А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как г„(г) является аналитической функцией в З, то для любой точки г ~ У имеет место соотношение —.„—, — — — ат„о!(Ь = г„(г). Причем, согласно только что доказанному утверждению, г„м (з) представляет собой остаток ряда ~Х, пго>(з). В силу равномерной сходимости исходного и=! ряда ~~ сс„(з), для любого в.»0 можно указать такое )о', что на и контуре С при п= оо' имеет лоесто равномерная оценка (г,(ь)!( оп!Гоо! (в ° ", где (.— длина контура С.
Тогда (ь — а о" 64 Ряды АнАлити"!вских Функции' !Гл, я для всех г ~ .ьл одновременно, что и доказывает утверждение 3). Приведенное доказательсгво относится к случаю одпосзязпой области У. Случай многосвязной области рассматриваегся аналогично.
Итак, теорема доказана. Заметим, что примененный метод доказательства позволяет доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой замкнутой подобласти З' области у, даже если исходный ряд (2.3) сходи~ся равномерно и в замкнутой области. Как показывают просгые примеры, из равномерной сходпмости ряда (2.3) в замкнутой области У не следует равномерная сходимость в этой области ряда, ъз гл сос.гавленного из производных. Например, ряд 7 — сходится равно- Л! и=! мч гл! мерно в круге !г)=1, а ряд г —, состзвленпый из производных л л=! членов исходного ряда, не моакег сходиться разномерно в круге ', з , ,'=-" "1, тзк как оп расходится прп г=-1. Таким образом, утверждение пункта 3) теоремы о равномерной сходимосги ряда, составленного из производных, лишь в замкнутой подобласти исходной обласю! пе может быть, воооп!е говоря, расширено.
Сделаем еще одно замечание. При доказательстве теорем! 2.3 мы предполагали равномерную сходимость ряда в любой замкнутой подобластн У' области У. Ясно, что теорема тем более будет иметь место при условии равномерной сходимосги ряда (2.3) в замкнутой области ьг, Как показывае! нижеследую!цая теорема, последнее условие может быть заменено условием рзвномерной сходимости ряда (2.3) на границе Г области У. Теорема 2.4 (вторая теорема Вейеригтрасса).
Пусть функ- П!и п„(г) являются аналитическими в области ьг, непрерывными в г и ряд 5', п„(г) сходится равнолгерно на гран!це Г зтой облил =- ! слт. Тогда ряд ~ и„(з) сходится равнол!ерно и в Х и=- ! Л о к а з а т е л ь с т в о. Разность частичных сумм данного ряда, функция В„ьр(г) — 8„(г), как конечная сумма аналитических функций, является аналитической в у и непрерывной в у. Из равномерной сходнмости на Г следует, что ! В„ьр (С) — Я„(~) ( = , 'сс„,р (г„) +...
+ и„ьт (~) ' ( е прн п=. 1!г для любого натурального р н всех точек ь и= Г одновременно. Следовательно, по теореме о максимуме модуля апалипшеской функции 1ол.р(г) — 8„(г)!(в при я)М для любого натур;лы!ого РЛВНОА1ЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУНКЦИЙ з 11 р и для всех» ~ А Тем самым для данного ряда выполнен критерий Конпп что и доказывает теорему. 3 а меч з н не. Очевидно, что все докаванные выше свойства функциональных рядов справедливы и для функциональных последовательностей.
4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. В гл. 1 мы, рассматривая свойства интегралов, зависящих от параметра, ограничились лишь случаем собственных интегралов по кривой С конечной длины. Теорема Всйерштрасса позволяет обобщить полученные резульлаты на случай несобственных интегралов. Будем рассматривать зависящий от параметра несобственный интеграл первого рода Р (») = ) 7"(», с)г(~ по неограниченной кривой с.
пусть функция двух с комплексных переменных г'(; и), определенная при» ~,Р и ь е= С, удовлетворяет тем же условиям, гго и гр(», ь) в б 7 гл. 1, а именно: а) Функция у"(», г) при любом значении ~е-=С является аналитической функцией» в области А б) Функция У(», ь) и ее производная - (», ь) являются непрерывд1' ными функщшми по совокупности переменных», ~ при» я,Р и г, я С. Пусть несобственный интеграл первого рода )у(», ~)д~ сходится с равномерно по параметру г в любой замкнутой подобласти У области д.
Это означает, что при любом выборе последовательности конечных кривых С„, составляющих часть С, при С„-ч. С функпиональная последовательность и„(») = ~ 7" (», ~) д~ сходится равномерно си в 3' к функции В(»). 7!егко показать, что при выполнении всех перечисленных условий функция Р(») являешься аналитической в в и Г (») = — — (», ь) ль. Лействптельно, как доказано в й 7 гл. 1, собственные интегралы— функции и„(») = ~ 7(», ь) г(ч являются аналигическими функциями в .Ф с„ и п,(г) = ~ д--(», ь)г(ь. Последовательность (н„(»)) сходится к гг(») Г д1' д дг равномерно я любой У. Следовательно, по теореме Вейерштрасса функция Р(») — аналитическая в,Ф и Г' (г)= -(», ь)ггь.
дг 66 1гл г РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ й 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора 1. Теорема Абели. В предыдущем параграфе рассматривались общие функциональные ряды (2.3), причем вид функций и„(г) не конкретизировался. Очень важными являются так называемые степенные ряды, для которых ие(г) =сл(г — г,)", где с„— некоторые комплексные числа, а га — фиксированная точка комплексной плоскости. Члены РЯДа ~ С„(г — га)н ЯВЛЯЮТСЯ апапитИЧЕСКПМЯ фУПКПИЯМИ На ВСЕИ и .= О комплексной плоскости, поэтому для исследовзния свойств данного ряда могут быль применены общие теоремы предыдущего параграфа. Как было установлено, многие важные свойства являются следствием равномерной сходимости. Тем самым при исследовзнии степенного ряда ~ с„(г — .,)" важно установить облас~ь его равномерной схоч=а димости.
Сразу заметим, что область сходимости степенного ряда определяется видом коэффициентов с„. Например, ряд ~Х~~и!(г — г,)" О=О сходится лишь в одной точке г = г„. Лействительно, отношение молулея двух последовательных членов ряда ~ — Оы ~ =(и+1), 'г — ге ,', ) 1 ил при любом фиксированном значении г ~ г„, начиная с некоторого М(г), что, согласно рзссмотрениям стр. 58, свидетельствует о расходимости данного ряда.
С другой стороны, с помощью признака Лаламжч (г — г,)" бера легко установить абсолютную сходимость ряда у ' при л! ч =- О любом г. Лля определения области сходимости степенного ряда существенная оказывается следукицая теорема. Теорема 2.5 (теорема Абеля). Если степенной ряд сл(г — г„)" сходится в некоторой тоске г ф г, то он абсоч=а люгино сходится и в любой точке г, удовлегиворяюиОей условию /г — е„,'( гг — гО ~", ггричелг в круге ~г — ге ( ==р радиуса р, лгеньшего ! гг — гя ~, ряд сходилгся равно,керна. Л о к а з а т е л ь с т в о.
Выберем произвольную точку г, удовлетворяющую условию ~ г — гО! ( , 'г, — га ~, и рассмотрим ряд ~ с„(г— и=о — г,)", Обозначим !г — г,!=О) ' г,— ге~О а(1. В силу необходимо~о условия сходимости ряда ~„с„(:, — г„)" его члены с~ремятся к нулю О=О степенные Ряды. Ряд тенлоРА а г! при и — » оо. Следовательно, сушествуег ~акая консгапта Л, что 'еи' ,'«г — га!О-.гУ!. Отсюда для коэффициентов си данного стенен- М ного ряда получим оценку ',с„~ =, „, Тогда = 'г,— га,,"' '~У е !г — г,)п = У ел' ~г — га',л'(Л У " ~".
Г2.8) и.= О и — -- О и =- О г — га Г1о условию теоремы число г).—.-~ — — "~ (1, Ряд ~~ !Гп, Представал и=О ляюшии собой сумму бесконечнои геометрическои прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, сходится. Тогда из 12.8) следует сходимость и рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сходимосгь ряда 1' с„Г« — «О)и в круге ', г — г, ~ — р( гт — га, достал —.= О точно, в силу признака Веиершграсса, Построить сходяшидся число- вой ряд, мажорируюшиИ данный функциональный ряд в рассмагрии ваемоИ области.
Очевидно, таковгям является ряд Л», ~ 'г,— г, "' л= а также представляюшии собой сумму бесконечнои геометрической Прогрессии со знаиенагелем, меньшим единицы. Теорема полностью доказана. Из теоремы Абеля можно вывести ряд вавгных следствии. Следствие У. Если пененнои ряд ~ч , 'с„! —,)и расходится л =-О в некоторой точке «,, то он расхо.ются и во всех точках г„удовлетворяюгцих неравенству' г - — г„, > ' 1!реднолагая противное, получим, что по теореме Абеля ряд должен сходип,ся в лнабом круге радиуса р(~г — га(, в часгности и в точке «,, по Противоречит условию.
Рассмотрим точную веркиною грань Й расстояниИ вЂ” г„' от точки «„ до точек г, в которых сходится ряд ~", с„!» — г,)". Если и =-О А» ~ оэ, то во всех точках г', удовлегворяюьцих условию ' г' — -, ' !с, данный стененнои ряд расходится. !!усть Й строго больше нуля, тогда наиболгинеи областью сходнмости данного ряда является круг ',г — =.„,(Й. ВО~оду нне этого круга ряд расходится, в точках границы 1» — «а =Й он может как сходигься, так и расходиться. Ьй»гаглгь = — »и , '( Гд 1К) б) назьгеаелашг яру«аж еходыхцослгн нпепеыного ряда, а чгыло Гх — его радггуео.и сходи.яоетн.
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 2 Итак, мы установили Следславие 2. Для всякого степенного рядз существует такое число Й, что внутри круга )« — «О',(Й дарный степенной ряд сходится, а вне этого круга расходится. В круге ~« — «,!(Р<Й любого радиуса р, меньшего, ~ем радиус сходимости Й, степенной ряд ~ с„(« —,)и сходится равноп =О мерно. Отметим, что радиус сходимости степенного ряда в зависимости от вида его коэффициентов може~ иметь любое значение в пределах от 0 до скат. Первый предельный случаИ будет соответствовать ряду, сходящемуся лишь в точке «„ второй — сходящемуся на всей колшлексной плоскости, Примеры соответствующих рядов уже были приведены. Радиус сходимости степенного ряда может бьиж определен через его коэффициенты с„. Следствие 3. Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции.
Действительно, члены степенного ряда и„(«) = с„(« — «О)" представляют собой функции, аналитические па всей комплексной плоскости, ряд сходится равномерно в шобой замкнутой подобласти круга сходимости. Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция. Следствие 4. Степенной ряд внутри круга сходпмости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимостн исходного ряда.
Это свойство также является прямым следствием теорем Абеля и Вейерштрасса. Следствие 5. 11оэффицненты степенного ряда У с„(« — -,)" и ==и выражаются через значения суммы ряда /(«) и ее производных в центре круга сходимости по формулзм (2.9) Положив г =- «, в выражении суммы степенного ряда т'(«) = с„( — «„)", получим г"(«О)=с„; продифференцировав ряд пои=а члепно и положив = — «О в вырзженин для производной у («) =- и = ~~, 'Сии(« — «О)и'т, ПОЛУЧИМ У'(«О)=-СД', аиаЛОГИЧПО, ПОЛОжиз =«О и =! в выражении для л-И производной уш1( ) = ~>', С„л (и — 1)... (И вЂ” Л+ 1)(« — - )и ", и=а получим рю («„) = сь л!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
