А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1(ак и в предыдущем случае, точки = —.- О и» =. со являются точкамп разветвления функции 1.п». Отметим еще рат, что функция пг=! и» является обрапюй функции "==. е". В~о позволяет определим ехчеленную функцию»" для любого комплексного значения а в виде »и = (еьве)я еаьвг (3.67) 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов. Б рассмотренных примерах различные ветви аналитической фунгщии задавались в явном виде на всей комплексной плоскости и построение апалигического продолжения производилось путем соответствующего склеивания областей определения этих ветве11, Рассмотрим теперь еще один метод конкретного построения аналитического продолжения авали.гической функции, первоначально заданной в некоторой области 5, комплексной плоскости ». а) Рис.
Зть Пусть функция )",(») является аналитической в области лт. Выберем произвольную точку», е= эт и. разложим )т(») в степенной ряд в окрестности этой точки: ),(»)= ~ел(» — »а)л= 7 ' (» — »а)". ч рю( л! л — 3 п=е Рассмотрим ряц стоящий в правов частя (3.68). Лприори возможны два случая (рис. 3.9). Б первом случае радиус сходпмостн йа ряда (3.68) не превосходит расстояния от точки»„до грангпгы Т'т обласгп .Эм В эгон случае разложение (3.68) не иыводит за границы области 5 первоначального определения аналнтическоя функции)г(»).
Бо втором случае радиус сходимости й„ряда (3.68) больше расстояппц ог точки»„до гРапицы Гт области .Ег. В этом слУчае обласгь лм представляющая собой круг ! -.— »„', (Йм уже не являезся подобластью области 5м а лишь имеет с ней общУю часть Уда В обласги (3.68) !64 хптлитичвское пподол;кшпкь элвыннтгпныг тынюгш! !гл.
-"я сходящнйся степенной ряд (3.68) определяет акали гпческую функцию гя(с), совпздаюцгук~ «/',(') в -я,я Эта функния,тх(с) является апалитгшескнм продолженном Г, (х) в область .гя. Следовательно, в области У =.э!+ 5з опРеделена анзлнтическаа фУнкнна Л (-) -' е= -"т Р (а) .= Гз (а), Я= Ям (3Л9) У (х) = — Хая (3.70) л=з Эгот ряд сходятся внутрн крута,' а ' ( ! к аналитической функцнн ! у, (-) == —, Всюду вне круга , 'х ~ ( ! ряд расходк гся; следовательно, г",(х) не определена вне кругз (!.
Выберем некоторую точку зя внузри круга ! д ' ( ! н нос~ропп разложение /,( ) в степенной ряд ~'с,(г — -,)" с центром в эзоп точке, Бы шслпв коэф! фнцненпз с„по формуле (2.16), получим с„=, Легко по(! — =- )"'' казать, что радиус сходимостн данного ряда р(г„) равен ! ! — г„', !(ак следует нз элеменгарных геомегрнческнх соображений, в гом случае, ко~да точка:„пе лежат на отрезке дейсгвнтельпой осп (О, !(, круг сходнмостн данного рядз выйдет за пределы первоначального "Э ( т )и круга сходимосзи д ! ( !. Следовзтельно, функция / (л).=зу— я=а является аналнтнческнм продолжением функции У, (х) на область -'я)~! ! аа .
Ззмепи„что степенной ряд, определяюгцнй функцшо уа(х), также ! легко суммнруегся, прячем,Гя(г) =- —, Г!оэтому взяв в кзчесгве 1 — г' Итак, и рассматриваемом случае рвало'кецие (3 68) выводят аа грапшпу !'т обласгп -'', первоначального определения аналитической функции Г (з). Г1роведя аналогичные рассмогрепня для некоторой то псн а, построенной области Уя, затем для то ~кп хя области 3'з и т, д., мы получим аналитическое продолжение фупюгни у, (а) вдоль цепочки пблпстег1,%п 5я.....
3„, ... Г1ри агом возможны такие взанмгпзе наложения обласгей цепо ~кп, которые приводят к необходимости рзссматрпвзть функшио с ( ) как однозначную аналитическую функцию, определенную уже не на обычной комплекаюй плоскосгп -, а на рнмзповой поверхносги.
Рассмотрим конкретный пример разобранного способа аналитического продолжения. П р н м е р 3, 1!ус!ь первоначально функция з',(') задана своим степенным рядом ПОНЯТИЕ РНМА1!ОВОИ ПОВЕРХНОСТП 105 Нового центРа Рззложепиз то1кУ, внУтРи кРУга ) г — =о <" ! 1— ( )ь получим ряд ~ '— , сходящийся внутри круга ~„ (1 - )ь 1 Е1 о.=з 1 ~ 1 — е,1 к функции 1з(г) —.— —, совпадающий с уо(.) и 11(г) з -' и общих частях круга ' г — =., ' < 1 —, и областей определения соогзетсгвуюпгих функций. '! ем самым,г ( ) является аналитическим продолжением 1т(г) па новую область. Отметим, что ири любом выборе точки г граница соотгетс1вующего круга сходпмосгп ирой- 11 дщ 1ерез точку г'=! (рис.
3.10). !!оступая аналогичным образом, можно построить анзлип1- ческое продолжепяе функции Л (г) из полиуго плоскость комплексной переменной, за исключением точки =. = 1. При этом зиалигическим я .е продолжепием 11( ), полученным с помощью степенных рядов, яв- 1 (с= 17 ляегся функция с (г) = —, он- и=1 1 — я' ределеппая и аналитическая вооду, зз исключением точки г.—.-1. Итак, нам удалось расширить область первоизчалыюго задания аналитической функции 1г(г)— круг; г ! ( 1, в которой была задана фушкция 1 (г),— па большую ооласп,. Зат1егиы, что, хотя и имеют месго многочисленные взаимные наложения построенной цепочки обласгей, полученная аца- 1 лигическая функция Г. (г) =- — является одиозна 1пой во всей об- 1 — г ласти своего определения — пз полной плоскости г с выброцгениой точкой =.
=!. Лалы1ейшее апалиптеское продолжение фуишцш !Т(г) иа бдлыпую область уже невозможно. Точка .=.=-1, являющаяся границей области аналитичности функции )г(г), предсгавгщег собой в определенном смысле особу1о точку этой функции. Поведение апалиги юсьой функции в окрестности таких точек заслужпваег более подробного изучения, что и будет проведено в дальнейшем. 5. Правильные и особые точки аналитической функции. Пусть функция 1(г) задана в области -'", ограни 1епиой контуром Г. Тоска -ое= Р назь1ваегпсп правильной тотсой функции 1( ), если существует гссодяпгписл степенной рггд ) сь( — =„)", гсоторый в общей масти одласлга З и своего круга сссодижостп, г — г„! ( р (г„) 1бб АИАД11ТРшеское пРОЛОлжение элементАРные Функции 1гл, 3 сходится к фуньп(тг 7"(»).
Па зна ~ение числа р(,) накладывав~си единственное ограничение: р(«,) строго больше нуля. Точки « ~.ес, не являющиеся правильными точками функции 7(«), называются ее особмлш гпочкалт. Ясно, что если 7(») — аналитическая в области у, то все внутренние точки ягод области суть г|равнльные точки функпии 7"( ).
Точки границы Г могут быть как правильными, ~ак и особыми точками аналитической функции у(»). О чевидно, что все точки границы Г, лежшцие внутри круга ,'= — «„',(р(«,) с центром и некоторой правильной точке «, ее.'~, также являются правильшями точками фушсции у(«). Так, в рассь~огрегшом выше примере все точки границы ~ « ( = 1 области первонзчального определения функции уг(«) = ~„ «", за исключением точки « = 1, являются правильными п=в точками. Едпнсгвеннод особой то ~коя этод функции может быть лишь точка «=-!.
Опа же является и особов точкой функции 1 е («) =, аналитического ИРодотпкеииЯ фУнкции уг( ) на Расширенну1о область. Аналогично точки « = О, ОО являются особымн и точками функции р' «и 1п», рассмотренных в пункте 3. Пусть аналитишеская-функция 7т(«) первоначально задана в области Уь и пУсть все точки свЯзного Участка Г' гРанпцы Г этой области явля~о гся правильными точками функции 7", (»).
Тогда из проведенных вьппс рассмотрения следует, что функшш 7",(«) может быть аналпгически продолжена череа 1" на ббльшую область. Может оказаться, что все точки грзнпцы Г Области -э, первоначального задания аналнтическоя функции 7(«) являются правнльнымп. В этом случае функцию У( ) будем пазьшать аналшпической в залгкнутой области Уь Из пРед~дУших РассмотРенг1й следУет, ~то фУнкЦпю, аналитическую в залсннутой обласпш Ув ложно аналитпчесгсн продолжить на бблтпую область у3, содержащую облашпь бе Аналипшеское продолже|ше через учасчок границы, содсржашпп лишь особые точки фушсции /~(«), очевидно, невозможно.
Приведем пример аналитической фушгпнш, заданная в ограшшенноя области, которую невозможно продолжить на болыпую область. П р и м е р 4. Рассмозрим аналитическую функцию г («), заданну1о степенным рядом (3.7! ) и=я Как легко определить с помощшо простейших признаков, ряд (3.7!) сходится внутри круга ~ «( !. При деяствнтельцом х — +! сумма хя неограниченно возрашает, тем самым точка «=1 является я=и ан — Ы ,» особой точкой с(г).
Покажем, что и точки г» м=е '-' где т=1, 2, 3, ..., 2», а /с — любое натуральное число, явлчются особыми точ.ен — т кщш функции с(г). Для эгого рассмотрим точку -» „,=р е (0(р(1) п представим значение функцсш г(г) в этой !очке в виде У(» гп) = — гс г» ~а+ гс» т. (3.72) а=0 а=» Первое слагаемое в (3.72), явлаощесся суммой конечного числа слагаемых, по абсолюсссой величине ограни|сено, а второе, в силу выбора точки =.», может быть преобуазовано к аиду ю С:0 (3.73) а=-» При р — «1 сумма выражения, стоящего спрана в (3.73), неограниченно возрастает. Эго и доказывает, что точки г» м являются особыми сочками функции у(г). Но при й-«оо эти точки всюду плотно' ) расположены на окружности ' г, = 1. Отсюда следует, что функция (3.7!) действительно непродолжина ни через какую дугу агой окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
