А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отображения элементарных функций. В заключение дзпиого параграфа, посвяитепного элеыешгарнгам функциям комплекснои переменной, рассмотрим некогоргяе геомегрические свопсгва отображений, осуществляемых э~ими функциями. 11ачием с простейших примеров. П р и м е р !. В гл.
! была рассмогрепа просгеншая степенная функция си =- за. Рассмотрим теперь огображение, осуществляемое функцией л аа =- з 13 А 8) где и — произвольное целое число. Эга функция, очевидно, является пелои фуцкциеи. Для изучения геометрических свойсгв ее огображения удобно воспользоваться показа ~ельцои форлгои записи комплексных чисел: г —.- реги, ти =- гегч =-.
р"еы'~', из которой следует, что 2л любой сектор "' ') с центральным углом сг =- — плоскости з дани ной функциеи отобраькается на полную плоскосгь ти. Разли шые впутрешгие гочки мого сектора отобрамгсзиогся на различные точки плоскости ти. Прп этом границы сектора переходят в один и тот же луч ф = ф„на плоскости ти. Для установления взаимно однозначного соответствия ме:кду областшо одцолисгноспг функции г" и плоскостшо м будем счигзгчч что нз плоскосги ю произведен разрез по лучу ф.=фа и границам данного секгора плоскости г сопоставлены '2л различные бере~а разреза. 11апример,сектор О=-гр.=.— ' плоскости и фупкциеи 13.48) огобрамсается на полную плоскость ти, причем обе границы этого сектора, лучи ! и П на рис. 3.1, переходят в положи2л . 4л тельную часть действительной оси и плоскости ти.
Сектор ---.=-. гр-.=— и ' - л также отображается на полную плоскость нг и т. д. Поэтому геоиеарическни образ функции вв = з" представляет гобои плоскосгь ти, повторенную л рзз. Тем самым отображение полной плоскости з на полную плоскость в, осуществляемое данной функцией, ие является взаимно однозначным. Однако, если в качестве геометрически~о образа функции ы рассматривать более сложное многообразие, чем обычная комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения. Будем считать, чго мы имеем л экземпляров !листов) плоскости ы, разрезанной по положительной части действительной оси, на кзакдои из которых аг!! ш изменяется и пределзх 2л(й — 1) =агню( 2л 2л ---2л!г, где гг=1,2,...,гг.
Сектору — (А — !)==.гр(:- уг плоскосги з л л *) Бм. стр. 29-.30. я') Здесь нод сектором мы понимаем заикиутую область вместе с ее границами. Э Ц ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУИКЦИ!Г КОМПЛЕКСНОП ПЕРЕМЕЧНОП 91 функция (3.48) ставит в соответствие 1г-й лист плоскости тгг,.
луч Хч гр = — (г1 — 1) переходит в верхний берег разреза 1г-го листа, а луч ай = — — в нижний берег разреза этого же листа. Построим из этих листов пепрерывцое геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению гочки иа плоскости соответствовало непрерывное движение гочки тп па данком многообразии.
Т(ля этого заметиьг, что нижний берег раареза А-го листа и верхний берег разреза (1г + 1)-го листа имеют один и тот же аргумент фь = 2п А. Когда точка г в своем Рис. З.1. непрерывном движении по плоскости переходит из одного сектора н пру~ оп, соогвегстнуюидая ей точка ю переходпг с ошюго листа плоскос1и тз па соседний лист. Очевидно, чгобы сохранить цепрерывпосп отображеиця, мы должны соедииить соседние листы, склеивзя ипжпнй берег разреза 1г-го листа с верхпиаг берегом разреза (11+1)-го листз.
Прп этом оса аюгся свободными верхний бере~ разреза 1-го и нижний берег разреза и-го листов. Пусть точка совершит пз плоскости з полный оборот вокруг точки = О, последовгпельпо пройдя через все л секторов этой плоскости, начиная с первого секторз, п верпегся к своему первоначальному положеншо. 1огда соотвегсгг~ун)гцая ей точка пг пройдет л листов, и, чтобы онз вернулась на первый лист, пздо склеить остававшиеся свободпымп берега разрезов на 1-и и и-м лпстах.
Тем самым полной плоскосп1 з фуикпия ю =- зл ставит в соогвегсгвпе л листов плоскости м, склееппых указанным выше образом. Такое геометрическое мпогообразпе предсгавляет собой чзстпый случай так Называемой ргглганозог1 позерхногьчи. Функция в-= -" является и-лисгной фуцкцпей. П р и и е р 2. Рассмотрим озображеипе, осуществляемое фупкппей тв=е.
Из представления (З.З8) следует, что эта фупкция каждому комплексному числу г = х+ 1у ставя г и соответствие комплексное число гз, модуль которого есть е', а аргумепт у. аэто озиачаег, что показагельпая функция гп =е' производит отображение прямой у — —. =Уз плоскости з иа лУч агк м= Ра плоскости ю Как легко видеть, э2 хнллит!о!еское продолжение.
элементарные Функции ии!. 3 полоса плоскости з, ограппчеипая прямьыш у=О и у=-2Л, переидег в полную плоскосп жч ирп !си грашишыс прямые у = О и у =. 2л будут о!обража!ься па одпп и !от гке луч плоскости ев — положительную час!ь дейс!вигельиоп оси и (рис. 3.2). 1!ри этом устаиавлпвастся взаимпо одповиачпое огображепие о!крыгоц обласгп О<у(2л иа плоскость ев с выброшеипоп положигельиои частью депсгвительиои осп и. Чгобы установить взаимно однозначное огображеиие соогветствуюших замкнуть!х областеи, будем счгпать, что произведен разрез по положительной части дейсгвпгельиои оси и и ус!аиовлеио взаиьшо + Рис.
3.2. однозначное соответствие между верхиим берегом разреза и прямой у=О, а также между Нижним берегом разреза и прямой у=2л !тоскосп! . Итак, показательнан функция е' производит взаилгно однозначное отображение пологи Π—.='у-:-. 2л плосгсости г на полную плоск!эсть ас разрезанную ао лололсиигельнои !асти дейсгивительной оси н). Аналогичным образом усгаиавливается, чго показательная фуикпия производит взаимно одпозпачиое отображеиие любой полосы 2л п=.-у--2п(и+1) (л=-О, +-1,...) плоскости г иа ту же полпую плоскость гв с разрезом вдоль положптельпои части депсгвигельпоп осп и. При этом точки гя=хь+гуь и с!=-ха+!(уь+2п/г) (и †- -~- 1,:~т 2,...) переходят в одну и гу же !очку плоскости то..'его означает, что показательная функция являетггг бссконечнолистнои периода !есной функцией колтлексной пере.пенной з с жнп.иылс перподолг 2лг( Облзстью ее одполиспюсгп является любая полоса у„( <у(у„+2л, огображакяпаяся иа полну!о плоскость гв с разрезом, по лучу аг(( ю =-у„.
Замепим, чго аргумепг то па плоскостях, соогвсгс!вуюгдих различным полосам 2л-п =-.у=-2л(и+ 1) (и=0„1, ...) изменяется соогвегствеппо в различиых пределах. Теы самым мы получаем бескопечиып набор различных экземпляров плоскости ш, раз- *) При этом граивпа полосы гГ=.О персьодит в вррхииа, а граиипь р =- 2л — и ишквий берег рсюре 1а плосьосш ы. а О элементАРг!ьге Функции кОмплекснОЙ пеРеменнОЙ 93 резанной по положпгелыюй части депстви1ельноп осн а. '!тобы непрерывному двиъешпо точки» на плоскости», прп кагором она переходнг из одной полосы в другую, оавечало непрерывное движение та, сон гветс|вуняцпе экземпляры (лис гы) плоскости ав должны бьыь соединены между собой, причем, очевидно, нерхнпп берег разреза п-го лпсга должен быль соединен с нижпиы берегом рззреза (и — 1)-го листа и пижпин берег разреза п-го листа — соединен с верюшм берегом разреза (и+1)-го лисга.
Г!олучеппое геометрическое многообразие образует бесконечнолистную раманову поверхность. Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для тригонометрических функция комплексной переменпоп. Сразу заметим, чго в силу формул (3.34), (З.Зб) тригонометрические функигггг являются бесконетнолнстньытт фуньч!ггялггг колтлекснай переменной», периодическип.ни с действительным периодам 2л. Так же, как и в случае функции е", нетрудно рассмотрегь геометрические свойства отображении, осуществляемых тригономегрнческими функцияни. зты ограничимся лишь функциеп соз».
С помощью установленных выше свойств тригонометрических функция получаем соз» = соз (х+ 1у) = и (х, у) + !аз (х,у) =- соа х с!ту — 1ып л. я!ту. Отсюда следует, по прямую х = х, плоскости» функция соз» отображает в ветвь гиперболы аь — =1 соан хь ып' »ь (3.49) па плоскости та. ПРи 0(хн с:.',,- пРЯмаЯ х=-хь пеРеходиг в пРавУго вегвь гиггерболы, а прямая х=-л — хь — в ее левую ветвь.
Как легко усгановитгн все гиперболы (3 49) являются софокусцыми, причем их фокусы лежат в точках -+ 1 действительной оси и. Прямая х,=— 2 функцией соа» отображается на мнимую ось и плоскости тв, а прямые х,=О и хь=л — в лУчи 11,со) и ( — сэ,— 1] дейсгвительноп оси и плоскоспг их причем при движении точки » по даппоп прямои (например, по прямой х„= 0) соответствующя!1 луч проходгыся дважды. Тем самым функция соз» осугнеснгвляет взап.яна однозначное отображение полосы 0 ==х-:. л плоскости» на полную плоскость э, разрезанную па лучадс действительной оси ( 1,СО ! и ~ — сю, — 1$. При этом верхняя полуполоса О.--.х-:==л, у.»0 переходит в нпжн|ою полуплоскость п ~ О, а нижняя полуполоса 0 -.. х -=-, л, у<-0 — в верхнюю полуплоа<ость Э~О, что отмечено соотве~сгвуюпген штриховкой на рис. З,З, !!ак легко видегь, следующая полоса л--х.
-2л фупкинен соа» огображаегся па ту же полн)По плоскосп, та с разрезами по лучам деяствнпельнон оси (1, Оэ) и ! — Осй — 1). '1 ак как соз (»+л) = — соз», го верхняя полуполоса л=. х-..-2л, у » О переходиг в верхнюю полуплоскосгь п»0, а нижняя полуполоса 94 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛУКЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ !ГЛ. 3 и ..=х-.=. 2л, у(Π— в нижнюю полуплоскость и - О (рис. 3.3). Аналогичное положение, очевидно, имеет место и для любой полосы лп -- х (л+ 1) и. Отппда следует, ч го областью одиолистносч и функпни созг является полоса лп(х((н+1)л. Функаггя соз представляет собой бескоиечполисгную функцивь а ее обласчью значений является бесконечнолистная риманова поверхность, получающаяся путем склеивания плоское~ей гв, разрезанных по лучам дейсгвигельной оси [ — ОО,— !] н [1,ОО], по соответствующим бсрегам разрезов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
