — ею -~-к. (33 9) сов (хг+ хг) = соа хг соч хл — 5гц хг 5гв х . (3.20) комплексной переменной, Согласно общим свойствам аналитических функции (см. гл. 1 стр. 33) с (=) является целоИ фуикциея е, причем для деиствитечьиых значений е=х (в силу (3.17)) Г(х) =О. Отсюда по геореме едииствеииосги мы и получим, чго иа всей «олгплексиой плоскости - выполняется соотношение (3.21) гбп' « + созе а = 1. Подобные же рассмотреиия могут быть проведены и для доказательства справедливости в комплексиоя области выражения (3.18) и других соотношений, связывающих различные аиалигические функции одной комилексиоИ перемеииоИ. Однако иет нужды каждый раз проводить специальное исследование, а можно сформулировать общую георему. *1 Слг. выл.
2, стр. 328. Соотношения (3.17) и (3.18) устанавливают связь между различшами фуикциячи одиоИ деяствительиоя перемеиноИ; в соопюшеиия (3.19) и (3.20) входят функции нескольких псремециых. Эго одни из основиых соотношения для элеыеитарпых фуикциИ деистиигельиых перемеииых. Естесгвеигго поставить вопрос: останутся ли оци справедли- ными для аналитических продолжения элемеитариых функция в комплексиую обласгь? Устаиович, что тождестяо (3.17) остается справедливым и в комплексиов области.
Для этого рассмотрим фушщию Е (з) = 5гва е + созл з — 1 84 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛ)КЕНИГ ЭЛГМГНТАРНЫЕ ФУПКПИИ !ГЛ. 3 Пусть дана функция Р [шз, ..., ш„] комплексных переменных шз, ..., шо„аналитическая по каждой переменной о) шз Е= Г)1 и такая, дй что она сама и ее частные производные —. непрерывны по соводюг купностп переменных шл, ..., ш„. Обладакяцую указапньцш свойствамн функцию гг[шл, ..., Те„] будем называть анзлптнческой функцией многих комплексных переменнь)х. Пусть даны л функций ул(г), ...,у„(г) комплексной перемешюй , определенные в области У комплексной плоскосгн г, причем гг(г) ~ 01.
Ьудем говорить, что функции Яг) удовлетворяют соотношению Р [уз(г), ..., У„(г)] = О на множестве М, если зто соотношение удовлетворяется во всех точках г ~ М. В дальпейшел1 будем рассмагрпвать соотношения, задаваел)ые только аналитическими функциями многих комплексных переменных. Имеет место теорелгп З.т. Осли функции уг(г) нвлнютсн аналитпчеснпшн функцпнлт г в области У, содержащей отрезок [а, Ь] действительной опг х, то из соотношенгпн Р [у'г (х), ..., ~„(х)] = О лр~ а(х -.Ь следУет соонгношение Г [Уз(г), ..., ~„(г)]=О ЛРп ге= У. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы достаточно показать, что при сформулированных условиях функция 1)) (г) = =Г [Уз(г), ..., У'„(г)] ЯвлЯетсЯ аналитической фУнкцней комплексной переменной г в области У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
