А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1.9). Положив ьг=зо+Ре2ч, имеем ~ — с(9=! ~ УК)йР. г- о Последний интеграл преобразуем следующим образом: ол 2л 2А ) 7 (9) йР = ~ [УС) — У(з )1 йР+ ) У(з ) йР = о о о 2п = ~ [У(~) — Дао)1 йр+ 2л У(зо) (1.58) о устремим теперь р к нулю. Так как у(г) — аналитическая, а следовательно, непрерывная функция в области Р, то для любого поло- жительного числа е можно указать такое значение р, что ) 7(9) — 2г(го) ~ ( (е для (Ь вЂ” зо)< р. Отсюда следует, что при р-~-0 существует предел 48 огнкции комплвксссои пн кмснпон сгл с Так как в формуле (!«58) последнее слагаемое не зависит от р, то с(ь)с!ср = 2пс («е), а следовательно, 1 †' йс,= 2пссг(«е), и согласно с у(",) о (1.57) (1«59) г Интеграл, стоящий в правой части (1.59), выражает значение аналитической функции с(«) в некоторой сночке «через ее значения на любом контуре Г, лежащелс в об>саста аналгыттносснсс функции у(«) и содержащем точку «е внулсрн.
Этот интеграл и называется интегралолс Конт. Формула (1.59) часто называется форлсулой Косисс. 3 а м е ч а н и е 1. В формуле (1л59) интегрирование производится по замкнутому контуру Г, пеликом лежащему в области аналитичности функпии с(«) и содержащему внутри точку «,. При дополнительном условии непрерывности с(«) в замкнутой обласги У аналогичная формула имеет место, в силу теоремы 1.6, и при интегрировании по гранино С области А 3 а и е ч а н и е 2, Проведенные рассмотрения остаются справедливыми и в случае многосвязной области А При этом для вьщода основной формулы (1.59) следует рассматривать такой замкнутый контур Г, который может быть стянут к точке «,, все время оставаясь в области г. Тогда легко показать, что при условии непрерывности функпии с(«) в замкнутой области У с кусочно-гладкой граниней формула (1.59) остается справедливой при интегрировании з положительном направлении по полной границе С данной многосвязной области. 2.
Следствия иэ формулы Коши. Сделаем ряд замечаний по поводу формулы (1.59). 1. Интеграл вида - —. 1 — йч по замкнутому контуру Г, цели. 1 С )(ь) 2п! .) ~ — «е г ком лежаснему в области 2 аналитичности функции с'(«), имеет смысл для любого положения точки «„на комплексной плоскости при условии, что эта точка пе лежит на контуре Г.
При этом, если точка «е лежит внутри Г, то значение ипгеграла равно с(«е); если точка «„ лежит вне Г, значение интеграла равно нулю, поскольку в этом случае подынтегрзльная функция является аналитической всюду внутри Г. Итзк, !(й) ( Р(«е), « — внутри Г, (1.69) 2пс' сс г — ге '!( О, « — вне Г. При ~ 1 интеграл С( е) - ),— "- аь в обы сном смысле 1 С с'(й) 2лс д '. — се г пе существует, однако при дополнительных требованиях на поведе- интегрлл кОши , г1 ппе функции Т"(~) иа контуре Г этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если функция Т'Я удовлетворяет ца контуре Г условию Гальдера *) ~Х(ьт) У(ьа) ~ ' К ьг ьа ~ч О .7 (! то суп!ествует главное значение по Кот!! интеграла !(г ) )г.р.)(г„)=1!ш--.
1 „— — с(~, " / (1) о 2пг .) "— го 1',- где Г, представляет собой часть контура Г, лежашую вне круга ) г — о ) ( в. При этом Кр'1(го) 2 г (го)' ! 2, Пусть у(г) — аналитическая функция в односвязпой области .ьг и , — некоторая внутренняя точка этой области. Ош!шем нз этой точки как из це!пра окружность радиуса Йо, целиком лежашую в области А Тогда по формуле Коши получим У(.)=,—,,: ~ —,, К. Г ) (ь) ся Но на окружности Ся, ь= о+) 1ое"Р, поэтому г (го) = 2-,-- ~ Х(го+Йоегч) бр, о (1.61) или .У(го) =2-,)Г ~ .Г(~) г(з.
ся, (! .62) ~П )1=- по условию является непрерывной в замкнутой области. Поэтому опз достигаег своего максимального аначения гИ в какой-либо точке ь) По поводу условий Гельдора см. вып. 2. Эта формула носиг название форлульг среднего значения и выражает значение аналитической функции в центре окружности как среднее нз се граничных значений. 3. !!ринцип максимума модуля аналитической функции.
Пусть функция г(г) является аналитогческой в области У и непрерывной в залгкнутой области 3, Тогда ггли / г'(г)/=сола(, или гяаксилгальные значения ~ г (г) ~ достигаются только на границе области. )(ействительная функция двух действительных переменных ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1гл. 1 (хо,уо) данной области. То есть зо = хо + (уо г~ 3. М=Мзо) ~~~У(г)1, (1.63) Предположим, что точка зо — внутренняя точка области А Построим в области У кРУг Ко пекотоРого РадиУса й с центРом в точке г и запишем формулу среднего значения для е3 и й.
Учтя (1.63), получим 2п оп 2ЙМ= ~ у(~) г(ф ~ --- ~ 1у(ь) ' Ыф 2ПМ. о о Следовательно, 2л ~ ~~Д~) ~ Йр=2ЙМ о (1.64) Действительно, по (1.63) функция 1у(ьо)! не может быть больше М ни в одной точке контура интегрирования. Если мы предположим, что в какой-либо точке ьо контура интегрирования функция 1у(Ьо)~ строго меньше М, то из непрерывности 1у(ь)~ следует, что )УД)! строго меньше М и в некоторой окрестности точки ЬФ т. е. можно указать отрезок [фт, фо) интегрирования, на котором )У(ь)( =М вЂ” в, в)0. Тогда $М~)~г)ф=$1УС) ~г(ф+$ ~УС) ~оф+~~У(0~ 1ф= о р, о о =-(М вЂ” в)(ф,— фт)+М(2п — (, ф )).:2ЙМ что противоречит (1.64).
Итак, соотношение (!.65) действительно имеет место. Это означает, что нз окружности радиуса й с центром в точке «о функция ( у'(г)( имеет постоянное значение, равное своему максимальному значению в области Х. То же будет иметь место и на любой окружности меньшего радиуса с центром в точке з,, а следовательно, и во всем круге К,„ Теперь' легко показать, что это же значение функция( у(з)) имеет и в любой другой внутренней точке зо области А Для этого соединим точки з и зо кривой С, целиком лежшцей в области У и отстояьцей от ее границы не меньше чем на некоторое положительное число Ы.
Возьмем точку гп являющуюся последней общей точкой кривой С и круга Ко (рис. 1.1О). Поскольку 1у(зт)1=М, то, повторяя проведенные выше рассуждения, покажем, Из этого соотношения в силу непрерывности функции у(~) на контуре интегрирования и неравенства (1.63) следует, что ~У(ь) ~=М при в=го+його, (1.65) ннтагиллы, зависящие от плилмптгл по внутри круга Ктс:.3 с центром в точке гт радиуса Рт=-й модуль функции у(г) принимает посгоянпое значение, равное максимальному значению М. Взяв на кривой С точку гз, являющуюся последней общей точкой кривой С и круга Кп и продолжая данный процесс, мы в результате конечного числа шагов получим, что внутри круга К„, которому принадлежит точкз з"., имеет место равенство (~(з) )=М, что и доказывает высказанное утверждение.
Итак, мы показали, что если ) у(а)) принимает максимальное значение М в не- К э которой внутренней точке М' э области, то (г(г) 1=— М во всей области *). Таким образом, если функция ,'у(г)~ не является Я' постоянной величиной в области э, то она не может достигать своего л~аксималь- Ряс. !.10. ного значения во внутренних точках э, Но так как функция, непрерывная в замкнутой области, достигает своего максимального значения в какой-либо точке этой области, то в последнем случае функция ) У(а), 'должна достигать своего максимального значения в граничных точках. В качестве последнего замечания отметим, что если аналитическая в области 3 функция у(е) не равна нулю ни в одной точке лизой области и непрерывна в Х, гпо ггмеет место пргтцип лшнимума модуля втой функции.
Для доказательства этого утвержде- 1 ния достаточно рассмотреть функцию гр(л)= — и воспользоваться 1'(а) принципом максимума модуля этой функпии. р 7. Интегралы, зависящие от параметра 1. Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: переменной интегрирования Э и фиксированного значения переменной аэ. Тем самым интеграл Коши ЯвллетсЯ интегРалом, зависЯп(им от паРамегРа зэ. Естественно *) Как следует из соотношений (1.20), в этом случае н аргумент аналитической функции 1(г) также сохраняет постоянное значение в области й, откуда следует, что если модуль аналитической функции постоянен в некоторой ооласти, то эта функция тождественна равна постоянной в данной областю 52 функции компликсггогт пврвмзииоп )ггь г поставить вопрос об общих свойствах иитегралов по комплексной переменной, зависящих от параметра.
Пусть задана функция двух комплексных переменных ь) гр(», ~), однозначно определециая для зпачеиий комплекспой переменной » = =.х + гу из области .ьс и для значений комплексной переменной с= й+и), принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С. Взаимггое расположение облзсги 3 и кривой С может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных гр(», ь) удовлетворяет следующим условиям: а) Функция гр(», ь) ггри люболг значеющ ье= С является аналггтггческой функцией г в области А б) Функция гр(г, ь) и ее производная —.
(», ь) являются непуедф рывнымп функциплт по совокупности перелгенных г, ~ пугг произвольно.ч пзлгененпи» в области Р и ь на кривой' С. Условие б) означает, что действительная и мнимая часпг функции дзг дг (г, с) непрерывны по совокупности переменных х, у, $, т). Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл ог функции гр(», г) по кривой С сугцествуег при любом» е=.р и является функцией комплексиой переменной ю Е(г)=$ гР(г, Ь)аь«=(г(х, У)+Ю(х, У), (1.бб) с Естественно поставить вопрос о свойствах функции Р(»). Оказывается, что при сделанных предположениях отиосигельио функции гр(», «) функция Р(») является аналитической функцией гсомплексной переменной г в области ьс, «грачем производную функции Р(г) можно вычислять при полгогци дггфференцггрованггя под знаком интеграла. Для того чтобы докззать зто утверждение, рассмотрим криволпиейпый интеграл (1(х, у) = ) и(х, у, й, т)) аг$ — п(х, у, $, т)) сг'г).
с Так как, по предположению, функции и и и обладают часпгыми производными по х и у, непрерывными по совокупности перемеипых, то чзсгпые производные функции (г(х, у) по переменным х, у существуют и их можно вычислить при помощи диффереицировзиия *) Функция двух комплексных переменных г, Ь определяется законом, ставящим в соответствие каждой паре значений г, ь из области ах опреде. лсния некоторое комплексиое число м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
