А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ич предсгавлеиия (4.19) следует, что при» -» „модуль функции у(») неограниченно возрастает независимо от способа сгремлеиия точки » к !очке »,, что и доказывает !еорему. Заметим, чго, если доопределить функцию <р(») в точке »„, положив ц>(»я) =-с „, ф О, форму та (4,19) может быть переписана в виде ф (2) (2 — 2 )»' ' (4.20) где ц>(») — визги!тическая функция и >р(»„)э О; чгсло т иазывается порядком полк>сз. Имеет место и теорема, обратиая теореме 4.4. Теорема 4.5. Осли функция Д( ), аналитическая в окре<ялногтюю своей излированной особой топаю .-, нео»ранпченно возрасюлает ло модулю нсзавпсп.но от способа сюнревмленпя точки» к точке», Ь то я!очка»„является полюго.и функции 7(»).
Ло к азат ел ьс г во. Г!о условию тсореьгы для лк>бого числа И " О можно указа!ь такую в-окреспгость точки .„, в которой Г>уде>! рагсматривать коэффпцигл!ты с огрипателып<и ппдексом л ( О. 1'ак как зизчеиие коэффггциепгоз с» ие зависит от р, го гл (4.18) полу!им с»:= — О при и( О, что и доказывает теорему. 2» Ряд Лорана функции /(») в окрестиоспг ее изолировапиой особой точки -, содержит конечное число т членов с огрггцагельиы>ги степепячп разности (» — »„), т.
е. 7(») = ~„с„(» — »»)". Б этом слу».. — <1< чае гочка»„иазьгвается полюсом порядка пг функции 7'(»). Г)оведепие знал!Ыической функции и окрестности ее полюсз определяется следткиггегг теоремой. Теорема 4.4. <)слп я!очка -и являеюлся полюсолю аналияпте<кой фуньции 7(»), то яр<1» — »»„модуль функ<)июю 7( ) нео»ранпченно возрос<пает нсзависилюо от гпособа стремления тачаю - к Ло к а зз тельство. Представим фуикгппо г'(») в окрестности то <кп»я в виде 118 Ряд лооанл и цзол!!Роялю!ые Осовые точки 1Гл, г 1 ~.1(г),') А, Рассмотрим функцию е(г) = — —.
1) указанной е-окре- ((3)' спюсти точки га эта функция является аналитической и 1и~ ц(г) = О. г- 2 Поэтому па основании теоремы 4.3 гочка га является усгрзиимой особой точкой функции а'( ), и функш!я й(г) в силу формулы (4.17) в окреспюсти точки а может быть представлена в виде д(г)— = (г — г„)"'гр(г), где гр(г) — аналятнчес«зя функция, нричезг гр(га) э= О, а иг) О. Тогда в окрестности точки г„для исходной фушсш1и г'(г) 1 1 1 имеет место представление у(г) — = . —, Оно в силу е(г) (г--г„)" ф(г) ' условия гр(г,) ф 0 может быль переписано в виде у(г) —.— —,, сов- 1~> (г) (гг)л падающем с нредсгавлеиием (4.20), где ф(-) — аналитическая функция.
Отсюда и следует, чго точка гз является полюсом порядка т функция г(г). Теорема доказана. Заметим, что гочка -„, являющаяся нулем порядка т аг!злить!ческой функции д(г), является полюсом того же порядка гн функции ! /'(г) = —, и наоборот. Это устанавливает очень простую связь й(г) ' между нулями и полк!сами аналитических функций.
3' Ряд Лорана функшш г(г) в окрестности ее изолированной особой точки «ч содсржиг бесконечное число членов с отрицательными степенями разности ( — г„) т. е, ) (г) = ~л с„( — га)". В этом случае точка г, называется гуигесгнаенно особой точкой функцгггг у(г). Поведение аналитической функции в окрестности ее сущесгвенно особой точки описывается следуюгдей теоремой. Тес!рема 4.6 (теорема Сохоцкозо — Вейермгтрасса). Каково бы нп было в ) О, в любой окреслгноюла суигестзенно особой !ночки г, функции )(г) найдегпсгг хотя бы одна клочка г„в кол!орел! значение функции у'( ) отлачаегнся от произвольно заданного ко.аплексного числа В .иениие чем на в.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна, т. е. при заданном комплексном числе В и заданном в)0 найдется такое т),)0, что во всех точках г из г)я-окРестносги гочки г, значение функции у'(г) огличзется от заданного В болыце чем на е: ~ У(г) — В, ) з, ~ г — га - Ъ (4.21) Рассмотрим вспомогательную функцию ф(г)= ~ о . В силу (4.21) 1 функция ф(г) определена и огрщшчена в г!з-окрестносги точки г„. Следовательно, цо теореме 4.3 точка гя является устранимой особой точкой функции ф(г).
Это означает, что разложение функции ф(г) в окрестности точки га имеет вид ф(г) =(г — го) Ф(г) гр(га) О. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 119 Тогда, в силу определения функции ф(з), в данной окрестности точки -, имеет:иесто следуюцгее разложение функции Г(з): У(з) =(з — д,)™<р(з)+В, 1 где аналитическая функция ср(г) = — ограиичеиз в т)ссокрестности ~р(г] точки,. !4о разложение (4.22) озиачзет, что точка зв является или полюсом порядка т, или при т= О правильной точкой функшщ Д(з), и разложение в ряд Лорана последней должно содержагь лишь конечное число членов, что противоречит условию теоремы.
Г!олучеиное противоречие и доказывает теорсмуч Теорема 4.6 дает следующую характеристику поведевия аиалити1ескои функции в окресгности гв — «,, ( Ч, существенно особой точки: в существенно особой точке , не существует конечного или бсскоие птго предельного значения апзлитическои функции. В зависимости от выбоРа последовззелыюсти точек, сходив!виси к точке дм мы можем получить последовательности значеюай функции, сходящиеся к различным пределам. 1!ри этом всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к любому наперед ааданпому комплексному числу, включая и со. Очевидно, цет необходимости докззывать теорему, обрзгиую теореме 4.б, так как если цри з -~-», ие сущестнуег конечного или бесконечного предела фушгции у(з), то в силу теорем 4.2 и 4.4 точка вв не может быть пи усгранимой, ии полюсом. Заметим также, что если гочка -в является существенно особой точкой функции т'( ), причем г"(з) †.
О в некоторой окрестности точки гм то и для фуша1ии д(з)=1(У(з) точка св является существенно особой точкой. Рассмотренные три случая исчерпывают возьгожиый вид разложения аналитической функции в ряд Лорана в окресгности ее изолированной особов точки и имеют решающее зпачеиие для выяснения общего хода изменения аналитической функции в окрестности ее особых точек.
Из проведенных рассмо1реиий следует, что возмоисны две различпие точки зрения па классификацию изолированных особых точек одпозиачпои апалитическои фупкцпи, приводяпгие к одипаковым результатам. Мы исходили из аиалгпической точки зрения, основанной на хзрактсре разложения функции в ряд Лорана, и установили, как ведет себя сал1а функция при стремлеиии к особой точке. Возможен и другой, геометрическия подход, при котором в основу классификации кладется поведение фу>нсиии в окрестиости ее изолированной особой то 1ки.
Г!ри этом, если функция ограничена в окрестности особов точки, то эта точка называется устра|и|мой и, как следует ич теоремы 4.3, разложение даннои функции и ряд Лорана в окрестности гмои особой точки ие содер'киг отрицательных степеией. Если ири стремлешш к особой кочке функ гия имеег бескоиечныя предел, то эта точка — полюс и разложение в ряд Лораиа имеет конечное |го Ряд лОРАна и изОли|'Овлнные ОООвые тОчм| |сл 4 число осрииагельиых степеией. И иакоиеп, если фуикпия при сгрсмлеиии к особой точке ие имев| к|иючиого или бескоиешого предела, то эго — сушесгвеиио особая точка, разложение в ряд Лорана содержит бескоиечпое число отриизгельиых степеней.
В заключение даииото параграфа осгапоиимся иа вопросе о поведе|щи аиалии|ческой фуикиии и окрест|ости бескоиечпо удалепиой точки. Бесконечно удаленная то |ка |сомллексной плоскоплп яеляетлся изолированной особой >лаской однозначной аналитической функции т(г), ес,гп л|оакно указая|ынакос значение 14, что ане круга | г > 14 фунь'ция т"(г) не пмее|л особых точек, находя|цихся на конечном расстоянии ояг |яо Ркп = О.
Так как /( ) является а|щлитической фупкпией в крутовом кольке К ( ',' ! ( ОО, то ее можно разложить в ряд Лорана )(г)=- ~, с г", К( г (сьо, (4.23) сходящийся к /(г) в даииом кольие. Так же как и для конечной изолированной особой точки а здесь возмо киы три случая: 1 Точка г=-со иазьвае|си устлана.пой особой тоской фуикиии т(г), если рачложеиие (4.23) ие содержит членов с положитель- ОЭ 'ьт с л Ъ~ сл пыл|и с'|еиеиями г, т. е. т( )= — '„=с -'- — "„, или если при 0 л=ч л =- | г — РОО существует коиечшое предельное значение фуикиии у"(г), ие зависяи|ее от способа предельиото перехода.
Если с„= с, = —... ., = с „,,=О, с „, ~ О, то бескоиешо удаленная точка является пулем и-го порядка фуикиии Дг). 2л Точка =.:=со иззывается полюса.и порядьа и фуикпии т(г), если разложение (4.23) содержпг коиечпое т число членов с полол ж|ИЕЛЬИЫМИ С.|ЕПЕИяМИ г, т. Е. Дг) = ) Слг", (|П р О) ИЛИ ЕСЛИ эта фуикиия иеограиичеиио возрастаег по модулю при г — ~-ОО пезаписимо от способа предельного перехода. 3' Точка г =со называется суицетлвенно особо!с |ночкой фупкппи У(г), если разлоя|еипе (4.23) содержит бескопечпое число членов с положительпыми степенями -, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
