А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 20
Текст из файла (страница 20)
гтл= саа:Ъ Рвс, З.З. В зак.поченпе наших рассмо~регщй основных свойств показа1ельной н трпгопомегрическнх функций исследуем вопрос о нулях этих фупкпнй. Показательная функция ш =- е' не обрашаегся в нуль ни прп каком значении колшлекспой переменной а, как э~о следует из формулы (3.38), Все нули тригонометрических функциИ лежат на действительной осп. В самом деле, если зш г = — О, то е" — е " =- О, е" = — !. !.!о если комплексные числа равны, то их аргументы различаются на число, красное 2п, откуда а= лп, что и доказывает высказанное у гверждепие.
й 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности 1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности. Основной аадачей аналитического продолжения является продолжение значениИ функции ~'(а), заданной в некоторой области У на большую облзсгь Х 95 ПОНЯ1ИЕ Р11МЗНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ ПУсть на комплексной плоскосги даны дне области .Рсг и ага, имеющие обгпую часть а) Рте (рнс. 3.4). Пусть однозначные аналитические фУнкции Уг(е) и Уа(е) заданы соогветственно в областчх Рг и Да и тождественно совпадаюг междУ собой в неРесеченип .Рта. Тогда фУнкння гг(е), определенная соотношениями Л(е), лен 'г, )т(е) —— Л (л), г а а (3.50) является аналитической в расншренпой области р —.—.рг+ ре н совпадает с ггг(е) в дг и с Л(е) в рз.
Функция гг (е) называется аналннпшеслзглг прог)оллсенгге гг функгкггг Уг(е) (Уа( )) на ооласпгь -'=,Уг+ 'е. гРУпкшгю Уз(е) Я(х)) таеоке называют аналнгическим продол>кепием функнии уг(а) (А( )) па область Ре(ег). Как легко видегь, аналипг геское продолжение р (а) фупкиии уг(а) Рис. 3.4. Рнс. 3.5 *) При этом могут быть различные случаи. Например; а) область Уг содержится в области Ум тогда Угг, очевидно, совпадает с областью б) пересечение .'Уге является односвязной нлв маогосвязной областьюг в) пересечение Угт состоит из нескольких (может быть, и бесконечного числа) отдельных связных областей. па область е =.Рг+Ра опРеделено единственным обРазом.
ДействиТельно, предположение о существовании н области З двух различных функнни, тождественно совпадающих с /,(е) в области Рг, приводиг к противоречию с теоремой о единственности определения аналитической функции, доказанной в предыдущей главе. Данный способ анзлитического продолжения функнии ггг (л) нз области Рг на более широкую область Р представляет собой простейшую форму прггнцгггга аналнлглчеспого продолзгсенггп.
Пбратихгся теперь к случаю, когда функнии уг(е) и уа(е) тождественно совпадагот лишь на часги З;г пеРесечениЯ Рг областей Рг и та (рис. 3.5), Рассмотрим область Р.=,уг+Ра —.Р ег, где = дге —.Р,г — та часть пеРесеченин Ргг в котоРой фУнкиии Уг(а) и уа(е) различны. Согласно предыдущим рассмотрениям в Я определена единственная аналигическая функния с (а), являющаяся аналитическим эо Анллнти'!еское ИРодолжение э!!ЕментАРные пункции !Гл.
3 продолжением Л(г), задапиой в области,У< — у 2 на обласгь 3, Эта функция тождесгвеппо совпадает с фуикцпей Л(г) в области.Ф< — У,! и с ся(г) в области У2 — З;'2. Функция )ч(г) можег быль аиалип<- чески продолжена иа множество У;; двумя способами: (3.51) или )г с (г), г е—= ,х, 2(г) (у( ) (3.52) Это иас, естествепио, приводит к необходимости рассмогреиия ланагозночной аналопшчсской функции Р(г), определенной в обласп! ,Р =,Ф1 !-.Р2 И ПРППИМаюЩЕИ разлп шые зпачепия в одних и тех же точках части У;'2 обласгв У.
В частности, в данном случае мы получаем двухзначную аналитическую функцию с (г), приш<маюшую в одиои и той х<е точке гя я д,ч два различных значения, совпадающие со значениями фуикциЙ Д (г) или фя(г) в этой точке. Оперируя с ьшогозпачиой функцией и ( ), имеющей различные значения в одной и той же точке комплексиой плоскости, приходи<ся встречаться с трудностями выбора ее значений в данной <очке. Лля удобства выбора этих значениИ часто пользуются понятием вещви аиалип<ческои функции"'), являющейся однозначной и пепрерывиои функцией в соответствующей части области определеиия фупкции р(г).
Одиако более удобным оказывае<ся несколько иное представлепие, позволяющее рассматривагь даииую функцию как одиозиачпу<о, ио определепиую иа более сложиом многообразии, чем использовавшаяся до сих пор обычная плоскость комплексиой переменной. '!'ак, возвращаясь к рассмотреииому выше примеру двухзначной функции с(г), будем считаг<ч что области З1 и уя склеены по общей части и;2, в которой функции у<(г) и Дт(г) совпадают, а два экземпляра У!2, принадлежащие обласгям У< и оя, осгавлеиы свободиыми.
Тогда па получеш<ом геометрическом многообразии, представляющем собой объедипеиие областеи .ест и уя, склеенных по И;2 (так что точки, принадлежащие э!2, перекрыты дважды), функция р(г) является одиозиачпой аналитической фуикцпей. !!остроеииое таким образом многообразие называется романовой оовсрхносгпаю анплп!ппчссной функции р(г), являюииейся аиалитическим продолжеиием фупкш!и !',(г) (уя(г)), а отделывае экземпляры пов!оряю<цихся областей — различными листали! римаиовой поверхиос ги.
*) Например, такое рассмотрение мы проводилв в гл. ! при взучеиии фувхцив 7 = !' пь паня г!~к гимпповоп повггпхмостп ~ Л (х) з е= ' -'-, Г з р(з) =- уз (2), х е= я и- ) ы, (3.53) ЯвлЯетсл анали ги ~есной в облас ги э = — Рг д йя+ Гга Очевидно, достаточно доказап, что для каждой гочки, обласзп Э, лежащеИ па кривой Г,в можно указать такую окрестность, в которой функц!ш р(з) является аналитической. Возьмем проиэвоггьную точку:„~ Г,, и построим окружность С, с цапром в этой точке, великом лежащую в э. Рассмогрпм интеграл ы!пз интеграла !(оши Ф(з)= —, . ) ='г!ъ, 1 С г(Ь! (3.54) В силу установ.ченных ранее свойств пшегралов, зависящих от параметра (гл. 1, сзр, 52), функция Ф(-) является аналитической фуик- '!'аким образом, гипсе~о рассмотрешш мпогозиа шой функции иа комплексной плоскости = мы моигем !гассмазривагь одиозна'шую функцию иа римаповой поверхности.
Так же как и в просгеИшем случае, расслготреппом в начале данного пупкга, приведенный способ аналитического продолжения функции Л(з) пз области гг па более широкую область, предсгавлякицую собой уже римапову поверхность, является ~астной форъ1ой об~ггего ггрггнппла аналитического продолокенпи Очевидно, можно анагюгичиым образом строить и аналитическое продолжение однозначных апалгпшеских функций, заданных иа римаповой поверхности.
Прн эзом мы, ес1ественио, придем к многолистным римановым поверхносгям, представляя>щим собой геометрическое многообразие, в которое одна н та же область комплексной плоскости входит уже не в двух, д во многих экземплярах. Сов!пег сгвующие примеры будут рассмотрены в пункте 3 дзшюго параграфа, а сейчас рассмотрим епге один способ аиалити.
ческого продолжения. 2. Аналитическое продолжение тг через границу. В ряде случзев для гг аналитического продолжения функции У', (а), первопа шлыю заданной в облас~ и Згп используется также следующий способ. Пус1ь обласги эг и Я,, именл' в ка ~есгзе общего участка границы кусочногладкую кривую Г, (рпс. 3.6) и в этих областях заданы анагшпшескпе функшш Уг(з) и Уя( ), непРеРывные соозвегственпо в чг+Ггз и гв —;-Гга и совпадающие на Гш. Рассмотрим миогкество точек й =-,э, -г-эадп е- Ггз '!'ак каь гочки г е= Г,з явлшогся впугренними то ~каз1и этого ыпожесзза, то множество У является областью. Покажем, чго функция Гг(З), ОпрЕдЕЛЕИПая С ПОМОИ1ЫО СООтнОШЕИИИ 98 лнллитическог продолжгниг.. элементляные фрикции !гл.
з цпей г при любом половеении точки г, не леягапгей нз кривой С„. Покажем, что ко~да точка г лежит внутри окружности Се, то ср(г)= — р(г). Лейсгвптельно, предсгзвим интеграл (3.54) в виде с,' с, ',-т„ т„+с, где С, и С. суть части окружности Се, лезкзщие в т, и Зе(С„= С, + С,), з у„— чзсть кривой Г,з попавшая внутрь окружности Се. Если точка г припадлежиг области йэ то в силу теоремы )(оши в) получим — ~'~~~ б~=Л( ),,— ': ~ Ее(') б~=О, (Зб(!) с,-'; т„ т„фс,' откуда Ф(г) =.Ет(г) = с(г) при ге=.Фт.
Аналогично Ф(г) =Ее(г) = Р(г) пРи г Е= Рз. В точке г,, пРинадлежащей Уы, в сплУ непРеРывпосзи функций Ф( ), Л( ), Ее(г) внутри окружности С,, татоке будем иметь г) (ге)=Л(ге).=А(ге)=с(ге), откуда и следуе~, что Е (г) является аналитической функцией в области А И в этом случае, так же как и в предыдущих, мы будем говорить, что функция Л(г) (Л(г)), заданная в области 5,(Фз), аналпнпшески продолжена на область ве(3,). Построепнзя выше функция Е (г) являегся аналппшческнж продолжением функцшг Ег(г) в область ,Р =-.Рт+ Рз+ Гме Описанпаа констРУкциа пРедставлает собой частнУю форму общего принцшга анилипищесгсого продолжении — инилппгическое продолжение через границу обласпгп.
При этом, так же как и в предыдущих случаях, мы при продолжении через границу можем прийти к необходимости рассмотрения однозначной аналитической функции на римановой поверхности в тех случаях, когда области ига и Рз, кРоме общего Учасгка гРапицы Г,м имеют непУстое пересечение .Фаз, в котором функции Л (г) и Л(г) не равны тождественно друг пруту. Рзссмотрпм теперь ряд примеров применения общих принципов аналитического продолжения, приводящих ьак к многозначным, гак и однозначным функциям. 3.
Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу, Рассмогрим некоторые примеры построения аналитического продолжения функции Л (г), первоначально заданной в области 3т комплексной плоскости г. При этом, как было отмечено выше, мы в ряде случаев приходим к необходимости рассмотрения функции, многозначной на комплексной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
