А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ее фундаменталыюе значение будет следовать из дальнейшего изложения, здесь же мы ограничямся следующим замечанием. Теорема формулировалась для односвязной области, однако ее легко обобщить и на случай многосвязной области. В этом случае полная граница области состоит из нескольких замкнутых контуров: внешнего Сь и внутренних С,, С,, С„. Полоакительны.и направлением обхода полной границы многосвязной области будем называть такое направление движения, пря котором область все время остаегпся слева. При этом внешний контур обходится в положительном, а внугренние — в отрицательном направлении, ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОИ ПЕРЕМЕННОЙ Теорема г'.7.
Пусть 7( ) является аналвппческои функцией в многосвязнойг области 3, ограниченной извне контуром Сь, а изнутри конигурамп С,, Ся, ..., С„, гг иусгиь 7(г) непрерывна в замкнутой области г'. Тогда ~ 7(Э)г(Е=О, где С вЂ” полная гра- с ница области 3, состоягцая пз контуров Сь, Сг, ..., Сп, ирпчелг обход границы С происходит в лоложипгельном налравленшг. Доказательство. Проведем ул гладкие кривые у,, ..., у„, соеди- с, пяюшие контур Сь с контурами СР Са и т.
д. (рис. 1.8). Тогда область, ограниченная кривыми С„ Сг С,,, „С„и кривыми у„у,, ..., у„, проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается олносвязнои *). В силу теоремы 1,6 уг интеграл по границе этой области равен нулю. Но интегралы по вспо- Рис. 1.8. могательным кривым у,, ..., Т„ггроходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому имеет место равенство ') г (и) агь+ ') г (и) г(ь+ ... + ) г'(ь) бэ=О (1.49) с с- с- н и (верхние индексы у С; указывают направление обхода).
В заключение отметим, что если функггия,у(г) является аналитическая в многосвязной области 3 н à — произвольный замкнутый контур, целиком лежзщид в З, то интеграл )у"(Э)г(г", может, вообще т ~оворя, оказаться отличным от нуля. Например, пусть область представляет собой круговое кольцо 1 м" (г'ч" 8. Функция Т(г)=— 1 является аналитической в этой области. В силу примера, рассмотренного на стр. 40, ~ — = 2П1п-'О. Данное обстоятельство свяаано, ггг=а в частности, с тем, чго контур ~г~ = 2 не образует полную границу области аналитичности рассматриваемой функции.
3. Неопределенный интеграл. Важным следствием теоремы Коши является следуюгцее пологкснис. Пусть функция Т"(г) является аналиппгескои функцией в односвязггод области х. Фиксируем в этой области некоторую точку г, и обозначим через ) 7"(г,)г1г"„интеграл по ") Как нетрудно убелиться, кривые у,, ...
у„всегда можно выбрать так, чтобы они не пересекались, т. е. получим действительно односзязную область, Функции комплекснои' пепемгнноп (гл. ! кзкой-либо кривой, целиком лежащей в э и соединшо(цей точки «и «о В силу теоремы Коши этот интеграл не вависнг ог выбора кривой интегрирования в области 3 н является однозначной фушгцией гв ).г(ь) 'ь=Ф(«). г (1.50) (»Ф 22 2 »Ф»2 ' =-,~ ~ У(ь)йь — ~У(ь)й1) =-; ~ У(ь)г((,.
г »О 2 Последнее равенство имеет месго в силу независимости значения интеграла, определяющего функцию Ф(«), от пути интегрировашш и (1.38). Выберем в качестве пути игпегрирования в последнем интеграле прямую, соединяющую точки «н «+Л«. Такой пугь интегрирования является удобным, поскольку имеет место очевидное соог- 2ь»г ношение ~ с]Ь= 6«. Сщеним выражение еяь'-;!='!*!-;! ] =+ ( (»(г(-г(*](гг/ — п]ах 'г'(ь) — г («) ',, :Л«(= п]ах / у(Ь) — г(«) (г ! е (2, 2+22] п(2, г(22] В силу непрерывности функции г"(«) в точке «для любо~о положительного числа е может быть указано такое значение 6) О, что при (сг«'!<6 шах ! !'(~) — г'(«) (е, т.
е. для любо(о е>0 можно ! Е [г, гьгг] указагь такое 6) О, что ( +' ) () — г(«) ~(в при 0(!йг«! с 6. Эго и означает, что существует Ш (г+Л») — ч» (2) Ф, ( ) ( ) 2»- В Ьг ( 51) Итак функция Ф(«), определенная интегралом (1.50), во всех точках области 3 имеет непрерывную производную (функция г(«) по усло- Теорема 68. Пусть функция Г («) определена и непрерывна в некоторой односвязнои области 3, а интеграл от этой функнии по люболгу залгкнутому контуру Г, целикол! лежа!пел!у в данг ной обласпги, равен нулю. Тогда функция Ф ( ) = ~ г (ь) гсь («, «2 еп,~) 2 является аналитической функцией в области 3 и Ф' («)=-Г"(«). Л о к а з а т е л ь с ! в о. Составим разностное отношение й Р| ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЕ! ПЕРЕМЕННОЙ 45 шио теоремы непрерывна з 3).
Тем самым Ф(з) является аналитической функцией в области зй Доказанная теорема позволяет ввести поня|не неопределенного интеграла фупкпни комплексной переменной. Аналитическая функция ОО(г) называется первообразной ф>нкции г"(е) в области х, если и этой области имеет место соотношение г)»'(з)= г"(з). Очевидно, функция г"(д) имеет множество различных первообразных, но, как легко докааа.|ь, все первообразные этой функции различаются между собой лишь пас|азиными слагаемьы|и и), Совокупность всех первообразных функции у" (з) называется неопределенным цнгпезрало.и от функции г"(:).
Так же, как и в случае функции действительной переменной, имеет место формула ~ у (гь) аз= с (ер) — гг (з!), |и где го(з) — любзя первообразная функции г" (з). Действительно, ин|еграл, стоящий слева, не зависит от пути интегрирования. Поэтому его можно представигь в виде )У(ь) бь=)У(ь) бь — )У(ь) 'ь |де зр — произвольная точка области У. Согласно (1.50) каждый из шпегралоя в правой части этой формулы представляет собой значение определенной псрвообразной в соответствующих точках, а так как все первообрачные различаются лишь на постоянную, то безразлично, какую первообразную мы подставим в данную формулу.
В качестве сущесгвенного для дальнейшего примера рассмогрим функцию е (1л52) Тзк как подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскос|и з, за исключением точки ..=О, то выражение (1.52) нмеег смысл при условии, что кривая и|пегрирования не проходит через точку з=О.
Г!ри этом в любой односвязной области -" комплексной плоскости, не содержащей точку г=-О, функция у(е) является однозначной аналитической 4|ункцией з, не зависящей от выбора пугп интегрирования в формуле (1.52). В качестве такой ') Действительно, так как Ф'(з)=Ф; (г) — Ф.,'(с) = — О, где Ф| (с) и Фр(в) су|ь различные первообразиые функции !'(г), то из (1.21) следует, что все частные производные вействительной и мнимой частей функции Ф (з) тождест. веиио равны нулю, откуда по известиой теореме анализа (см. вып. 1, гл. 8) пол» чим Ф (г) = =соп51 46 [гл. 1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (1.53) То есть для положительных значений своего аргумента функция у(з) совпадает с логарифмической функцией действительной переменной. Поэтому для функции (1У52) в рассматриваемой области ( — и «ага з(п) сохраним прежнее обозначение, положив я 1пз= ~--.
1 (1.54) Последнее равенство (в котором путь интегрирования выбирается указанным выше способом) можно рассматривать как определение логарифмической функции для всех комплексных значений ее аргумента, за исключением значений, лежащих на отрицателыюй части действительной оси г=.е = О. В дальнейшем (гл. 3) мы подробно изучим свойства этой функции, а сейчас лишь отметим, что в силу формулы (1.51) имеет место соотношение (!и «)'= —, 1 (1.55) т. е. в области — и <агни(п производная логарифмической функции имеет то же выражение, что и для действительных положительных значений аргумента.
Ниже будет установлено, что функция (1,54) является обратной к функции а~=с', введенной в 3 4 настоящей главы. В 6. Интеграл Коши 1. Вывод формулы Коши. В предыдущем параграфе мы доказали теорему Коши. Эта теорема влечет за собой ряд важных следствий, в частности, позволяег установить определенную связь между значениями аналитической функции во внутренних точках обласги ее аналитичности и граничными значениями этой функции. К установлению данного соотношения мы сейчас и перейдем.
Пусть функция г(г) является аналитической в односвязной области Р, ограниченной контуром С. Возьмем произвольную внутреннюю точкУ ев н постРоим замкнУтый контУР Г, целиком лежащий в У области будем рассматривать полную комплексную плоскость г, разрезанную по отрицательной части действительной оси, т. е. облас~ь — п(агйг< и.
Будем считать, что путь интегрирования в формуле (1.52) лежит целиком в области — п(агре(п, т. е. не пересекает разреза и не проходит через точку в=О. Тогда для действительных положительных значений в=х, выбрав в качестве пути интегрирования в формуле (1.52) соответствующий отрезок действительной оси, получим л 47 ннтегРАл кОши и содержзщий точку зо внутри себя. Рассмотрим вспомогательную функцию гр (з) =,— „ 7 (2) (! 56) Функция ~р (л), очевидно, является аналитической функцией всюду в области 3, за исключением точки го. Поэтому, если мы в области 3 возьмем такой замкнутый контур у, лежащий внутри Г, чтобы точка .
„ попала внутрь области, ограниченной контуром у, то функция гр(г) будет аналитической в двухсвязной области .ро, заключенной между контурами Г и у. Согласно теореме Коши интеграл от функции 2р(г) по кривой Г+ у равен нулю: гь Изменив направление интегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде (1.57) Поскольку интеграл, стоящий слева, не за- Рис. !.9. висит от выбора контура у, то этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотрений удобно в качестве контура интегрирования т выбрать окружность ур некоторого радиуса р с центром в точке го (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
