А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 33
Текст из файла (страница 33)
а) Взаимно однозначное соответствие. Как было отмечено, при копформном отображении области У комплексной плоскости л на область 0 плоскости ш, осуществляемом аналитической ') Построение римавовой поверхности функции Бпш, см. гл. 3, стр. 102, 156 1гл. ь КОНФОРМНОЕ ОТОВРЛЖЕНЬГЕ в У функнией у(»), устанавливается взаимно однозначное соответствие этих областей.
Тем самым условие однолиспюстн функции у(») в области У является необходимым условием конформности отображения. Оказывается, что зто условие являегся и достаточньы|. Теорема 6.3. Иусчпь функцггя Г(») являетгя однозначноа аналсгтссческос1 функцией в облаптс У, осуществляющей взолглгно однозначное отображение облаегпгс У на область 0 колгплелсноа ало»кос'ти ис Тогда это отображение является конформным. Л о к а з а т е л ь с т в о. Лля доказательства теоремы, очевидно, достаточно показать, что нри выполнении условий теоремы производная функнии У(») от:шша от нуля ассаду в области У. Предположим, по зто не имеет места, т.
е. что в области 3 сушествует такая точка»,, в которой 1'(»ь)==0. Так как,т( ) является аналитической в области У, то в силу сделанного ссредноложегшя ее разложение в степенной ряд в окрестности точки»„должно иметь вид У(») = аь+ аь(» — »о)'+ аь»т (» — »о)" + " (6 Т) причем й == 2 и ах ~ О. Если г" (») ~0, то ~очка»ь не может быль предельной точкой нулей функнни у'(»). Это означает, что можно указать такое значение б, что у '(») че О во всех то ~ках = ~ »ь внутри кру~а ~ — », ( б'. Кроме того, очевидно, ьюжно выбрать такое значение б", чтобы имело место неравенство ф (») = а + а м (» —,) +... ф: 0 нрсг ~ » — »ь ( 6 .
Выбрав 6=ини16', б"г, получим у' (») ~ 0 нр Ф»о, 1 р ~ — ! =. б. (6.8) 'ф (») = а + аь,; (» — »,) +... =Д 0 ) Из последнего соотношения следует в силу непрерывности функпии ф(»), что ш1н ! (» — ь) ф (») ), » и ) —.ь = т ) О. Выберем некоторое комплексное число сх, удовлсгворяюшее условию ,'сс ,'( т. Согласно теореме Руте ана,штическая функния (6.9) ср(»)=(» — »ь) ф( ) — с»= г(») — аь — сс имеет внутри круга ~ » — »в . б столько же нулей, сколько и фушсния (» — »,)" ф(»). Последняя в силу условия (6.8) имеет и этом круге и нулей — точка»=»ь являегся ее нулем й-го порядка. Тогда из (6.9) следуег, что уравнение У(»)=а + (ОД О) имеет и корней в крусе ~~ » — »„-.= б, причем все зти корни простые, так как гочка»=- „не являегся корнем уравнения (6.10) и в силу Ь»1 ОБЩИЕ СВОЙСТВА (6.8) Т'(«) ~0 в остальных точках даииого круга.
Это оаиачает, что в /с различных то»»ках круга (» — «ь1..== Ь фуикппя Т(») принимает одно и то же з»ючеиие Т(») = аь+ сс. По последнее иротивореч»п условшо взаимной одиозна шосги отображения области йс иа область О, что и доказывает теорему. Итак, из доказа»»иой теоремы следует, »то пеобходимь»м и достато шым условием того, Йобь» одиозна шая фупкш»я Т( ), апас»игическая в области Ю, осуществлялз коифорчпое отображение этой области иа некоторую область 0 плоскости и», являешься условие одиол»»сг~»осг»» Т(») в облас»и У.
б) Прииппп соответствия гравии. При решении коикретпых задач коиформиого огображеиия задашюй облзсти У иа зздаииу»о область 0 обьшио следят лишь за тем, чтобы искомая функвш Т(») производила отображеиие грашигы у области !Ф па травину Г об.части О, ие рассча»рпвая сискиальпо отобра;кеипя виугреииих точек. »то можно делагь в силу так»»аз»»вас»»ого прпппипа соотвегствия гравии, доказательство которого будег проведено ниже. Предварительно сделаем следу»ощее замечание. Пусть в области чг захава одпозиа шая иепрерыипая фупкиия ю =- с (»). О ~евг»д»»о, эта фуикиия переводит любую замкнутую кривую у, пеликом ле кащую в области х», также в замкиу»у»о»сриг»ук» Г па плоскости ю.
Мы будем говорить, что ири отображении кривой у, осу»пествляемом фуикпией Т(«), сохраняется иаиравлеипе обхода, если при иеирерьгвиом двпжеши» точки и положигеш иом иаправлеиии вдоль кривой у соответству»о»пая ей точка обходит кривую Г также в положителыюм иаправлеиии. Перейдем теперь к рассмотреии»о самого прш»пипа. Теорема 6.4. Пусть в конечной области У, ограниченной контуром у, задана однозначная аналигпическая функция Т( ), непрерьсвная в У и осуществляющая взоп.ино одиозно снов отображение контура у на некоторьсй контур Г колсплекгной плоскости ю. Тогда, если лрп данном отображении контуров сохраняется направление облода, сло функция Т(») осусцеслгвляет конформное отображение облаипи Ю, на внупгреннюю область О, ограниченную контура.и Г.
Л о к аз а тел ь с т в о. Очевидно, для доказательства теоремы достатошо показать, что фуикпия 1(») усгаиавливает взапмио одиозиач»юе соответствие между областями Ю и О, т. е, надо иоьазз»гь чго фупкиия Т(») каждому значению « ~ У ставит в соответствие некоторую точку и» я О и для каждой точки юс е= 0 найдется, и ИРигом только одна, то»ка г» Е 5 такаЯ, что Г(гг) =- гии .г(лЯ этОго Рассмотрим две произвольные точки и» е= 0 и тез БК 0 (рис. 6.4) п построим в области чс вспомогательные функ»ши 1»» («): —. с'(») — в и ~,.с, (60 ) ря(») =у(») здх КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 1гл. а Подсчитзем число нулей этих функций в области Ю, для чего воспользуемся формулой (5.93).
Так как в силу условий теоремы аоложнтельному обходу контура у соответствуе! положительный обход контура Г, получим 1ч'[Ет (г)] = — Чаг [аге (à — а,)]„= 1 1 1 д! [Еа(г)] = — 1!аг [агд(/ — ш,)] =О. 1 (6.13) Из (6.13) в силу произвольности выбора точки ш, вне области 0 следуе~, что все значения функции Г(г) при г е—: .
У принадлежат агг области О. Из (6.1 2) следует, что для любой точки шт е—: . 0 в облзстн о -- рг найдется одна и только одна точка ц дла котоРой Г(гт) = тен но и доказь!пает взаимную однознзчность ~! данного отображения. Теорема дод казана. — ш! Замечание. Если функция у"(г) является зиалитической в области Е!, за исключением единственной особой точки гы являющейсн полюсом первого порядка, и при отображении гращицы области У, контура у, па контур Г плоскости ю направление обхода меняется на противоположное, то функция Г(г) осуществляет конформпое отображение области Я на облас~ь 0', внешнюю к контуру Г, на плоскости ю (при этом точка г, соответствует точке ш = сю).
Данное утверждение доказывается аналогично предыдущей теореме, причем вместо (6.12) и (6.13) получим соотнонения Х[Е;(г)] — 1 = — 7'аг[аге(à — тот)].= — 1 (6.14) (6.15) 1г [Е,(г)] — 1 = — Чаг [агд(У вЂ” да)]а = О, нз которых и следует справедливость высказанного утверждения. Г!рпведем без доказательства утверждение, в известном смысле обратное доказанной теореме. 'Георелса б.б. Если фунл'цин у(г) осугцествлнет конфоржное отображение обласлгп У когинлексной плоскости г на ограниченную область 0 плоскости ю, граница которой не содержит точка те —... ОО, то функции Г(г) непрерывна на границе обласли! Т и осу!цссигвлнет непрерывное и взаи.ино однознасное соотвенасгавие границ у и Г областей У и О, 159 овщпе свойства ч 11 в) П р и н ц и п с и м м е т р и и.
Этот принцип находит многочисленные применения при решении задач копфорьшого отображения областей, границы которых имегот прямолинейные участкл. Пусть граница у области У имеет прямолинейный участок у' (рпс. 6.5). Область У, полученную путем зеркального отражения области У относительно прямой, на которой лежит отрезок у', будем называть областью, симметричной области У относительно у'.
Симметрию точек областей У и У будем обозначать символом г г. Принцип симметрии может быгь сформулирован в виде следующей теоремы. у Теорема 6.6. Т!успгь в залиснутой обласлт У, граница у которой имеет прямолинейный участок у', задана непрерывная функция Т(г), осуществляюгцая конфорлгное отображение области У на область 0 комплексной плоскосит че, при котором учаспгок у' границы у пе- г реходит также в прялголинейный участок Г' границы Г области О. Тогда в области У, спммепгричной У относательно отрезка у', можно построгипь функцию Т(г), являющуюся аналити- Рис. 5.5.
чески.и продолжением функции )'(г) пз области У в область У, осуществляющую конформное отображение обласлги У на область О комплексной плоскости че, си.иметричную области 0 относгыиельно отрезка Г'. Заметим, что полученная таким образом область У =У+У может иметь участок У,ч принадлежащий одновременно областям У и У. Тогда полная аналитическая функция с (г), полученная аналитическим продолжением функции Т(г) в область У, должна рассмагриватьея на соответствующей римановой поверхности (то же относится и к областям О и О). Перейдем теперь к доказательству теоремы. Д о к з з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждой точке г ~ 3 симмегричную ей относительно отрезка у' точку г я У, а точке ы е= О— симметричную ей относительно отрезка Г' точку т е= О: (6.16) Определим в области У функцяю Т(г), задавая ее значения для каждого г е= У по схеме тц -«ы= Т(г); ге ич Т(г)=иь !(ак легко видеть, построенная функция Т(г) является аналитической в области У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
