А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 16
Текст из файла (страница 16)
определяется расстоянием от центра разловгения до границы области аналипшпости функции 7'(з) == — — -„ 1 1+ с'Р 1 1!айдем теперь разложепие функции 7( ) = — -,— „в ряд Тейлора 1., а в круге )з — 1(()~'2. Определение коэффициентов с„ряда ~~Р ги(г — 1)" по формуле (2.1Г>) в данном случае связано с довольно ч — Н ! ! ! 1 громоздкими вы ~ислевиямш г(оэтому, иредставив — г ——— 1+зч 2! !г — ! 1 — — и воспользовавшись формулой (2.10), сираведливои в дава+!! ном случае ирп условии ! з — 1 ( . р' ч, иолучим 74 Ряды лналитн'гескнх Фхнкцнгт 1гл, г Как следует из формулы Коши — Адамара, радиус сходимости ряда (2.18) равен У~2, т.
е. опягь опредечяегся рассгояпнем от цегпра разложения до границы области аналитичности рассматриваемой функции. П р и м е р 2. В ка ~естве следуюпгего примера рассмогрим раз« Г чй ложение в ряд тейлора функции у(г) =!п г = 1 ", введенной в гл. 1 (стр. 45). Выше было установлено, что эта функция является аналипрческой на всей комплексной плоскости с разрезам по отрицательной части действптельпой оси, а следовательно, и внутри круга ; 'г — 1 '(1. Полагая г„= 1 и вычисляя коэффициенты с„по формуле (2.16), получаем 1 г г —.1 (и — 1)! ср =!и 1 Ср=„'! Отсюда 1п г= ~~ ( — 1)" '— (г — 1)" и и=! (2.19) Как легко убедгпься с помо~пью признака даламбера, кругом сходимости ряда (2.19) являегся круг , 'г — 1 )( 1.
В 3. Единственность определения аналитической функции Уже изученные нами свойства функций комплексной переменной позволяют заключить, что для определения функции, аналитической в данной области, можно ограничиться заданием значений этой функции пе во всей области. Например, задавая значения аналитической функции на границе области, мы с помощькр интеграла Коши можем определить ее значения во всех внутренних точках области. Тем самым функция, аналитическая в данной области, определяется заданием неполной информации о ее значениях в этой области.
Естественно поставить вопрос: какова та «мннимальиаяь информация, которую надо иметь, ггобы полностью определить функцию, аналитическую в данной области? 1. Нули аналитической функции. Предваригельно введем понятие нуля аналитической функции. Пусп, у( ) является аналитической функцией в области э. Точка гр ~ рт называется нулем ?"(г), если ?'(гр) =- О. Из разложения г(г) в окрестности точки г, в степенной ряд, ? (г) = — ~' ги(г — ,)", следуег, ыо в данном случае коэффиции р Вз) вдинствшпгэсть опггдвлеиия аналитической фьнкнии 7б ент г,=О.
Если не только коэффициент с,, по и коэффициенты с„ гм ..., сь т равны путо, а коэффициент сь отличен от нуля, то то>ка «о называется нуле.к /г-«о порядка функции /(«). Согласно формуле (2.9) в пуле /г-го порядка не только сама фупке>я, по и ее первые /г — 1 производных равны пулю, а й-я производная отлична от нуля. В окрестпосги пуля порядка /г разложение функции /(«) в степенной ряд имеет вид .у(«) =-- ~" . (« - «.)е =- л.=- ь .-(««О) ~, г -гг(= — «о)л=(« — «о)г ф( ) (2.20) л — — О где гр(«) является аналитической фушьпией в окрестности точки «о, разложение которой в сгепепной ряд имеег впд гр(«) =- У сл,ь(« —,)", причем гр(«о)„-а=О. Огмегим, по последний ряд сходпгся в том же круге, что н исходный. 2.
Теорема единственности. Перейдем теперь к формулировке основного г>ело>кения данного параграфа. Теорема 2.7. Пусть функция гг(«) являепгся аналитической В Обпасти .'Э и ОбРаигаЕтеп В НУЛЬ В РаЗЛИЧНЫХ тОЧКаХ «л Е= У, и=-1, 2, ... Если последовательность 1«л> сходится ь пределу а, ггрггнадлежаиге.ггу той же облагпш, то функция /(«) тождегпгвенно равна нулю в облашпи Ю, /доказательство. 1Ок как ае=я, то функцию /(«) можно разложить в с>епепной ряд в окрестности данной точки: /(«) =- =- ~~~ е„(« — а), причем радиус /чо сходимости данного ряда пе л=.о мепыпе расстояния от точки а до границы области. Из определения непрерывности фупкшш /( ) следует, что /(а) —.О.
Ого>ода следует, чго со=О, и разложение функвги /(«) в окрестности «=а имеет вид /( ) —..-( — а)/д(«), где гд( )=- ~ сл,г( — а)", л=-О БудЕМ ПрсднапататЬ, '>тп ВСЕ ТОЧКИ ПОСЛЕдааатЕЛЬПОСтн ', л> ОТЛИЧНЫ ог а. Это пе уменьшает общности наших рассмотрев>и, гак как только одна из этих точек могла бьиь равна а. В силу последнего условия /,(«л):= О, и по определению непрерывной функции /г(а) =-О. Огс>ода г, =-О, и разложение /т( ) в окрестности а принимае> вид уг(«)=-.(« — а)/О(«), Гдс /О( ).= ~ Гл О(« — а)". АНаЛОГИЧНО ПрЕдЫ- л=о 76 Ряды АИАлитичнских Фхчпн1ии д)чцему получим, чго и А(а)=.-0, т, е, г,=О.
Продолжая неограниченно данный процесс, получим, что все коэффициенты сч в разложении у(г) в степенной ряд у()= ~ г„(- — а)" п.=о в окрестности точки а равны нулю. Отсюда следует, что у (г) = 0 ннугри круга ! г — а; :( йо. Обрагиэгся теперь к доказательству «) тождественного равепсгпа функции у (г) нулю во всей области э'. Дос~азочпо показать, что у"(гд) =О, где г,— произвольная точка области Ю, лежшцая нпе круга ! г — а ~(йе. Для эзого соединим то псп а и -, снряиляемой кривой 1., целиком лежапгей в У и отстоящей ог ее гранины на расстояние пг) О. Поскольку люб)чо то'шу круга, = — и! (йо, лежащую внутри области У, можно рассматрпвагь как предел последовательности нулей функции у(г), то, выбрав в качестве нового пептра разложения последшонз точку г = а, пересечения кривой 1. с окружностью.
! г — а '.= йо, получим, что у(г) = 0 внутри круга ! г — аг,'~йт, где й, янг1. Г!родолжая аналогичным образом, покроеи всю кривую 1. конечным числом кругов, радиусов, не иеньших г(, внутри которых г'(г)=0. При этом точка г =ад попадает внутрь последнего круга, тем саьггям у'(гт)=0. Поскольку хт — произвольная точка области ет, отсюда следует, что )(г) — = 0 в м. А(оказаггная теорема имеег ряд важных следствий. Следствие С Функция у(х)„=йО и аналитическая в области е, в люоой замкнутой ограниченной подобласти К области У имеет лишь конечное число нулей.
Если мноэкество нулей функции у(г) в области Ю' бесконечно, зо по теореме 1.2 из пего можно выделить сходящу~ося последовательность (г„)-эа, причем предел а этой последовазельности принадлежит э'. Отсюда у(г) = О в Уг, что противоречит условию. Следствие 2. Если точка гп е= М является нулем бесконечного порядка "") функции у(г) (т. е. в разложении у(г)= ~, с„(г — г,)" н=о в окрестности точки ао все коэффициенты с„= О,, то у (г) = 0 в области 3, Следслгвие 3.
Аналитическая функция может иметь бесконечное число нулей лишь в открытой илн неограниченной области. ') Зто доказательгтно проводшся аналогично доказательству на етр. 51. **) Очевидно, прн этом н сама функция 1(г) н нсе ее проязнодные в точке г„равны нулю. 7! я 31 единственность Опягде.чеии51 лиллитической Функции Функция комплексной переменной, аналитическая на всей комплексной плоскости (з па со), называется целок функцией.
Из предыдущих рассмотрений следует, что пелая функция в любой ограниченной части комплексной плоскости имеет лишь конечное число нулей. Следовательно, все нули целой функшш можно перенумеровать в каком-либо порядке, например в порядке возрастания их абсолютных величин. На полной плоскости целая функция может яметь лишь счетное мноя<ество нулей, причем предельной ~очкой этого множества является бесконечно удаленная точка комплексной плоскости. Целые функции игракн важную роль как в теории функций комплексной переменной, так и в ее приложениях.
Творе.ма 28. Пуспгь функя1ш Д( ) п гр(е) являются аналптпческплпг в области й, Если в У сугцесягвует сходягцаяся лг некопгоРой тогке а е= 3 последовательноснгь Различных гпочек ( «п), в которых значения функций г(е) п 1р(з) совладают, то г'(а)= =1Р(-) в А Для доказательства теорелгы достаточно с помощью теоремы 2.7 установить, что функция ф(а) =.у(а) — 1р(з)=0 в гх Теорема 2.8 имеет чрезвычайно большое значение, поскольку она означает, что в данной области х может существовагь лишь единственная аналитическая функция, принимающая заданные значения в последовательности точек ( зп), сходащейсЯ к точке а ~ й. ЗтУ теоРемУ называют теоремой единственности определения аналитической функцгш Часто применяются следующие следствия теоремы единственност и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
