А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 15
Текст из файла (страница 15)
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ЕЯД ТЕ!ЭЛОРА Э г) Следствие 6. Рздиус сходямости тт' степенного ряда ~ сл(« — «)л л= — о 1 определяется формулой* ) Й=--, где У= 1нп р ~сл' есть верхний л со г л,-,—— предел ") последовзтельности 1)г ~ с„,~. Предположим вначале, это 0 ( г ( со. Нам надо показать, это в любой то ше «и удовлетворяю~пей условию ~ «, — «, )( —, ряд 1 сходится, з в любой точке «г, удовлетворяющей условию)=,— «,(-» 1 )--,— расходится. Так как т — верхний предел последовательности )л —,1 )1~ ' с„~), то для любого е) О можно указать номер Аг, начиная о~в с которого 1';с„!(1+в.
С другой стороны, для гого же е найдется бесконечно множно членов последовательности )рг ~ с„'), больших 1 — ш Возьмем произвольную точку «т, удовлетворяющую неравенству l~«т — =., ,'(1, и выберем в кзчестве е число, ' '," )О. 2'гт — го ~ Тогда 1+С г,— го )«(~„;~«,— «,!((У+е) «,— «,,'= ' ' '' =.ту "1. Отсюда следует, что ряд ~~ сл(«,— «,)л мажорируется геометриче- л =-о ской прогрессией «~ дл со знаменателем, меньшим единипы, что н л=-О доказывает его сходимость.
Взяв теперь некоторую точку «,, удовлетворяющую неравенству 1, '-,— «о) ) 1, и выбрав в качестве е ~, .го — го,'— 1 число ' ' ' ' » О, получим (г,— го ~ л )т«) сл ~, «' «о ) (т е) ' «о «о ' = 1 для бесконечного мпожествз значений п. Отсюда ,'сл( г — «о)л') 1, что на основании необходимого признака сходнмости свидетельстнуег о 'расходилшсти ряда ~~ с„(«г — «,)".
л=о 3 а м е ч а н и е. Мы провели доказательство для случая О ( о( оо. Рассмотрим теперь предельные случаи. ") Эта формула часто называется формулой Коши — Адамара. *') Напомнам онределенне понятия верхнего предела числовой последовательности.
Верхним пределом х последоаательностн )хл) пазыаается нан. йолыная оредельная точка этой последовательности (см. вый. 1, стр. 80). 70 иядьг лнллнтн ггскнх эвикции 1гл з При 7=0 ряд ~~ си(« — «,)и сходится н любо11 точке «, т. е. и=а ГО=со. )Геиствитеггьно, в этом случае для лкгбого е) 0 может быть указан такой номер Аг, начиная с которого ус: с„, '( в. Выбрав в качестве в число,, где « — произволы|ая точка комплексной Ч ~««а, плоскости и 0(г)(1, получим )сл(« — «,)" (О", что н доказы- вает сходимость ряда ~„с„(г — «О)". л=-О При 7=со ряд ~ си(« — «,)и расходится в любой точке «~«О, л =. О т. е. )О=О.
Действительно, в этом случае для любого числа Л найл дется бесконечно мни~о коэффициентов сл таких, что у',:с„!)Л. Рассмотрим пропзвольну~о точку «:Н: О и выберем М так, чтобы Л ~ « — -, ~ = г7) 1. Тогда бесконечное множество членов ряда ~~ си (« —:,)и УдовлетвоРЯет Условию ' сл (« — «О)"; ) 1, что и докал..О зывает его рзсходимость. 1 л Итак, фоРмУла Когци — АдамаРа ге=- —, где 7=. Игп 1 с„'и снРа- ведлива прн любом значении й В качестве примера, существенного для дальнейшего, рзссмотрим степепноп ряд )', (« — «,)", все коэффициенты си которого равны 1. и =.-О Г!о признаку Даламбера получим, что данный ряд сходится и кр)те ~« — «„'(1 к пекоторои аналитической функшш, Чгобы наг1~п эту функцию, применим прямое определение суммы ряда как предела частичных сумм: Здесь мы воспользовались, очевидно, справедлнвои и в области комплексных чисел формулой суммы геометрической прогрессии с конечным числом членов н возможностью предельного перехода в числители дроби, знаменатель которой отличен от нуля.
Равенство (2,10) означает, что формула для суммы бесконечно убывагопгеи геометрической прогрессии справедлива и в комплекспои области. 2. Ряд Тейлора. Итак, степенной ряд внутри круга сходимости определяет цекотору|о апалнгическую функцию. Естесгвепно поставить вопрос: можно ли функции, аналипаческои внутри некоторого круга, сопоставить степеппои ряд, сходящийся в эгон к(Вге к даниоя функцииу Ответ на этот вопрос даег следующая теорема. 7! степенные Ряды. Ряд те!плоРл Теорема 2,6 (теорема Тейлора).
Функцггя 7" (г), опали!лаосская внутри круга' ,г — го / ()с, лгожегп оыто предслгавлсна в тном круге сходящимся спгспеннылг рядолг Г(г).= Х , 'с„(г — „)", о=а пргтем этот ряд определен однозначно. г( о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную точку 2 внутри круга ) - — =,',(гс и построим округкпость С„с не!прон в точке =, радгиуса р й, содержащую точку г внутри (рис. 2.2). Очевидно, для любой точки данной области такое построение возможно. Так как точка — внутренняя точка области ! — го,' ( Р, в когоРои фушгпия 7'(г) являешя аналитической, то по формуле Коши имеем 2лг,) Ь вЂ” г ь' (2.11) 1 ( (й) Осуществим в подынгегральном выражении преобразование 1 1 1 "--г к — го г — го й — 2, (2.12) го л о (Ь вЂ” 2о)о Рис. 2.2.
о=о Здесь мы воспользовались формулой (2.10) и очевидным соотноше- 2 -2о нием;.— )(1. Прн ~~С, ряд (2.12) сход!гася равномерно по к, К- — 2о Ъ~ !г — г, ггг так как он мажорируется сходящимся числовым рядом ро '1 (!а — г„',(р). Подставляя (2.12) в (2.11) и интегрируя почленно, получаем 1 Р )(к) дй 1 —.-О Р Введя обозначение с = — ! (') с!" 2л! ) (г--го)о+1 с (2.13) (2.1 4) перепишем (2.13) в виде сходящегося в выбранной точке е степенного ряда: у(2)=Х .( — .)". (2.1б) о=а ! я!ты аи(лиги'!неких Фрикции [гл 2 В формуле (2.14) окружность Сн можно заменить, в силу теоремы Коши, любым замкнутым контуром С, лежагпим в оба!асти,'» — »а!(Й и содержащим точку»а ннутри.
Так как = — произвольная точка данной области, то о~сюда следует, что ряд (2.15) сходится к 7(») не!оду внутри круг໠— »а[(Й, причем и круге [» —:а ~ .-'р(Й этот ряд сходится равномерно. Итак, функция у( ), аналитическая внутри круга [ » — »е ( Й, разлагается в этом круге в сходя5цийся степенной ряд. Коэффишиегтгы разложения (2.14) на основании формулы (1.72) для производных аналитической функпии имеют вид [(ь) дг [оо (аа) (2.16) 'л 2л; )(;,„) г! л! с Остается доказать единстненность разложения (2.15). Предположим„ что имеет месго другое разложепиеь у(»)= Х '( -».)" (2.1о') л: —. о где хотя бы один коэффицинет г„'4=сел Степенной ряд (2.15') сходится в круге ! — »г! (Й, поэтому на основании формулы (2,9), [ а> [аэ) с,',= ", что совпадает с выражением (2.16) для коэффициентов л! г„.
Тем самым единственность определения коэффициентов доказана. Разложение функции, анзлптической в круге ( - — в!(Й, в сходящийся степенной ряд (2.15) часто называется разложением 7'ейлора, а сам ряд (2.15) — рядом '!'ейлора. Доказанная теорема устанавливает взаимно однозначное соотвегствие между функсцшй, аналитической в окрестлюстл! некоторой точки -", и сгепенным рядом с центром в этой точке.
[дго означает эквивзлентность понятий аналитической функции, как функции, бесконечное число раз дпфференцируемой, и функции, представимой в виде суммы степенного ряда а). Последнее имеет не только большое значе!ше для построения теории аналитических функциИ, по н находит широкое применение при решении многочисленных прикладных вопросов. э) Заметим, что аналогичная эквивалентность для функций дсйствитель. иой переменной пе имеет места. Действительно, нз существования на огре~не [а, а) всех производных функцвн [(х) еще не следует возможность разложез ння юоп функции в степенной ряд вида [(х) = ~з с„(х — х,)", где хе ш [а, Ь[, а=О 1 сходящийся ва всем отрезке [а, а[.
Например, функция [(х) =- —, при !+ ха люоои действительном х имеет произнодныс всех порядков, однако прн ха=.=б сзепеьшой ряд ~ ( — 1)"хеч сходится к данной функции лишь на интервале л -=-а — 1 - х ( 1, а не на всей действительной осн х. Подробнее о разложении функций действительной переменной в степенные ряды см. вып. 2, гл.
8. 73 степгиныс Ряды Ряд теплова ч 2! Ззьгетиьг, наконец, чго если функция г"(з) является аналитической в области У и ㄠ— внутренняя точка этой области, то радиус схос: "я,ч ! и)(т) дилюспя ряда Тейлора 7(г)= ~," (з — з„)" этой функции ие л! л=в меньше, чем рассточиие от точки зя до границы области Ю, П р и м е р 1. В качестве простеЙшего примера расслготрим разло- 1 жепия в ряд Тейлора фуикшш г(х)=,, Эта функция является аналитической иа всей комплексной плоскости, за исключением точек х, х=:!-1, в которых знаменатель дроби обрашается в нуль.
Поэтому в любом кру~е па кохггглексиой плоскости, пе содержагцем точек хк,=-..у г, эта функция в силу теоремы 2.6 может быть разложеиа в ряд Тейлора. Начпем с крута , 'г, ~ 1. При условии,: з,'~ 1 1 выражение —, может рассматриваться как сумма бесконечно убы1+зч вающев геометрической ирогрЕссип. Р1оэгому в силу (2.10) —,„'„= ~ ( — !).зз", ч я (2.17) ==а С помопгью показате =) 2е ', !+1= формы записи комплексных чисел 1 — 1= ', легко теперь получить льиоа )/2 е ! ! тч что и дает искомое разложение. Заметим, что радиус сходимосги ряда (2.17) равен 1, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
