А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Подробнее о фуинциях многих комплсксвых переменных см. Приложение 3. ИНТГГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАИЕТРА под знаком интеграла:); Ул (х, У) = ~ и„г(й — о,.г(т), с Уг (х у) ~ гггг(й агат) с Сами функции У и У являются непрерывными функциями переменных л, у в области 3. *). На основзнии аналогичных свойств функции Ь'(.е, у) н используя условия Коши — Римана для функции !р(», ь), получим Рх (х, у) = ~ о„ггп+ с!гпгт) = ~ и,гт$ — и„гЬ1 = У„, (1.67) 'Р;(л, у) = — Т)п,г(Ц+ !!,г)т) = — ~ и,п!й — и пгт) = — У, с с Таким образом, для Тг(») выполнены условия Коши — Римана (частные производные функций У(х, у) и 1/(х, у) непрерывны и связаны соопюшениями (1.67)), что и доказынает аналитичность Р(») в области Р. Заметим, что Г' (») = (7, (х, у) + ! 1 „(., у) = = ~ !гитам — ох"'т)+! ) а%+!!хе(т1= ~ д- (», с) г(ь.
(1.68) с 6 с Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. При этом, если — удовлетворяет тем же условиям а) и б), что и йр гр(», ь), то Р'(») также является аналитической функцией в области е. 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции.
Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристики аналигяческих функций. Как мы видели, значение функции 7" (»), аналитической в некоторой области 3, ограниченной контуром Г, и непрерывной в замкнутой области 3, во внутренних точках этой области может бь!гь выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши: 1 с 1(~) (1.69) г Расслюгрим в области Р некоторую замкнутую подобласть У, расстояние всех точек которой от ~раницы Г области е больше ') Об услпвгшх лнффереицируемосги по параметру интеграла, зависящего пт параметра, см. Вып.
2, гл, !О. *') См. вып. 2, гл. !О. 54 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ некоторого положигелыюго числа й(,'г — ~~ --й)0). функция ф(г, 1)=- —,, !К) 2л) ~ (р — г)ь г (1.70) Интеграл (1.70) опять является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (1.69).
Следовательно, !'(г) является аналитической функцией г в области Р; причем для ее производной справедлива фориула 2 г" )(ь) 2к(,1 (~ — г)г (1.71) Так как для любой внутренней точки г области 3 может быль построена соответствующая замкнутая подобласть У, то формулы (1.70) и (1.71) справедливы в любой точке г. Имеет место и более общая теорема. Теорема АУ. Пусть функция р(г) является аналиинщеской в области .й и непрерывной в замкнутой области Х Тогда во внутренних точках обласпги 3 существует производная любого порядка функцгт Д(г), причем для нее имеет место формула г к) 2ис (Ь вЂ” г)" ь г (1.72) Для доказательства этой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число рзз.
Итак, если функция р(г) является аналитической функцией в области 3, го в этой области функция р(г) обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналипгческой функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообще говоря, не следует сушествовзние высших производных. является аналитической функцией г в области В', причем ее частная производная — = †, в этой области является непрерывной функ.
дж 7(Ц дг (" — г)г цией своих зргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области У производная !'(г) может быть представлена в виде Л 71 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ От ПАРАМЕТРА Рассмотрим ряд важных следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной. Теорема 1.Ю (Морера).
Пусть функция Т"(г) являегпся непрерывной в односвязной обласгпи .~ и интеграл от Т(г) по любому замкнуто,иу контуру, целиком принадлезкагцему Э, равен нулю. Тогда 7'(г) являегпся аналитической функцией в области У. Локазат'ель ство, Выше* ) было доказано, что при условиях теоремы функция г р(г) = ~уК)й1, и где гв и г — произвольные точки области 3, а интеграл берется по любому пути, соединяющему эти точки в области У, является аналитнческоп в этой области фуикциез, причелг р'(г)=Дг). Но, как только что было установлено, производная аналитической функции таклке является аналитической функциеи, т. е. существует непрерывная производная функции гг(г), а именно функция Р'(г) =Т'(г), что и доказывает теорему.
Отмегим, что теорема 1.10 является в определенном смысле обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить и на многосвязные области. Теорема т'.71 (Лиувилля). Пусть на всей комплексной плоскоспги функция 7'(г) является аналитической, а ее лгодуль равномерно ограничен. Тогда зта функция 7'(г) тождественно равна постоянной. Доказательств о. Запишем значение производной )'(г) в произвольнои точке г по формуле (1.70): Сз причем интегрировзние будем вести по окружности некоторого рздиусз )с с центром в точке г, т. е. ~Š— г)=Р, По условию теоремы существует такая константа Л4, что,' Т(~) ( Л4 независимо от й Поэтому Так как радиус гс можно выбрать сколь угодно большим, а Г" (г) не зависит от гс, то (Т'(г) ! = О.
В силу произвольности выбора точки г заключаем, что ~, Т'(г) ( = — 0 на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что Р(г) = сопз1. ') См. георгиу 1.8 стр. 44. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМСННО11 1гл 1 В З 4 мы ввели тригонометрические функции комплексной переменнов и показали„чго опи являются аналитическими фупкциямн на всей комплексной плоскости. В силу только что доказанной теоремы эти функции не могут быть равномерно ограничены на всел комплексной плоскости.
Отсюда, в частности, следует, что нандугся такие значения комплексной переменной г, для которых 1 з1 п з '~ ) 1. (!.73) Этим тригонометрические функции комплексной переменной существенно отличаю~си от соответствующих функций действительнон переменной. ГЛАВА 2 РЯЙЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКНИЙ В настоящей главе будут рассмотрены основные свойсгва функциональных рядов, члены которых являются функциями комплексной переменной. Особую роль в теории функции комплексной переменной играют ряды аналитических функций и, в часпюсти, степенные ряды вида ) с„(г — х,)", где с„ — заданные комплексные постоянч=а ные, гь — фиксированная точка комплексной плоскосги. Изучение этих рядов оказывается весьма существенным как для выяснения ряда общих свойств функций комплексной переменной, так и для решения различных задач, связанных с применением методов теории функции комплексной неремениой. ф 1.
Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 1. Числовые ряды. Начнем с рассмогреция некоторых общих свойств числовых рядов с комплексными членами, т. е. выражений вида ~„ аь (2.1) л =-! где (аД вЂ” заданная числовая последовательность с комплексными членами. Ряд (2.1) низызаетеп сходяигимгя, если сходится последовательность 18„1 его частичных сУлглг 8л= ) аь. ПРи этом пРеь=1 дел 8 последовательности 1о„) называется сулгмой рода (2.!). Ряд ~ъ аь называется л-ж огтагннолг ряда (2.1). В случае сходящее=пе~ гося ряда сумму шо и-го осгатка обозначают г„и обычно также называют остатком ряда (2.1). Для сходящегося ряда 8=8„+г„и 88 ряды лнллнтн шских фгнкцин 1гл т для любого в ) О можно укааать такой номер Аг, что ) гп ~( е ири п.лХ.
Из определения сходщцегося ряда следует, что необходимым и достаточным признаком его сходичости является кратера! Коши *). А именно, ряд (2.1) сходится тогда и только тогда, если ! и -~- р для любого е) О можно указать такой номер АГ, что У а„(в при и="-М и любом нзтуральиом р. Необходилгыш услоаие.и сходил<ости ряда (2.1) является требование 1ип а„=О. Лействительно, из сходимосги этого ряда, в силу и сО критерия Коши, следует„что для любого в ~ О можно указать такое Аг, что ~ал-т ~ =- ! Ял ч г — 8п ~ ( в гири и хм Л~. Если сходится ряд ч~ ! ая! ь=! (2.2) ') Являющийся прямым следствием критерия Коша сходямоств числовой последовательяастя (5п); см.
стр. 19. *~) См. вып. 1, гл. 13. с действительными положительными членами, то, очевидно, сходится и ряд (2.1), который в этом случае называется абсолютно сходящимся. Одним из наиболее часто употребляемых способов исследования сходимости ряда с комплексными членами является рассмотрение ряда с действительными членами, являющимися модулями членов исходного ряда, Как известно **), достаточными признаками сходи- мости ряда с действительными положительными членами являются признали Даламбеуа и Коииь Согласно признаку Даламбера ряд (2.2) сходится, если, начиная с некоторого номера Аг, опюшеиие ~ — ""'1«=.т(1 для всех пээАг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
