А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Точка -.=со являезся правильной точкой выбранной Ее~си функиии гр( ); позгому в окрестности точки е=.со фуиквия Ч~(е) может быть представлена н виде 142 !Гл. 5 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Так как при обходе точки « = 1 по часовой стрелке аргумент выра- жения (! — г) меняется на — 2П, то аргумент функции Ф(«) на ннж- нем берегу разреза больше аргумента на верхнем берегу разреза на 2па, Поэтому 1 — р Ф(ц)с(~=- — с!вяв ~ Ф(х)!Тх. Как легко показать с помощью оценок, аналогичных (5.62), при О ( ( сс ! интегралы по малым окружностям С'„ и Ср стремятся к нулю при р — О. Тогда, переходя в (5.67) к пределу при р — О, получаем (1 — е!ЯЯ")!+ 2и!е""а, = 2п! р,' Быч [«"-т (1 — )-"У(«), «4[, откуда 1= .
' +, ~ Вьш[«"-'(1 — «)-'"г"(«), га) 1 — омнч 4=1 где а, = !Нп !"(г). П р н и е р 6. Вычислить интегрзл в) (5.75) 1 !- ~ хв-'(1 — х)-"!Ух, 0(а( !. о (5."[6) Так как выполнены все сформулированные выше условия и по= 1, то, (5.77) ян1 яа 3' Интегралы аида ! = ~ „г" (х) 1п х в!х. о (5.78) ') Заметим, что рассматриваемы!! интеграл является частным случаем В.фунвннн (см. вып. 2, стр 434)! 1 В (р, 41=) кв '(! — 4)ч "сгю о Пусть функция Дх) является четной функцией и может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость !ш«О, причем ее аналитическое продолжение удовлетворяет условиям леммы 1.
Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый кон~ур Г, состоящий из отрезков действительной оси [ — 77, — р[, [р, 75![ и соединяющих их полуокружностей СР, [«[=р, и Схч !«[=)т. Функция Ф(«), являющаяся ветвью полной аналитической функции и совпадающая с Дх) 1п х на положительной части действительной оси (х)О), на отрицатель- 143 лОГАРиФмическиЙ Вычгт ной части действительной оси при г=,'г!'епл=хегл= — х(х)0) принимает значение Ф (г) ', „, 'и = у (х)! п (хегл) = у (х) (1п х+ 1л ). Поз гому и Я 1Ф(ь)г(ь= ~Дх) !Йхг!х+ ~ Ф(~)с!~+ ~ Дх)(!их+!л]г!х+ Г Р сй- Р -)- ~ Ф(~) г(~=2л! ~~ Выч)Дг) !пг, гл).
с. 4=1 Р рассмотрим второе слагаемое в левой части (5.79) (5.79) ~ ФК)(~ ( —,„а ~ ! 1п ~ )Уз = —,—,~- ~ ! 1и )с + ! а гй ~ ! г(з = м г М ~у(х) г(х =- л)~Ч', Выч (г" (г), га). о *=л Поэгому, перейдя в (5.79) к пределу при р — -0 и !г— У = ~ Г (х) 1п х Нх = л! у Выч ! Г" (г) ! 1п г — ~ — '-1, Аа ! ~, 2г' о А=~ П р и и е р 7.
Вычислить интеграл 1п г о Согласно проведенным выше рассуждениям ! / г'и1 О и )=л!Выч! (!ил — —,, 1~ =. — '-, ((! Ч-г')', 2 / 1 4 (5.8 ! ) схз, получим г„~. (5.82) (5.83) (5.84) 9 3. Логарифмический вычет 1. Понятие логарифмического вычета. Пусть в области У задана однозначная функция Г(г), аналитическая всюду в У, аа исключением конечного числа изолированных особых точек гл()г=1... р), причем все га являются полюсами. Предположим, чго на гранипе (' — а- ~Г)пай+ лал-„О. (5,80) Проведя аналогичные опенки, легко показать, что и последнее сла. гаемое в левой части (5.79) стреьпттся к нулю при р.-О.
1)аконеп, несобственный интеграл ') г"(х)г(х существует и в силу (5.35) равен о !44 твогпя вычетов и их ппиложения 1Гл. 5 области У пет ип пулей', пи особых точек фупкпии Дг), и рассмотрим вспомогательную функпика ф(г)= ((,) (5.85) причем точка «является правильной точкой функции у«(г). Вычисляя фуикпию ~р(.) в окрестпости точки г=а«по формуле (5.85), получаем ф(г) =(!и У(г))' =п„(1п (г — „)) +(1и У,)' = " + — ' а — г«(, (г) Отсюда следует, что точка г«является полюсом первого порядка функппи ф(г), причем вычет фупкции тр(г) в этой точке равен и„. Итак, в нуле порядка л«фупкппи у(г) ее логарифмический вычет равен и«, т.
е. порядку нулю Е!ыч ~ —, з«~ = лм Г 1 (г) 1 ~(() - 1= (5.87) Пусть точка г«является полюсом порядка 8«фуикпии у(г). Тогда в окрестности этой точки фупкиия Д ) имеет вид у(г) = а „, ут(г«)ча:О, (г — г«)я« ' (5.88) причем точкз г«является правильпой точкой функции у,(г). Поэтому для логарифмической производпой фупкпип у(г) в окрестности точки г= «получим выражение Ч (г)=- — + —. Р«Р( (г) г — г«Е,(г) ' Отсюда следует, что точка «также является полюсом первого порядка функции ср(г), причем вычет в эгоп точке равен — р„. Итак, в полюсе порядка р«фупкппи у( ) ее логарифмический вычет равен порядку полюса, взятому со знаком минус: Выч~ ..
г«~= — у«. (з.89) Фупкпию ~р(г) часто пазывают логарпфл«пчеспоа производной фупкппиу(г), а вьюеты фуикпиии ф(г) в ее особых точках г,„(т = 1,..., ЛЕ) — логарпф.япческплт вычюпа.яп фуикпии Д ). Определим особые точки функции ф(г) в области У. В силу оба«их свойств аналитических функций ясно, ыо особыми точками функции ср (г) будут нули «(Уг=1, ..., л) и полюсы г«(7а=1, ..., р) функпии у(г).
Найдем значение вычета функпии ф(г) в каждой из ее особых точек. Пусть точка г = г« является нулем порядка и„ фупкпии Дг). Тогда в окрестности этой точки функпия Г(г) имеет вид /(г) =-(г — г«)"«ут(г), /~ (г«) ~0, (5.86) 145 логлгиФьсическил вычет 2. Подсчет числа нулей аналитической функции. Полученные результаты позволяют доказать следукгщую важную теорелсу.
Теорема бб. Пусть функция с (г) является оналилт сеской всюду в замкнутойс области У, за иск.гючением конеч ого числа лежащих внуосри У изолированных особых лсочек гь, которьсе все являются полюса.ссп, и лусясь с"(г) не обрасцотпся в нуль ни в однои точке грансщы Г облалсис Й Тогда разность лсежду полным число.и нулей и полным числом по,!юсов функции Г'( ) в области У определяется выражением (5.90) Под полным числом нулей (полюсов) понимается число нулей М (полюсов Р) с учетом пх кратности: сч= ~пм ь=! Р=,'> р,. ь=! (5.91) Д о к з з а т е л ь с т в о.
Для доказательства теоремы заметим, что интеграл по Г от функшш ср(г) = — может быть вычислен с по- Г (г) с(г) мощью основной теоремы теории вычетов, причем так как все особые точки функции ср( ) — это нули н пол!осы функшщ 2'(г), а вычеты в этих точках определяются формулами (5.87) и (5.89), то ь! ; ч ~ ср(~) с(~=2лс ~,'Выч(ср(г), г,„) = — 2лс ~)) и„— ~~ рь1=2лс(М вЂ” Р), гсь и=! ь=! ь=! — -( —,' й~=2„- ~ й).С(ц)=,„, ~ й!1п'Г(Ь).:+' ц1(ч)с= 21н ~ 1(С) " 2лс, ' 2ч! „ 1 2,, ! .
~ й1п У(5), + -.- ~ с(агд,ТЯ. (592) г+ гь Действительная функция 1п ',г(ь)! является одиозна и!оп фупкциеп, поэтому ее вариация (изменение) при обходе гочкой ц замкнутого конт>ра Г равна нулю. Следовательно, первое слагаемое в правая части (5.92) равно нулю. Второе слагаемое представляет собои полную вариапию аргумесп.а функции с(с) прн обходе точкой 9 замкнутого контура Г, деленную на 2л.
Итак, Х вЂ” Р = — Уаг (агц с (г) 1г ь, ! 2л (5.93) что и доказывает теорему. Отметим простой геометрическ!сн смысл доказанной теоремы, для чего преобразуем шпеграл, стоящий в правов части (о.90): 1гл. а ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Вудем изображать значения функции в=у(з) точками на комплексной плоскости пь Так как функция Т(з) непрерывна на контуре Г, то при полном обходе точкой з кон~ура- Г па плоскости з соответствующая ей точка на плоскости щ описывает некоторый замкнутый контур С.
При этом точка ы = О может оказаться каь вне, так и внутри области, ограниченной контуром С. В первом случае вариация аргумента ж при полном обходе С, очевидно, ранна нулю. Во втором случае вариация аргумента че определяется числом полных обходов вокруг точки то = О, которые совершзет точка т при своем движении по контуру С. Прн этом точка те может обходить точку то = О как против часовой стрелки (в положительном направлении), так и по часовой стрелке (в Отрицательном направлении), Итак, разность мегкду полным числом нулей и полюсов функции Т(е) в области У определяется числом оборотов, которые совершает точка те =- Т( ) вокруг точки ы = О прн положительном обходе точкой з контура Г.
Эти соображения чзсто оказываются существенными при подсчете полного числа нулей аналитической фушсцни в заданной области. При этом во многих слу чаях соответств>ющне вычисления можно значительно облегчить благодаря следующей теореме. Теорема 5.6 (теорема Рикше). Пусть функции Т(з) и ф(з) являются аналитическими в замкнутой области У, причем на границе Г области 3 илсееи~ место неравенство ~У(з)' ,г ) [ф(з) ,'г. (о.94) Тогда полное число нулей в области У функции и (з) =Т(з)+ гр(з) равно полному числу нулей функции Т(з). Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
