А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если Йя(Й,, го существуег общая область сходимости эгпх РЯДов — кРУговое >гол> Цо Йа (, д — е, ( Йг, в когоРом Рад (4.1) сходится к аналитическая фуикшш .>'(з)=>1(а)Р ба(в)=,~, еи( ль)" Й>(1з — Рц>~ Йг. (46) ')ак как ряды (4.3) и (4г)) являются обычиыми сгепеииьши рягами, >о в указаииои облзс>п фуикция т (е) обладает всеми своясгвами суммы сгепеииого ряда. с)го озизчаег, !го рлд гйорина (4,1) г еойшиел вн1'пгри своего кольца гхо>>ишо! иш и неко>лорой г>>ункции /(з), ,>налиптчегкой в ванном кольце. ияд лоейих 1 1' ((:) 1 ' ('(3 (4.7) =-..: а ( 1.
Поэтому, предста гл г 1-!а Ссс выполняется иеравеис»во ~ 1 щщ дробь в виде ь — з 1 1 '«» »2 — гл а — зл Ь вЂ” гь,Ы гь — аа 1' — а (с„— 2О) — (а — г„) р — зл и щ авеля иочлщсиое»истегр»»рован»»е, что возмо;кио в силу ращюмериои сходимосги ряда ио переменной ь (подробнее см. гл.
2), получим СЛ Л(е) =--- ( —.дЕ=,т л(е — г,)", с ((л) ъч 2лс,) 1 — » с л =0 (4.8) где г 1("1 2»а ,1 (Ц вЂ” г„)л " сю (4.9) Если йя~й,, »о ряды (4.З) и (4.5) общен области сход»илсосги ис имеют. Тем самым в этом случае ряд (4.1) нигде ие сходится к какой-либо функции. 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. '1'еиер>, естественно иосгавигь вопрос можно ли функции, аиалиги~ескоя в |~екогорол» круговом кольке, сопоставить ряй Лорзиз, сходяшияся к этои фуикпии в дщиюм коллис) Ответ иа этот вопрос »»ае~ следующая теорема. у Теорема 4.».
ооункцпя ~"(г), ~ к аналаласнескан в круговом кольце Йя (1з — „, '( Й», однозначно лредплавляен»гк в эгнолс колеи(е еходясцплн я ряд»о.и у»орина. Локазательство. Фикси- вг( вс/ руем произвольную точку а внутри кольца йя ( а — О ( й» и посгроим окружности Сн и Сн с венграми в „, ра»иусы кото- рве. 4.1. рых удовлс»ворясог условиям йя ( ( Йз(( Й1 (Йь йл( = — гь,(й', (рис. 44).
Согласно форлсуле Кони для мпогосвяз«оя области сслсеет мес.го соопющеиие 1!4 Ряд лОРАИА и изОлиРОВАнные ОсОБые точки !Гл. 4 Так кзк па Сл выполняется перавепство ~ — ~ ~ 1, то аналоя го г — го гично предыдущему имеем — г — го л ! тг — го, В результате почлеииого иите~рироваиия этого ряда получим (4Л О) где с „= — -- ~ 7(К)(9 — г,)" аоть, (4.! 1) Сл' Изменив направление ингегрированпя в (4.11), перепишем это выражение в виде 1Р )О 2л),) (,",— го) ""' (4.12) Сл, 1 2иТ, (; — го "+' С (4.13) где С вЂ” пропзвольиьй замкпутып контур, лажаигид в кольце Йо( (', г го ~ ( Й, и содержащии то поу го внутри.
1!Озвратившпсь к формуле (4.7), получим гг(г) = ~. Сл(г го)" + У . =лл ~„гл ( го)" (4 14) л ! (г--го)л л=о л == 1 л =. — оо где коэффициенты сл для всех значений индекса и определяются единообразной формулой (4.13). Так как з — произвольная точка внутри кольца Йг(! г — го !(Йт, то отсньта следует, чго ряд (4.14) сходится к функции 7(г) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце Йо < Йг.:. ! г —, ! -. Йг( Йт ряд сходится к функции Дг) равномерно.
Остается доказать единственность раз- Заметим, что подыитегральные функции в (4.9) и (4.12) явлшотся аналитическими в круговом кольце Йг( ',г — го~, ( Й,. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответству1оппгх пптегралов пе измепягся при произвольной деформации контуров шпегрпронапия в ооласти аналитичности подыптегральпых функций. Это позволяет обведишпь формулы (4.9) и (4.12); з з! классификация изОлиРОВАнных ОГОБых тОчек 115 ложения (4.14). Предположим, гго имеет место другое разложение: .Т(») = У с-'(г — ь)", где хотя бы один коэффициент с„' ~ сп. Тогда всюду внутри кольца Йг < ~ - — »ь, < Йг имеет место равенство Х "(»-».)п=,у', сп (г — »о)' (4.15) и =.
— пп и = — 3 Проведем окружность Ся радиуса Й, Йа<Й<Й,, с центром в точке :„. Ряды (4.15) сходятся на Ся равномерно. Умпожим пх на (» — гп) где т — фиксированное целое число, и проинтегрируем почленно. Рассмотрим ~ (» — г„)' ' йг. Положив г — »„ = Йегч, получим сл (» г )и-ьп-1 с(» Йп-т 1 ею Опт) чнт, (4 15) сп 10, лфт, О ~ йпй п=т. Учтя (4.16), найдем, что после указанного интегрирования выражения (4.15) отличными от пуля окажутся лишь по Одному слагаемому из бесконечных сумм в левад и правой частях этого выражения. Отсюда получим: ст =- с,'и.
Так как т — произвольное число, то это и доказывает единственность разложения (4.14). Теорема полносгью доказана. Из полученных результатов следует, что точной областью сходи- мости ряда Лорана (4.1) является круговое кольцо Йя , '- — г,' < Йь на границах которого имеется хотя бы по однои особои точке аналитической функции Т"(»), к которой сходится ряд (4.1). Последнее утверждение являешься следствием теоремы З.З.. й 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции Точка »и называется изолированной особой точкой функции Т(»), если д (г) — однозначная и аналшнпческая в кру»овал кольце 0<(г — »„,'<Йт, а точка»ь являегпсн особой точкой функции Т(»). В самон то~не», функция г"(г) может быть не определена. Изучим поведение функции Т(г) в окресгности точки г„.
Согласно прсдгадуп!ему параграфу функпикэ Т(») в окрсстносп! точки г, можно разложить в ряд Лорана (4.14), сходящийся в кольце 0< - — =. )< «Йп При этоль возможны трп различных случая; !' Полученный ряд Лорана пе содержиг членов с отрпцательнылш с!епепяьш разносы! (: — г„). 2' Содермчиг конечное число членов с отрицательными степенями разности (г — гь). РЯД ЛОРЛИЛ И ИЗОЛИРОВЛги!ЫС ОСОБ! гя ГО'гки 1ГЛ.
Я 3' Содержит бесконечное число членов с отрпцзтельнымч степенями разности (= — =,). В зависимости от указзишгх возможпостеи и производится клзссификацпя изолированных особых точек. Передает! к последовательном) рассмотрешио кагкдого нз уьатапшгх выше сл)чаев. 1 Ряд Лорана фуикшш у"(=) в окрестности ее паолировашгоп особой точки -в пе содержит !ланов с огрицателыпгьп! степенями ;г разности (а — гь), т. е, 7'(з)-= ~ с„(з — зь)гг. 14ак легко видеть, при л =О :-+ -, сугпествуег предельное значение фуикпии Д(х), причем это иределыюе значение равно ся.
Если функция ф(в) ие была определена и точке -,, то доопРеделим ее, пологкнв )г( в) =с„. Если пеРвоиашльио задаппоЕ значение 7( „) пЕ совпадает С сгь то измЕипм значение функции Г(з) в тогке -„, положив !'(зч)=-сь, Так определенная функция у"(з) будет аналитическая вснхау внутри круга, с — «гг ( ( гсг.
Теы самым мы устранили разрыв г)гуикции г'(з) в !очке Поэтому изолированная особая тогка -ь функции г(а), для ко!оров разложешге ф(г) в ряд Лорана в окрестности гв не содержи! членов с отрппательньгми сгепепячи разности (з — -ь), называется успгранплгой особоа тотгог). Проведенные рассмотрения доказывают сггедугоцгую теорем!С Теорема 4.2. Если пгочка дь являенгся устраншяой особой точггой аналипшческой функции г"(з), то сугцсствуелг ггредельное значение 1!ш у"( ) = ся, причем ; 'сь ~ =О.
г г, Заметим, чго в окрестности усгрзпимои особой точки функция г (а) ограничена н может быть представлена в виде (4 17) где т-=0 — целое число, а гр(а )~0. При этом, если 11гп г(с) =-О, г- г то в представлении (4.!7)число гп ) 0 определяет порядок нуля функции 7(с) в точке зя. Пчее! место и обратная теорема, когорую мы докажем в усиленной формулировке. Теорема 4.3. Еслгг фуньцггя у(з), аналтлпчсгкая в !грузовоз! ГСОЛЬцЕ 0~ '  — ЗЬ, с. )Сг, ОграНИЧЕНа (',г (З) (г14 Прн 0 ~', З— — (хгг), то точна .ь есть устрани.иан особая точки функцгггг г (е) Ло к азательство. Разложим функцию ф(:) в ряд Лорана (4.14) и рассмотрим выражение (4,13) для коэффициентов этого ряда: 1 Р ПБ) 2лг, (; — гя)л ' с В качестве контура интегрирования пыберем круг с центром в гочке «г 21 кллсс<1Ф11клмия паол!!поплгпгых Осогых то гск 1!7 радиуса р, '1'огда в силу условия теоремы имев! место мзжораигиая опенка с„'(,ЧГ> ".
(4.18) ю (2) — <» -1 + — ! — -1- 2> с (» )»вЂ” с-<» с, !2 — 2»У» ' 2 — 2» »=а =-(» — »») ',с <-с и, (» — »<ю)4<-...-!с с 1(» — »„)"'-1)+ + ~ с„(» — -»)" == (» — »») "'гр( ) с» ~~ с» (» — »»)". (4.19) <=О »=П Функция юр(»), очевидно, является ограниченной аналитической функцией в окрестности точки»„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
