А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ап Отметим, что если, начиная с некогорого номера Аг, отношение — 1, то ряд (2.1) с комплексными членами расходится. Дейсгап вительно, в этом случае все члены ряда (2.1), начиная с ан, удовлетворяют соотношению ! а„', =-! ан ~ =,6 О, т. е. не выполйеи необходимый признак сходимости рядз. Согласно признаку Коши ряд (22) сходится, если у'(а„((д(! для всех гг--АГ. Если, начиная с некоторого Аг, для всех и- М имеет л место соотношение р' ) а„~ - 1, то ряд (2.1) расходится.
2. Функциональные ряды. Равномерная сходнмость. Перейдем теперь к рассмотрению функцвональных рядов, членами которых являются функции комплексной переменной. Пусть в области Р определена бесконечная последовательность однозначных функций комп- ь и РавномеРно схОдящиеся Ряды Финкций лексной переменной (и„(г)). Выражение вида '5~ п„(г) (2.3) ь=! будем называть функциональны гг рядол. При фиксированном значении гее:-3 ряд (2.3) преврагцается в числовой ряд вида (2Н), функциональный ряд (2.3) называется сходягцился в области х, если при любол г еа У соответствуюьц!гй елу чис гавай ряд сход!инея.
Если ряд (2.3) сходится в области з, то в этой области можно определить однозначную функцию ! (г), значение которой в каждой точке области 3 равно сумме соответствующего числового ряда. Эта функция называется сулгло) ряда (2.3) в области А В силу данных определений в этом случае для любой фиксированной точки ге=У и любого заданного положительного числа е можно указать такой номер М, что ~~(г) —,5' иь(г)',(е при п~Х(е, г). Заметим, что в общем случае М зависит и от е и ог г, В теории рядов функций комплексной переменной, так же как и в случае действигельной переменной, особую роль играет понятие равномерной сходимости. Например, как помниг читатель из курса анализа"'), сходящийся ряд непрерывных функций далеко не всегда сходится к непрерывной функции.
В то же время сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда является непрерывной функцией. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, обладают рядом весьма важных свойств, к изучению которых мы и перейдем. Начнем с определения. Если для любого положительного !псла е ложно указать такой нолгер М(е), что при и= М(е) неравенство ь ) у (г) — 'У, 'иь (г) ! - е ь = ! выполняется сразу для всех точек г области З; то ряд (2.3) называется равнолгерно сходягци.ися в области В. Обозна~И!в г„(г) =- ~~', иь(г), условие равномерной сходнмости ь =-- ь -!- ! ряда (2.3) можем записать в виде ',г„(г);(е при и- М(е).
Ниже будет установлен ряд свойств равномерно сходягцихся рядов. Укажем важный для приложений достаточный признак равномерной сходнмосгн. *) Сы. вып. 2, стр. 300, РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ сГЛ. 2 Так как ряд г', ! а„, 'сходная, то для любого е ~ О можно указать и=- ! такое М, что ~Ч~ )аь'(е при п=.-сьс. Но в силу (2.4) в области И=-и-!- ! у имеет мес~о неравенство и„ (г) -- ~д~~ !ссь (г)( ~„ ) аь ( а ь=п-!. ! Ь=п+! ь=п!-! прн и= Дс, по и доказывает равномерную сходимость ряда (2.3) в области ьс. Следует иметь в виду, что признак Веиерштрасса является лишь достаточным признаком равномерной сходимости.
Имеет место следующий пеобходимыи и достаточный признак равномерпои сходи- мости. Критерий Коиси. Для того члсобы ряд (2.3) сходился равномерно в области У, необходимо п достаточно, стобы для любого а~О существовало такое Ж(е), что одновременно во всех осанках обласлсп У выполняется соотношение ,'8„ьм( ) — Ь'„(г)!(е прп и М и для любого натурального т. с(о к а з а т е л ь с т в о. !) Н ео б х од и и о с т ь. Из равномерной сходимости ряда (2.3) следует, что для любого е) О можно указагь такое Дс(е), что во всех точках г области У имеют месю неравенства (2.5) при и.
М и для любого натурального т, откуда и следует (25). 2) Достаточность. Из соотношения (2.о) в силу критерия Коши для числовой последовательности с комплексными членами ") следует, что при любом фиксированном г ~ У последовательносгь )8„(г)) является сходящейся. Следовательно, при выполнении (2.5) ряд (2.3) сходится в области З к некоторой функции у(г) = = )пп Вп(г). Но в силу (2.5) и со 1 "и,'опыт(г) — оп(г) ~ = ~с(г) — оп(г) ! < е прс! н.-дс(ь) юп и *) См. гл, с, стр. !9.
Признан Вейерситрасса. Если всюду в области У члены функционального ряда (2.3) могут быть лсажорссрованы членами абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд (2.3) сходпснся равнолсерно в области У. )( о к а з а т е л ь с т в о. По условию имеет место равномерная оценка , 'ип (г), -- ! а„'„г я у. (2.4) б! РавномеРно схоггящг!еся Ряды Функция ац во всех точках области ьг одновременно, что и доказывает равномерную сходимость ряда (2.3) в области А 3.
Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых общих свойств равномерно сходящихся рядов. Теорема 2.1. Если функции ил(г) непрерывнь! в области 2, а ряд и пл(г) сходигпся в этой области равномерно к функции л .—.- ! г(г), пго у(г) также непрерывна в области А Показательство. Рассмотрим выражение 'у( +Лг) — у(г)'л где точки г и г+Лг принадлежат области А В силу равномерной сходимости ряда ~~ пл(г), для любого е)0 можно указать такое л.= ! Лг, что одновременно имеют место неравенства н У(г+")- ~, иь('+")» 3 У(г)-,'~ ггь(г)» 3 (2') для любых точек и г+Лг, принадлежащих области А В силу непрерывности функций иь(г), в любой точке а~У для заданного е и выбранного Лг можно указать такое 6 ~0, что лы л.л У иг,(г+Лг) — у иь(г) ( У !ггь(г+Лг) — пь(г), '»--.
(27) 3 при:Лг'< б. Из (2.6), (2.7) и из того, что модуль суммы не превосходит сумму модулей, следует, что для любого з) 0 можно указать такое б, что гу(г+Лг) — 1(г),'»е при !Лг, »б. Это и доказывает непрерывность функции у(г) в области А Теорема 2.2. Еслк ряд (2.3) непрерывных функций ил(г) сходится равномерно в области х к функции г( ), то интеграл от этой функции по любо!! кусочно-гладкой кривой С, целиком лежагцей в области лг, лгожно вычислить путелг почленного интегрирования ряда (2,3), т. е. (У(~) б~=,'! ~и„©б~ с л=-гС Доказательство.
Так как ряд (2.3) сходится равномерно, то для любого заданного е) 0 можно указать такой номер Лг, что для всех точек г" ,е=,У )гл(Ч), » — при и)Лг(е), б2 ояды аналитических ознкции <гл. з где Е -длина дуги кривой С. Тогда ! и г) < (ь) И ь — ~ ~ и„(~) И~ ~ = 1 ~ г„(<,) б<, =- ~ ! г„(~) б~ ~ ( е, с а=!с 1 1с с что и докззывает теорему. Отметим, что свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами, сформулированные в теоремах 2.1 и 2.2, соверщенно аналогичны соответствуюшим свойствам функциональных рядов с действительными членами, и проведенные доказательства фактически повторяют доказательства соответствующих теорем анализа ь).
Перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свопства равномерно сходящихся рядов, характеризуюп<его поведение ряда, членами которого являются аналитические функции. Теорема 2.3 (теорема Вейерилтрасса). Пусть функции и„(г) являются аналитическими в области У, а ряд 5', и„(г) сходится ь=! равномерно в любой зал<кнутой подобласти У области 3 к функции г"(г). Тогда: 1) у(г) является аналитической функцией в области А 2) г<ь!(з)= ~Х, 'и<а<(г). п=! 3) Ряд ~ ', и<ь! (г) сходится равномерно в любой замкнутой и=! подобласти У области А.
До к а ватель с та о. Проведем доказательство каждого из вышеперечисленных утверждениИ. 1) Рассмотрим произвольную внутреннюю точку г, е- :г и построим односвязную подоблзсть Х области й, содержащую точку гь внутри. В силу теоремы 2.1 г'(г) является непрерывной функцией в области гг. Рассмотрим интеграл от у (г) по произвольному замкнутому контуру С, пеликом лежащему в области Х. По теореме 2.2 этот интеграл можно вычислить путел! почленного интегрирования ряда (2.3).
Тогда в силу аналитичности функций и„(з) получим Тем самым выполнены все условия теоремы Морера. Следовательно, у'(г) — функция аналитическая в окрестности 3 точки г,. В силу произвольности выбора точки г, отсюда следует аналитичность у"(г) в области В. Заметим, что для любого натурального числа п фупк- ь) См. вып. 2, гл. 6, 63 РЛБНОЫЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУНКЦИЙ «!! ция г„(а) = ~~ , 'и, ( ) =у"(з) — Ч ', и, ( ), представляющая собой 1=-а Р! /=! сумму конечного числа аналитических функций, также является аналитической функцией в области 3, 2) Фиксируем произвольную точку -, «= 3 и выберем произвольный замкнутый контур С, целиком лежащий в построенной выше гюдобласти 2' и содержащий точку ао внутри. Минимальное расстояние от точки зо до контура С обозначим через !(. Рассмотрим ряд г() Ч ио(г) (г — ао)'" ~а (г — го)оо! ' о=! Так как ппп !з — за~=с()0, то этот ряд в силу условий теоремы *«С сходится равномерно на С, Поэтому, проинтегрировав его почленно по контуру С и воспользовавшись выражением производной аналитической функции через интеграл Коши, ОЭ ( получим т !о! (зо) = ч~ ~п(а!(зо).
так ! з х о о=! / как зо — произвольная точка области 3, l ь' то утверждение 2) доказзно. 3) Рассмотрим произвольную подобласть 22 области 3 и построим в области 3 ззмкнутый контур С, содер- Рнс. 2.1 жащий У внутри, причем тзк, чтобы расстояние от произвольной точки з «=У до любой точки ~ «= С было бы не меньше некоторого положительного числа !а — (,(~г(»0 (рис. 2.1) (очевидно, для любой подобласти 2т области р найдутся соответствующие контур С и число г().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
