А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1(ействительно, в силу соответствий (6.16) из сущест- 1бО ко! <ФОР?и <ос отозпз?<<Пп и' !гл, б йю вовапия предела разносгного отношения — — следует сущес<вованне зз й,"? предела разпосгного отношения „, Авали?ические функции,К(т), йг з е= У, н 1 (г), - я= 3, совпадают и непрерывны на об!нем учас<п<е у' границ областей Ю и У. Поэтому в силу принпипа аналитического продолжения фупкния 3'(") и является аналнти <ескпм продолжением функции 1(з) пз обласп! У в обласгь К Первая часть утверждения теоремы доказанз. В силу (6.16) отображение области 3 на обласгь О, осущес<вляемое функппей 1'(г), являегся взаимно однозначным.
Следовз<елю<о, нз основании теоремы 613 это отображение является копформным. Теорема полностью доказана. 3 з и е ч а н и е. Локазанная теорел?а остается справедливой н в том случае, если в формулировке теоремы прямолппейпыИ отрезок у' заменить па отрезок пути окружности. При этом снмме<рию о?носительпо отрезка дутп окружности надо понимать кзк зеркальное отражение в данной окружности, осуществляемое преобразованием инверсии. 1(ак будет показано ниже, всегда можно осуществить конформное отображение области ч«на новую область У! тзк, чтобы о?резок у' дуги окружности, явлшощийся частью гранниы у области У, перешел в прямолинейный отрезок у,, являющийся чзсгью гранины у, области $т. Это н докажет справедливость высказанного утверждения.
4. Теорема Римана. Ло сих пор мы проводили наши рассмотрения, предполагая, что су<пествует функция д(з), осуществлшощая конформпое о?ображепие данной области Я комплексной плоскости па ааданную облзс?ь 0 комплексной плоскости ю Сейчас мы сфорл<улируем условия, гарантирующие существовшше и едннствен ность такого отображения. Соотвегсгву<ощая теорет<а, являя?щаяся <рупдаменгальной теоремой теории конформных огображений, была доказана Риманом в 1851 г. Локатательство существования конформного отобра?кения выходит за рамки нашего курса, поэтому мы ограничимся лишь формулировкоИ гсорсмы "). Теорема 6.1 (пьеорема Римана).
Всикую односвязкую ойь лопнь .'У кол<плексной зло<кости, граница которой составл! более чела пз одно!) точки, .<!ажно конфор.нко отобразгтгь на внутреннослзь единичного круга м~ (1 плоскости ш. Очевидно, из данной ?еоремы следует возмо?кность конформпого отображения данной одпосвязной области У плоскости з на заданную односвязную обласгь 0 комплексноИ плоскости ш, если граница каждой из этих областей состоит более чем из одной точки. Лействительпо„отобразив области У и 0 на вспомогательный круг ") Подробное доказательство см., например, Л. В. Б и падве, Основы теории аналитических функций комплексного переменного, «Наукам 1972, 161 ч !! Овшие свойства (! (что возможно в силу теоремы Римана), мы и получим требуся!ое отображеиис.
Условие одиосвязпостп облас!еИ У и 0 является существенным, ы!и как предположеиие о возможности коиформиого отображения многосвязная области Ю иа одцосвязиую обласгь 0 приводит к иро~пворечпкх Леясгвительио, возьмем в У заыкиугып контур у, внутри ко!араго легка! тряпичные точки области 3. Контур у отображаг гся иа некоторую замкнутую кривую Г, целиком лехгап!у!о в одногвязиоя обласги 0 (рис. 6.6).
Будем стягивать Г к иекогороИ виут- реииеИ точке юь области 0; тогда в силу иепрерывиости отображеши! коигур у также должен стягиваться к некоторой виутреииеИ !очке ея области У, оставаясь все время внутри этои области, что, Рис. 6.6. очевидно, невозможно в силу мцогосвязиости области Ж и указанного выбора контура у. Итак, комформиое отображение миогосвязиои области иа одиосвязиую невозможно. Однако, как будет показано ниже, в ряде случаев возможно коиформцое отобра!кеиг!е обла- стеИ одииаковоИ связиости.
Г!ерепдем теперь к оцределеиию условиИ, одиозиачио определя!оигях фуикцию, осуществляющую заданное коиформиое о!ображеиие. Ясно, что такие условия необходимы, поскольку, как видно из предыдущих примеров, единичный круг с помощью простеИшего липеИ- ного преобразования, заключающегося в повороте комплексной плоскости, можно коиформио отобразить сам иа себя. Поэтому, если функция у(в) осуществляет коиформиое отображение задаииои обласги У иа едииичиыИ круг, то и лгобая функция, полученная из !'(е) с помощью указанного лииеяиого преобразоваиия, будет осуществлять коиформиое отображение области ч иа тот же единичный круг.
Теорема 6.8. Функппп Да), осуществлпющап канфорлгное огпображенпе заданной однасвнзнай обласпщ У (граница кап!арой сов!поиск более чем пз одной точки) на единичный !груз (тв((1 так, что У(еч)Г-0 и агя)'(г)==-а„(где .яе=У и аь — заданное деаствптельное число), определена едггнствеггным образо щ Л о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в области М существуют две различиые функции евт =-у,( ) и евя =уз(х), осуществляющие 162 конФОРан юг отовглжсгц! г 1гл.
а заданное конформное отображение, т. е. у; (за) = О, агй Я (тя) —:- гтч, !,гз (=) :',. = 1, Уа(до) = О, агдас (гя).—. сго ыбя(з)т =- !. гр(0)=б,,ф(шт)', и, ~=! =-1. Заыетиьи что, кроме того, в силу взаимно однозначного соответствия областей ~а,' ( ! и ,'сия < 1 имеет место условие гз (шт) =й 0 при ю, ~ О. агав Вычисляя значение производной — ' по правилу определения произДю водной от сложной функции, получаем йзгяй чф агав ~ . Лг /:,ггтм а, ЦюПи,=о гГзт ~ю,=-з а' з Д З lг,езм Лг ~Ь.',, Отсюда следует, что производная — -' в точке ш, —.— 0 является полойе, жительным действительным числом. Рассмотрим вспомогательную функцию, определенную при ~тв, = 1, 1 тр(еат)=-, р( ') ю~ Очевидно, функция ф(сит) является однозначной анзлитической функцией в области О ( жт ; '( 1.
'Гочка шт =- 0 — усг ранимая особая точка эзой функции. Дооцределим ф(а,) црн ат == 0 цо непрерывности. Разложим гр(шт) в окрестности акт =-0 в ряд !ейлора: езя= гр(ш„) =гр(0)+ — ы +... = — ш +,, гГю, ~м,=о ''' гйа, м,=-о Переходя к пределу при ит -ь О, получаем и, з юз йиь ~м~=.а аг (6.18) Заметим, что в силу теоремы бо функции шг — —.Д(з) и таз=Уз(л) устанавливают вззимно одиозна шое и непрерывное соответствие между границей у области У и окружностями ~ тит ~ = 1 и ! шя! = 1 соответственно. Так кзк при конформном отображении усгаоав,швается взаимно однозначное соответствие, то тем самым установлено и взаимно однозначное соответсгмше между точками единичных кругов 'сзт, = ! и )шя; ( 1. Значит, установленные соответствия определяют ангыштическую функцию шя = гр(ш,), осуществляюгцую конформпое отображение единичного круга ~шт «! на единичный круг )и,,~(1, причем !63 э а! дэовно-линепнля фэнкцня 9 2.
Дробив-линейная функция Так называется функция комплексной перемеииои, имеющая вид а =Дг) =, + где а, Ь, г, г( — задшшые комплексные постоянные, которые, очевидно, должны удовлетворять условию (6.22) (6.21) Функция ф(ьзг) иепрерывиа в замкнутой области ' м, ! 1, причем в этой области ф(ы,)~0 и 1ф(и'т)' ",!-. =' (6.19) В силу приппипа максимума и минимума модуля апалитическоп функции пз (6.19) следует, что , 'ф (щ,), = 1 при ' ьвг ! =-.- 1, опсуда в силу заче~апия иа стр. 51 (гл. 1) получим, по ф(ю~) = сопя! при ( шт, ~ 1. (6.20) Чтобы найти эту постояиную, затгетиаг, что в силу (6.18) опа равна ая т.
е. является положительным деяствительпым числом. Гогласио л', ' (6. ! 9) модуль этого числа равен едипипе. О гсюда следуе г, что ф(ы„)=!. Следовательно, твя=гр(м,)=пп Это и докааывает, что пе существуег двух различных функции, осуществляющих заданное копформпое отображение дапиоп облзсти У иа впутрециость единичного круга. 3 а м е ч а и и е.
Сформулированные выше условия однозначного определения функции у(з), осушествлягошеп копформпое отображение задаипои одпосвязпои области э иа внутренность едпшшпого круга 'и ( 1, можно замепигь требованием соотвегствия трех граничных точек гранины у области 3 трем точкам окружг!ости,'ы,' = !. Мы огрзпичимся ли!па форлгулировкои данного утверждения, ие приводя его доказательства. Мы рассмотрелп ряд основных общих свойств копформпого отображения.
Однако проведенные рассмотрения ие даюг обских репеп1ов решения основной задачи построения копформпого отображения даппов области 3 комплексной плоскости з иа заданную область 0 плоскости пь В самом общем случае укааать такой рецепт и ие представляегся возможным, для решения конкретных аадач приходится прибегать к различным специальным методам. При этом большую пользу оказывает достагочио полное представление о геометрических свопсгвах ряда функции комплексной переменной, наиболее часто используемых при решении практических задач. 164 конФОРмное ОТОБРАжег!Не 1ГЛ. 6 так как в противном случзе функция г(г) гождественно равна постоянной. Без ограничения обгцности можно считать, ~гто 77 и'= О и а и'= О, ибо в противном случае ю переходит в уже изученные линейную 1 функцию и функцию мг= . Итак, можно ааписать (6,21) в эквива- Г ' ле1гтггой форме: т=-У(г)=А — "„', А=.
—, а= ., р= —, сг-.,- р. (6,23) функция (6.21), (6.23) является однозначной анзлитической функцией на полной комплексной плоскости г, имеющей едгщсгвенную с особую точку — полюс первого порядка г, = — — = — — р. Обратная функпия (6.24) — Х+т также является дробно-линейной функцией, определепггой на полной с плоскости гв. При этом точка гз = — — = — )) переходит в точку д 0 тв = со, а точка г = ОО переходит в точку тв = А = - . Найдем производную функции тв =ф(г): г'(г) =).—. - О. (р -1- г)г В силу условия (6.22) производная дробно-лиыеггпой фушгции оглична от пуля во всех конечных точках плоскосги г.
Это означаег, что 'дробно-линейная функция осугцествлясоп конфод иное огиображенгге ллоскосглп на плоскость т. Копформпосгь огображенпя в бесконечно удалешгых точках легко проверяется указанным выше способом. В выражение дробио-линейной функции входят три произвольных параметра )., сс, р, тем самым существуег бесконещое множество дробно-линейных функпий, осуществляювдих конформпое отображение полной плоскости г нз полную плоскосгь иь Есгестггеппо поставить вопрос об условиях, однозначно определяювдиХ ДРобпо-линейную функцию. Теорема 6.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
