А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Задангге.гг соответствия трелс разлачнвгж точкаж плоскости г трех различных точек плоскости тв дробно- линейная функцил определена однозначно. Ло к азатель ство. Мы должны доказагь, что условия У(гт) = гиг .г (гг) = иг У(гг) = гвг (6.26) где,, гм га и о'и а~г, и~г — заданные комплексные числа, однозначно определяют значения параметров )ь сс, р. Сосзавим выражения .
(г, — га) ((1 — сс) "((1+ )(Р"-~ )' (6.27) (77 — 76) (6 — сс] тг — и'г = )" (Р+ гг) (6 + гг) 165 % г1 лвовно-ли>генг>ля Функция Разделив (6.27) на 16.28), получим а,— м, г,— г, р+г, жг — аг гг — гг 6+ г> (6.29) Лля произвольной точки можем записать аналогичное соотношение: ш> — ° ш г> — г 1Г+ гг (6.30) юг — м гг -г Исключив из соогпошеш>й (6.29) и (6.30) параметр (Г, окончательно получим м,— м а>,— гва г,--г г,— гг (6.31) ю> — ю ' аг — мз г> — г ' г> — гг ' Г(г) =Х( + 1~, (6.32) н введем вспомогательные функции :., = Р+.г, гг =- -, гг — — г (и — (Г) =., +Х.
(6.33) 1 Из соотношений (6.33) следует, что отоГ>ражепне, осуществляемое дробно-линейной функцией, представляе~ собой совокупность простейших огображений, осу>цествляемых линейными функциями г, н га 1 и функцией, рассмотренными в гл. 1. Тем самым рассматриваемое г' отображение слагается из подобных растяжений, поворотов и сдвигов комплексной плоскости, а также преобразования инверсии в круге. При этом данное отображение обладает рядом важных свойств, на которых мы остановимся подробнее. Теорема 6.1Р (круговое сваг>ство ороГ>но-лггнейной функааа).
Г(робко-лггнейнан бгункаггл пеисвобгггп окружности на плоскоста в окружности на плоскости гт !1рп этом мы включаем прямые в семейство окружностей, рзссмагривая прямые как окружности бесконечно большого радиуса. Соотношение (6.31) и представляет собой неявное вырал ение искомой дробно-линейной функции.
Очевидно, разрешив (6.31) относительно ш, мы получим явное выражение коэффициенгов )ч сг, р, дробно-линейной функции через заданные числа г,, гг -, свв евг, а>г что и доказывает георему. Заметим, >то поскольку дрооно-линейная функция осуществляет копформное отображение полной плоскосги г на полную плоскость а>, то одна из гочек; и одна из гочск шг, заганием которых определяется дробно-линейная функция, могут быгь бесконечно удаленными точками. Рассмотр>ги геометрические свойства отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией. Лля эгого несколько преобразуем выражение (6.23), предсгавив его в виде 166 конФОРл1ное ОТОЕРлжение 1гл. а До к аз а тельство.
Очевидно, для доказательства теоремы достаточно покавать, что преобразование инверсии, осущесгвляемое функ- 1 цией мг = --, обладает круговым свойством, так как сохранение ока' ружности прп линейном преобразовании не можег вызывать сомнений. Рассмотрим произвольную окружность, уравнение когорой на игюскости имеет вид (6.34) Л (ха+уз)+ Вх+ Су+ 0 = О, и Р х = —,— у =.—— иг+вхг иг-1-вг' (6.35) Поэтому окружность (6.34) в новых координатах примет вид (6.36) 0 (и'+ и') + Ви — Сп+ Л = О, что и докааывает утверждение теоремы.
Замепгм, чго при 0 = 0 уравнение (6.36) представляет уравнение прямой, т. е. окружность, проходяшая через точку в=О, функцией 1 пг= — отобрзжается в прямую. Расслгогреиное свойсгво дробно-линейной функпии находит широ. кое применение при решении многих конкретных задач конформных огобрзжений, связанных с отображением областей с круговыми гранипами. Действительно, пусть надо осуществ1пь конформное отображение области У, ограниченной окружностью у, на плоскости з на область О, ограниченную окружностью Г, на плоскости мг. Как иавестно, положение окружносги па плоскости йолностью определяегся заданием трех точек.
С другой стороны, в силу теоремы 6.9, задав соответствие трех точек яя плоскости е, лежащих на окружности у, трем гочкам ага плоскости пг, лежащим на окружности Г, мы полностью определим дробно-линейную функцию, осуществлюощую конформное отоГ>ражение плоскости а на плоскость мл При этом согласно теореме 6.10 окружность 7 перейдег в окружность Г. Если при этом соответствие точек зл и ьл выбРано так, что сохРанено напРавление обхода, то в силу теоремы 6,4 данная функшгя осуществляег конформное огображение области У на область О.
Заметим, чго прп этом область, внешняя окружности у на плоскости е, конформпо огображается па область, внешнюю округкности Г на плоскости гв. Если соответствие точек з„ и гггл установлено так, что направления обхода где А, В, С, 0 — действительные числя, удовлетворяющие условиям Л '~ О, ВЯ+СЯ ) 4Л0. При А = О мы, очевидно, получим прялгую; при 0=0 окружность (6.34) проходит через начало координат (точку а=О). При преобразовании, осуществляемом функцией а = — гг.л 1 + гв = —, координаты х, у связаны с координатами и, и сооиюшег' пнями двовно-лцнеипля Фу! !кция 167 окружностей у и Г противоположны, то область гг копформно огобразкаегся па область, внешнюю окружности Г пз плоскости ш.
П р и и е р 1. Найти функцию, конформно отображающую едишшпый крут ,'г~< 1 па верхнюю полуплоскосгь 1ш ш)0. Для решения поставленной залачи установим слелующее соответствие граничных точек данных областей (рпс. 6.7): (6,37') (6,37") (6.37' ") гз '— — 1 -я газ = оо, и найдем козффиш!енты Л, сг, р лробпо-линейной функции, осуществляющей искомое отображение. Как легко видеть из условий (6.37') Рис.
6.7. и (6.37'"), сразу определяются значения с! и !), после чего искомая функция пршшмает вид .г — 1 гВ=Л вЂ”. г -1- ! ' Последний коэффициент Л определяегся пз условия (6!.37"): 1=Л. г+! откуда Л= — !. Тем самым функция, осущесгвляющзя искомое отобрзженне, имеет вид Ы=! (6.38) 1+г' Отметим, что функция (6.38) осуществляет копформное отображение области 1г !) 1 на нижнюю полуплоскость !ш ш(0. Как следует из рассмотренного примерз, построение искомой дробно-линейной функции проводится наиболее просто в том случае, 168 конФояхгное отоьеаткенгяй !Гл.
6 когда заданными точками плоскости то являются точки я =0 и ш=-оо. В этом случае сразу определяются з~!ачеиия !,оэффициепгов а и Следуюпше свойство дробно-линейной фуикпип заключается в сохранении точек, симмегрп шых огпосительио окружпос!и. 11апомпич, чго гочки Р и !" пазыва!о!ся спмметрп шычп огиоспгельпо окру кпосси С, если опп лежат иа обпгет! луж, прохооппех! через пе!пр О окрул<- !юс!и С, и произведение их рассгоашй ог пе!пра рзвпо квадргау радиуса ок- А ружпосги: ОР ОР'-.=.Ра.
Итгеег место ь' Теорема б.тг. Пра отображеншп осршеста гяелголг дробно-лггнейной р р фрнгсцией, точки, спммегарпчные отйг 'б' носительно любой окружностгг, перехоеят в точи!!, сиилгетргтные относительно образа э!пой окружности. Йок а з а г ельс т в о. ВоспользуемРис. 6.8. ся следуюшиьги вспомогательными уы верждепиями элемеитзриой геометрии.
У т в е р ж д е и и е 1. П!обзя окружиос гь С', проходящая через точки Р и Р', оргогоиальиа окружиос!и С. Действигельио, проведя луч ОР' и радиус ОЛ в ~очку пересечеиия окружностей С и С' (рис. 6.8), мы в силу симметрии точек Р и Р' отиосигельио окружиосги С получим ОР ОР' = (ОЛ)з = Рз. ОР ОР' =Щ ОР ОР'"" =Из. (6.39) (6.40) Но, так как точки Р" и Рзз т!ежат иа одном луче, равенства (6.39) и (6.40) возможны только в гом случае, когда точки Р' и Р"" сов- падают, Р" = Р"" =Р', что и доказываег утверждение.
*) Произведение отрезков секушей, проведсиной из виешяей гочки ок. ружиости, раааа квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки. Но это, согласно известной теореме элемепгариой геометрии" ), озиачает, что ОЛ является касательиой к окружпосги С', проведеипой из точки О, оп<уда и следуег, что С' ! С.
Утверждение 2. Вве взаимно пересекающиеся окружпосгп С' и С", оргогональиые одной и той же окружности С, пересекаются в точках Р и Р', симметричных отиосигель~о окружности С. Проведем через точку Р пересечения окружпосгей С и С", лежащую внутри окружности С, луч ОР. Предположим, что луч ОР пересекает окружиости С и С" в различных точках, соогветствеиио Р" и РЯ' (рис. 6.9). Так как окружности С и С" ортогоиальпы окружности С, то по указанной выше теореме элемеитариой геометрии ил!еют место соогношеиия 169 ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКННЯ 21 Перейдем теперь к доказательству теоремы. Пусть точки Р и Р' симметричны относительно окружиосги С.
Проведем через эти точки две вспомогательные окружиосги С и С". В силу утверждепия 1 окружности С' и С" ортого~альиы С. При конформном отображении, осупгествляемом какой-либо дробно-ли~ейной функцией, окружности С, С и С" перейдут соответственно в окружпосги К, К' и К", причем окружности К' и К будут ортогопальиы окружности К. Точки Р и Р' пересечения окружностей С и С" перейдут в точки О и б)' пересечения их образов — окружностей К' и К". Но в силу утверждения 2 точки О и О' дол- Р жны бьшь свмметричиы относительно окружности К, что и доказывает теорему. Р* Очевидно, доказанная тео- Р Ц5 рема остается справедливой и ,2 в том случае, когда рассматриван5тся и окружиосаи бесконечно большого радиуса, т.е. С" прямые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
