А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Доказательство проведем для сл>чая двух переменных ш1, т. е. когда О)(г)=Г [ул(г), уо(г)]. Фиксируем в области У произвольнуго точку го е3 У н обозначаем уз(го)=ш1, и уо(го) — — шя. Составим выражение С)) (го+ ела) О) (зо) = Р [%+ ьлшл, и)1+ слоев] Г [и)[ шо] (3 22) где сли~л, ьлшо сУть пРиРащепиа фУпкщзй гл(г) и Уг(г), соответсгвУющие приращению глг независимой переменной г. Так как, по предположению, существуют частные производные функции Г, непрерывные по совокупности переменных, то (3.22) мо)кно преобразовать к виду дР ч) (го+ гзг) Ф (го) = (ю) %о+ слшг) 1згел+ дшл дР +т)ААтел+ (и)1', Шз) Слтвг+ Чз.
Ьгег (3 23) гхоз ь) Назовем функцию многих комплексных переменных р(г,, ..., гл), определенную для значений г; ш Юь аналитической функцией каждой йз своих переменных г; (1= П 2,, т; л1 л=ч л), если прп любом 1=1, 2, ..., т соответствующая функция Ф. (г.)=р(г", ..., г! и г., г/ Р ..., г,',) одной комплексной переменной гь получающаяся при произвольных фиксированных значеннах остальных пеРеменных г = г" (1 те 1), лвлаетсЯ аналитической фтнкпней данной переменной. производные функции Фг(г;) по соответствующим переменным будем называть частными пронзводнымн функции Г (гн, г„) дд (гп го) многих комплексных переменных Фг(г.)=- '.'" ' " .
Подробнее см. прн. ложение 3. и элементлгнгае Фвггкегии кОмплекснон и РеменнОЙ где фУпкцип т), и 7)а бесконечно мзлы пРп Лш, и Лшя,стРеьгЯщихсЯ к нулю, а тем самым и прп Л -7-0. Составив теперь разиосгное ЛФ опюшение и перейдя к пределу прп Л«-РО, в сгилу непрерывдг ности чзстпых производных функции с по совокупности переменных, получим = д (свг ш!)1г (гь)+,а-„(пг! пгь)Л(гь) Ф (77+47) Ф (гь) дГ ь о де ь ь -о 3 что и докаэывзет существование производной Ф' (,) в точке гм В силу сделзнных предположений функция Ф' (г) непрерывна в точке гь, а эак как г„— пропэво.чьнзя точка обласги .'У, огщодз и следует аналитичность функции Ф( ) в области К В случае большего числа переменных сег доказательство проводится совершенно апалопщно.
Теорема 3.1 позволяет авали гпчески продолжать в комплексную область соотношения вида (3.17), (3.18) между элементарпымп функциями одной действительной переменной, что существенно для иэуче. ния разлйчных свойств элементарных функций комплексной переменной. Соответствующие приьщры будут приведены ниже, а здесь ограничимся лишь следующим замечанием к теореме 3.1. Следствие. Вслн выполнены условия теоремы 3.1 и функции гг(г) соответственно Равны: уг(г) =г'(г), лс («) = г' («), ...
..., Т„Ы («) =Ген!(«), та ПЗ СООтНОШЕНПя В[у(х), ..., учю(х)) =О прп а <х<Ь (3.24) следует р!Т(г) гчю(г)!-О «я=Ю (3.26) Эго означает, что если функция действительной переменной у(х) является решением дифференциального уравнения (3.24), го ее аналитическое продолжение 7(г) в область й удовлетворяег в этой области дифференциальному уравненщо (3.25), являющемуся аналитическим продолжением уравнения (3.24) в область К !!ерейдем теперь к обосновашпо аналитического продолжения соотношениИ вида (3.19) и (3.20).
Мы не будем рассмагривать каждое из этих соотношений в отдельности, а сразу сформулируем общую теорему. Теорема 83. Пусть функцпп шг=лг(гт), ..., Ф,=Т,,(г„) являются аноллппшескпмп функцпплгп колтлегссных псрелгенных в ойлашпях Уп ..., Уь, содержасцлх отрезка (аь Ьг'г (г =-1, ..., и) действшлельной осв х. Пусть функцпя Г(шт, ..., ш„~ нвлнспгся ана,тонической сйункцпей по каждой пз перелгенньг т мг, ..., Ф„в ойласпгп пх изменения. 7 огда пз соотнопгенпн Р ~ уг (хт) ° 7„(х„)( =-0 прп аг ===. х -- Ь; следует соотношение Р1Л'т(гл), ..., /„'(«„)) =О прп г; ЕЕ Уг. 86 АнллитическОГ пподолжеь!ие. злементАРные Фкнк!ггггй !гл. 3 рассмотрим функшгю трек комплекснык переменных г'ггшг шм шз)= — ша вдт'ыа.
(3.27) Поскольку функпии (3.26), (3.27) являются целыми функциямп своик пеРеменпык, а )Р=О пРи «г=х,, «п=хв, -,,— х ( — Оз<х,<ью), то выполнены все условна теоремы 3.2, что и доказьшаег справсдливосп соопюшенпя (3.!9) при любь|к значениях комплексных переменных «г и « . 3. Свойства элементарных функций. Перейдем зеперь к более детальному изучению основпык свойств введенных выше элеменгзрных фушгинй комплексной перемепноп. В силу теорем 3.! и 3.2 при псек значениях комплексной переменной « имеют место сооыюшенпя з)п'«+сова«= 1, с1гз « — з11а = 1. (3.28) (3.29) н другие известные тождества для рааличпык тригонометрических и Д о к а з а т е л ь с т в о.
Лля доказательства теоремы фиксируем значения переменпык х,=х",, ..., х„=пхп и рассмотрим функцию комплексной переменной Фг («г) = с' '1 г г («г), Ув(хп), ... гп (хл)! Зта функция, как сложная фупкппя комплексной переменной «,, гг силу утверждения гл. 1, стр. 33, является знзлитическоя фупкцпеи комплексной переьгепной «, е— : У,. Поэтому по теореме о единственности определения аналигпческоп функции из соотношения )т!уг(хт), «га(х), ..., гп (хп)) = О при а, ~ х, ~ Ьг следует Г ! гг («,), у; (х'.,'), ...
..., Уп(хп)) и —.-О при ге:-Уг. Зал~етиьп чго отсюда в силу пронзвольпосгп хп ..., х"„гггягекаег, что 1 (гг(«), гп(хв), ..., уп(х„))=0. Фиксируем теперь произвольное значение комплексной переменной «г ~ Уг и рассмотрпы ф)чпгпи!0 тра(«а) =Р ( /д(«г), А( в), Га(хй1, ..., 7'„(хп)) комплексной переьгенной «те=Ум Так же как и г1зпг(«,), функция Фз(«,) является аналитической функцией переменной -, ~ Ув. Поззому из соотношения (ггЛ («г), га(хв), Уа(х!~) гп(х~')! =- О при аз== ха<ба следует 1 (Л( 1) А(«а) .гз(хп) . 1п(хп)1:пб пргг яе= Ув В силу произвольности выбора «', мы получим, что соотношение й(~'г(х,), уя(хв), уа(х,",), ..., 1„(х,',)/=0 пргг а, .—.х, ==-(гг, а,-. х ~ИЬ вггечет за собой соотношение )г1уг( т), 7в( з), уа(х,",),...
1п (Хп)) = — 0 п!зн «т ~ Ут, з Е= Ум )'!родолжая аналогичным образом, мы и докажем теорему. Залгетим, чго доказательство теоремы не зависит от взаимного расположения областей Уь Теорема 3,2 позволяет строить аналитические продолжения соогношений вида (3.19) и (3.20). Рассмогрим, например, соотношение (3.19) и введем функции ып таа, ша комплексных переменных,, «а и «з =- г+ «я. ыт=е" и,— --е" ша=е'=-е'+ (3220) з 1! элемеитлРные еунк1лии коа!Плекснои пеРечеиной 87 пшербол1шеских функции однои комплексной переменнои. Также имеюг место соотношения ег -, 'г. — ег .
ег, н другие тригонометрические формуль1, являющиеся аналитически>1 продолжением в комплекснун> область известных соотногиений для элементзрных Функций дейсгвительнои переменной. установим связь между показательной и тригопометрическ >мп функциями коыплексноп переменной. >(ля этого вернемся к выражешпо (3,7) для функции ег и сделаем в нем замену переменной, положив з = 1$. Тогда ъ-~ е>С=- ~ 1л=-. л! э=о Разбив последний абсолютно сходящийся ряд иа сумму двух рядов получим "=~( — )л — '+ "( — !) (2л)! ~л (2п-г !)! ' л=е л=0 т. е.
е"= сов $+15>п Е. (3.33) Очевидно, это тождество имеет место для всех значения комплексной перемепнои ~. Соотношение (3.33), устанавливающее связь между показательнои и тригонометрическими функциями комплексной переменной, носит название форлсулы З1)лера. Из него следуют весьма важные для прило>кении формулы *) соя г = —,- (е>а+е ") 2 (3.34) $(па = —.(е" — е "), 21 (З.зб) С помощью этих формул и формул (3.)О), (3.)1) легко установить следукнцие соотношения, связывающие тригонометрические и гиперболические функции комплексной переменной: $!па= — — 15(>!з, с05 =с(11з (3.36) *) Напомним, что в гл.
! мы с помощью этих формул определили функции соа г и $>п г, а также формально авели соотношение Эйлера. 5!П (гт+ ЕЭ) = — 51П Зт С05 аг + С0$ тт 5!П га, С05 (Ет+ г) = С05 з1 С05 «г — $>п з> 51П зе (з.зо) (3.3 )) (3.32) 88 АНАЛИГИЧЕСКОЕ ПРОДОЛжЕнИе, элементАРнме ФУНК!тии 1гл, 5 В чзстпостп, (3.37) сцп гу =- ! 5!! У, соя гп= — сб У. Установим еще некоторые важные свопсгва рассматриваемых фуисцпй. Предварительно заметим, что в силу формулы (3.30) имеет место соотпо пение тв = е = е" ч 0 =- е ' е'у, (3.38) О ге!ода следует, что , 'ш ' = ел и ага ш =у.
7 Рассмотрим теперь функцию ш=)из= т.—, являющуюся анали- С г1; ~~ г и!ческим продолжением !п щ на комплексную плоскость, разрезаицую по отрпцателщгои части действителы!ои оси. Так как для действительных поло!кительцых х функция !п щ является обратной экспоненте, то в силу георемы 3.1 в области — п(аг((г Сп сохраняется соотпонепие Е'в' —. (3. 30) являющееся аналитическим продолжением соотношения е" л = х (х ) 0) в комплексную область.
Тем самым функ!!пл 1п лвллетсл обратно!! ь г(1ункцпг! е . Отметим важное следствие формулы (3.39). В силу этой формулы и формулы (3.38) из соотношения цг =-. !!+!в=-1п з следует (3.40) а=в '=е™я'" — — ев е!". Огсн!да ! г '=е", агд з=тх а так как и и; з ! — действительные иереме!щые, окопчагельно получим и =1и; з )в и = агд 7, (3,41) где символ !п 'з! означает действительную логзрифмическу!о фупкппго деяствпгельпого полож!цельного аргувгента. Тем самым для фупкпип комплексной перемепиои 1п з получим алгебраическую форму записи в виде 13.42) !п г =-1и з ~ + !' а!р з. Из (!.42) получим значению 1пг=-! „-, 1ц(1)=0, !и( — !)= — !и 2' 1п(1+!') —.1п)г 2+ ! — '- и т. д.
4 Лпзлопгчиым образом па основании теоремы 3,1 нетрудно показать, чго и функция агсз!па, определенная формулой (3.15), является обрапюй к функции 51пз, т. е. 5|и (агс51п г) = з. (3.43) Выше была установлена связь между показательпоб и тригонометрическими фупкцпями. Очевидно, п функции, обратные к данным, па- % О ЗЛГА1ГНТЛРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКШ1ОП Г!ЕРЕМЕНПОП 89 пример 1п а и агсмп а, также связаны между собой определенш,1ми соотношениями.
В силу (3.43) из выражения те=-а!сын а следует а=з!пге, что согласно (3.36) моною переписать в виде 1 з =, . (е'~ — е' ) 21 (3.44) нли Еа'м — 21ЗЕгч — 1 = О. (3.4о) Разрешив квадратное уравнение (3.46) относигельно ег, получим ег =ге+ !' ! — 22. (3.46) Мы не пишем знак + перед корнем погому, что функция К' ! — -' комплексной переменной сама является многозначной функцией (см. гл.
1, стр. 28). Выбор вегви многозначной функции ) 1 — Ия здесь производится из условия, чгобы рассматриваемая функция ш =-. =- агс 21п з являлась аналитическим продолжением соответсгвуюшей функции дейсгвительпой переменной. Из последнего условия следует, что должно быть вз1по то значение корня, которое положительно при полохгительных действительных значениях подкоренпого выражения.
Из (3.39) и (3.46) следует 1гв =1и [12+)' ! — а откуда окончательно получим тв = агс зш г = — 11п [12 + [' ! — 22[. (3. 47) Зго выражение па первыИ взгляд довольно сложно, и невольно яозникаег сомнение, дает лп оно, в частносги, действительные значения агсз!Пх для деИствительных значений е=х, уаовлегворшо1цнх уСлО- вню,' х '. 1. Однако сомнение негрудно рассеять. Обозначим 9 =- 2 = 12+ 1' 1 — еа. Д112 дейсгвшельных знзчений г =х, удовле~воряющнх условшо ~ х, ,=-1, получим ! 9, '= [ух +! — х =-! и агд~= х =- агс!Кт = — агс гйп х. Отсюда в силу формулы (3.42) имеем )г 1 — х1 — 11п 9 = — 1 [1п 1+!зги Д .= аге 9 = агс з!п х. ')ак как функция (3.42) определена для всех значений своего аргумента на комплексной плоскосгп с разрезом по отрицательной часгп действительной оси, то формула (3.47) даег аналип1ческое продолжение функции агсмн г па некогорув1 область плоскости г.
1)ри этом точки 2 = 1- ! оказыва1отся в определенном смысле особыми. Дейсгви1ельно, в результате обхода любой из этих точек на плоскости по замкнутоИ кривой, принадлежащей достагочно малой е-окрестности этой гочки, прн непрерывном изменении функпни (3.47) она изменит свое значение, так как при однократном обходе точки 90 лнллитическОе пРОЛОлжение элементлРные Фуг!кции !гл, а з = 1 илп г = — 1 функция )/! — -' изменяет свое зпзчение и), Поэтому н качестве обласги однозначного определения функции (3.47) люжег быть выбрана, например, полная плоскосгь з с разрезами вдоль отрезков действительной оси ~ — ОО, — !(, )1, ОО). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
