А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 36
Текст из файла (страница 36)
52оказанпая теорема находит многочисленные приме~еиия при решеиии конкретных задач коп- Рис. 6.9. формпых отображений, и мы будем в дальнейшем неоднократно к пей прибегать. Здесь м<е ограничимся лишь двумя примерами. П р и м е р 2. Найти функцию, копформио отображающую единичный круг ~д,,:(! сам на себя так, !Йобы заданная внугренияя точка в перешла в центр круга. Очевидно, для решения задачи можно воспользоваться дробнолш5ейпой функцией. Пр~ этом точка -„и точка „, симметричная ей отиосительно окружности,з =1, перейдут в гочки, спмметричиые относительно окружпос5и, св = — 1.
Но поскольку точка, симметричная Не~тру окружности, есть бескопечпо удаленная точка, а точка х„ долм!па перейти в точку ш = О, то точка -, должна перейтп в точку м = сО. Следовательно, искомая дробно-линейная функция имеет впд 16 А 1) ! ! Так как я!=. -, то !6.41) можно переписать в виде 22 Ы5=) З~ = 16.42) ага — 1 !Тля того побы при отображепии (6У2) окружность , 'з ~ =- 1 переш.5а также в окружцосп , 'м ~, =-1 едппнчиого ра.гнуса, должно выпол- ИЯ!'ЬС5! У'СЛОВП!.' ч По конФОРмное Отовялжение 1гл. а Отсюда ),:, = е"", где а — произвольное действительное число, и реше- ние нашей задачи получаем в виде ах««о ш=е'"= «:-.ь — 1 ' (6.4З) Из (6.44) и (6.45) следует, что хт н ха являются корнями квадратного уравнения аха — ()са — г'+ аа) х+ а)са = О.
(6.46) Дискримипанг эгого уравнения ()са — та+а')' — 4аа(м положителен, так как имеет место очевидное соотношение Й вЂ” г ) а. Построим дробно-линейную функцшо ш = ). (6.47) Заметим, что мы получили решение, определенное с точностью до одного произвольного параметра и, который, очевидно, определяет поворот окружности ~ш ~ = 1 вокруг центра. Задание значения аргумента производной функции ш в точке = «, полностью определяет функцию ш. П р и м е р 3. Найти функцию, конформно отображающую эксцегприческое кольцо на концентрическое. П>сть треб>ется построить конформное отображение области, ограниченной двумя окружностями с несовпадающими центрами (рис. гг 6.10), на какое-либо концентрическое колыш. Поскольку мы имеем дело с двухсвязными областями, то С теорема Римана о существовании Р копформпого отображения здесь уже не имеет места и, как мы уви«=-у «=а 7«тг«=х«) дим, нельзя произвольно задан, /' х отношение радиусов окружностей У>(«=х) концентрического кольца, на которое требуется конформпо отобрззить заданное эксцентрическое кольцо.
Лля удобства дальнейших Рис. 6.10. рассмотрений положим, что пептр большей окружности С находится в то~не «=О, ее радиус равен )т', а пентр меньшей окружности С', радиуса г, лежит в точке «=а на действительной оси. Найдем точки Р, и Р„которые являются симметрнчпымн одновременно относительно обеих окружностей С и С'. Очевидно, эти точки лежат на действнтелыюй оси (рис. 6.10). Тогда их абсциссы х, и ха должны удовлетворять соотношениям (х, — а) (ха — а) =- г-", хт ха =-)с'-'. 171 дговно-ли(ацинля фхнкция 4 21 где х, и хе — абсциссы точек Р, и Рз, найденные из уравнения (ОЛ(!). При отображении, осуществляемом функцией (6Л7), окружности С и С перейдут в некочорые окружности К и К' плоскости ш, внешняя к окружностям С и С' гочка Р,— в точку ш —.-о .
Симметричизя относительно окружностей С н С' точке Рз гочка Р, должна при эчон перейти в точку, симметричную точке тв = со относительно окружиосгей К и К'. г(о точка, симметричная бесконечно удаленной точке, есть г(еигр окружиосщь Следовааельно, при отображении (6.47) точка Р, перейдет в общий центр окружностей К и К'. "1'ем самым искомое отображение построено. Заметим, чго в выражении (6.47) у нас остался произвол в определении параметра л, однако изменеигче последнего приводит лишь к подобному расгя>кешио плоскости ш, що ие может изыеигггь пню~пения радиусов окружносчей полученного концентрического кольцз.
Рис. 6.11. Рис. 6.12, В заключение данного пзраграфа рассмотрим вопрос о применена дробно-линейной функции для посгроепия конформного отображения двууголышков. Двуугольниколг называется ллощсая фигура, образованная лересечениещ дуг двух окружностей, вообще говоря, разных радиусов (рис. 6.11). Очевидно, углы ири вершинзх двуугольпика рзвиы друг другу. Пусть дан двуугольник с вершинами в точках А(«,) и В!«я) и углом сь при вершине и требуется построггть конфорляое отображение внугренней области данно~о двуугольника иа верхнюю полуплоскость (гни >О.
Рассмотрим вспомогательную функцию Дробно-линейная функция (6.48) производит конформиое отображение полной плоскости «на полную плоскость ~, при котором гочка « = «, переходит в точку к = О, а точка †-- «, — в точку к = со. В силу кругового свойсгва дробно-линейной функции при отображенгш 16.48) окружности, образующие двуугольник, переходят также в окружиостгь !72 !гл.
а конФОРмг!ое отовялженис (6.49) являющаяся непосредственным аналитическим продолзкением действительной функция -т", .т > О, осуществляет конформное отображение области внутри сектора сгз~агя~Ссхз+сг па полуплоскосгь 'и( ( агц ти( — и+ и. Остается перевести полученную полуплоскость а в полуплоскость !шш>0, для чего достаточно произвести поворот сгз всей плоскости как целое на угол — — и, что может быть осушеа ствлено путем умножения функции (6.49) нз комплексное число пы е "~. Итак, окончательно, искомая функция, осуществляющая копформное отображение дву)толгпгпка АВ на верхнюю полуплоскость !гпш > О, принимает впд а,, и и,'2 — 3, ш =- е 1 з2 зг (650) Отметим, что конформпость отображения нарушается в точках -, и х,. П р и м е р 4.
Построить конформное отображение верхней половины кру~а ,'а~<1, !шг О, на верхнюю полуплоскость 1шзв>0. Очевидно, данная область представляет собой двуугольник с вершинзми в точках,= — 1 н =.,=1 п углом а= '. прц вершние. Вспомогательная функция ! -)-г ! — г (6.51) осуществляет конформное отображение этого двуугольника на пер- вын квадрант плоскости ~, а фуншцгя (6.52) и дает искомое отображение. Но окружность, проходя!цая через точки с.=0 и ~=со, имеет бесконечно больнгой радиус. Это означает, что при огобрзженпи (6.48) стороны дяу)тольнпка перейдут в лучи (7 и В), яыхотяшие па точки ~=0, причем угол между этими лучамп равен ужу я при вершине двуугольника (рис.
6,12). Итак, функция (6.48) осугцесгчгляет конформпое отображение данного двуугольника па пзюскостп а на сектор с центральным углом а на плоскости 9, причем луч 1 составляет с положительным нзпрзвлением оси $ угол ссз, апзчеппе которого определяется положением вершин Л и В двуугольника. Как мы видели вып!е (гл. 6, стр.
!55), грункция 173 2 21 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО ф 3. Функция Жуковского Так пззываегся фуч1кцпя коьшлексной переменной 1/ 1! т =у(г) =,, 1з+ э (6.ОЗ) 7'(з)= !!в (бя54) Отсюда следует, что производная функции Жуковского отлична от пуля во всех точках плоскости г, кроме точек С1. 1, Тем самым отображение, осуществляемое этой функцией, является конформным в окрестности любой точки г, за исклю 1епием этих двух ~очек.
Найдем области одполнсгности функции Жуковского. Предположим, что две рззлнчные точки комплексной плоскосги «г еа за ПЕРеводячся функцией Дя) в одну и ту же точку плоскости гг, т. е. 1 1 гг+ =г2+ зг 22 или г,— г, Гя аг . 22 (6.55) Так кзк зг и -,, то пз соотношения (бг55) следует д,.за=1. Полученное соотношение означаег, что областями однолистпости функции Жуковского являются, в частности, области внутри (, я1(1) и вне (1» ) 1) единичного круга. Обе эти области функцией (6.53) отображаются конформно па одну и ту же область плоскости ю. Чтобы определить эту область, рассмотрим отображение окружностей 1, з)= та, осуществляемое функцией (6.53). Лля этого перейдем к показательной форме записи комплексных чисел: а=-ге'ч — и найдем выражение действительной и мнимой частей функции (6.53): и(г, ~р)= — (г+-- созгр, о(г, гр)=-.
г — — !з!пгр. 1г 1) 17 1! 2(, г! ' ' 2! г) Положив г =г, и исключив параметр гр, получим ц2 ц2 12+ ! г ! 2 '(го+ — ' -- '(го 4! ~~/ 4~ (6.57) (б.о8) Эта функция была широко использована Н. Е. Жуковским при решении многих задач гидро- и аэродинамики. Функггня (6.5!!), Очевидно, является аналитической па всей комплексной плоскости, за исклк1чецием то пги г = О, представляющей собой пол|ос первого порядка данной функции. Вычисляя производную ф)чгкции (6.53), получаем 174 кот!ФОРлгиое отовплженне 1гл. а Из соотношения (6.58) следует, что функция (6.53) отоора'кзет концентрические окруакпостп ' в; = гв в эллипсы.
1(ак легко видеть, фокусы всех эллипсов (6.58) лежат в одних н зех же точках деиствительпоя оси и: (6.59) с = +: 1. Тем самым функция (6.53) производит отображение семейства концентрических окружпостея ~г,'=г, плоскости г па семейство софокусных эллипсов плоскосги мь 1Три этом, если г,(1, то положительному нзправлению обхода окружности [,=-г, соогвегсгвуег 1 отрпцателыюе направление обхода эллипса (6.58); если гя= — — )1, Г) то положительному направлешно обхода окружности ', г =-га соответствует положительное направление обхода эллипса (6.58). Нри г, — ~1 эллипс (6.о8) вырождаезся в отрезок ! — 1, 1) деиспижельпои оси и, проходимый дважды. !!ри г, -+ 0 эллипс (6.58) переходит в окружность бесконечно болшпого радиуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
