А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тем самым функцггн (6.58) производит конфоржное птобразкенпе области внутри единичного круга [з ~ 1 на плоскости а на ллоскопиь ш, разрезанную по отрезку [ — 1, 1[ дейсгивипгелвной осп. Грз~тгга областн— пируя<ность [г ~ — — 1 — отображается па эббот озрезок, причем верхняя полуокружпость отображается па нпжппи, а нижняя — на верхпии берег разреза. Лпалопщпо область, а [) 1 впе единичного круга па плоскости г отображается на вюроб экземпляр плоскосги щ, разреззнноя по отрезку [ — 1, 1[ действительной оси, причем верхняя полуокружпость [а ) =-1, !игаО, отображается на верхшзн берег, а нижняя полуокружность [ а ' =- 1, 1пг г (О, — на нижппи берег разреза, Тем самым функция Жуковского (бс53) осущесгвляег копформное отображение полной плоскости г па рпманову поверхносгь обратной функция а = гр (св) =- ав + [г авз — 1.
Рил~анова поверхность функции (6.60) представляет собой двулнстную поверхность, составленнучо ив двух экзеъшляров плоскосгп ш, разрезанной вдоль отрезка [ — 1, 1[ деиствителгшо11 оси. нижний берег разреза одного листа склеен с верхним берегом разреза другого лис~а, н наоборот. Функция (6.60) является однозначнои аналитической функцией на своев римановон поверхности, имеющей две точки рЗЗВЕГвЛЕниЯ М = -1- 1, при обходе каждоя из которых происходит переход с одного листа этой рпмзповон поверхности на ее другой лист. Заметим, чго при одновременном обходе обеих запек разветвления ш = ~- 1 но замкнутон кривой, не пересекаюпдея огрезка [ — 1, 1), мы все время находимся на одгюм и том же листе.
Итак, функции (6.53) и (6.60) устананливают взаимно однозначное соответствие между полной плоскосп ю в и данной римзновой поверхностью. Отображение, осущесгвляемое этими функциями, является 175 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ всюду конфорьшым, за исклю ~ениеьг точек з=-ы 1, в которых производная функшш (6.53) равна нулю. Замеп1м, что этим точкам соотвегсгвуют точки а =-~-1, являющиеся точками разветвления функции (6.6()), обратной по опшшению к функции (6,53). В заключение найдем образ лу ~ей агй з =- гр„при отображении, осушествляемом фуньппей Жуковского. Для этого исключим иэ соотношений (6.оу) параметр г и положим ср =-Гр„.
Тогда цз г~з — — = 1. созз ~рч ап' ГГч (6.61) ф 4. Интеграл Шварца — Кристоффеля. Отображение многоугольников Пусть на комплексной плоскости ш задан л-угольник с вершинами в точках Л,, Лз, ..., Л„ и внутренними углами при этих вершинах сс,п, ссзп, , ссчп соответсгвенно. (Очевидно, »,' а, = и — 2, ~ =-1 л) 2.) Пусть требуется построить конформпое отображение верхней полуплоскости г на внутренность такого многоугольника. Эта задача решается с помощью так называемого интеграла Шварца — Кристоффеля, изучение некоторых свойств которого и составляет содержание настоящего параграфа.
Рассмотрим функцию комплексной переменноИ г, определенную в верхней полуплоскосгп с помошью выражения ш = »(з) = С 1(ь — а,)" — ' ... (» — а„)"„- ' Г1Ь+ Сь (6.62) Здесь гм С, С, — заданные комплексные нос гояппые; ап ..., ал— дейстшигельные числа, располоясенные в порядке возрастания; сс, Соотношение (6.61) означает, что при отображении (6.53) отреаки лучей згйз=гр, переходят в ветви гиперболы (6.61).
Отмегг~м, что при любом значении ср, фокусы этой гиперболы находятся в точках )с 1, Тем самым функция )Куковского осушествляег преобразование ортогональной системы полярных координзт на плоскости л в ортогональную кряволинейную снсгему координат, координагнгяыи линиями которой являнзтся софокусные семейсчза эллипсов (6.58) н гипербол (6.61). Как уже отмечалось, функция Жуковского находит весьма широкое применение при решении многих конкретных задач конформных отображениИ, особенно связзнных с исследованием гидродипалшческих проблем. На этих вопросзх мы остановимся несколько позже, а сейчас рассмотрим еше одну фушспию, находящую многочисленные приложенгш.
176 КОНФОРМЕ1ОВ ОТОВРАЖЬНИС 1гл. б а„— положительные постоянные, удовлетворяющие условиям ~~~ сб,= п — 2, (6.63) г= — 1 0<а!< 2. (6.64) В подынтегральном выражении выбраны те ветви функций (~ — а!)"! -', ко!орые являются непосредственным аналитическим продолл!ением в верхщою полуплоскость действительных функций (х — а!)а! ' дейст вительной переменной х» ае В таком случае функция (6.62) является однозначной аналитической функцией в верхней полуплоскости !т а ) О. Точки аь ле!кащие на действительной оси, являются особыми точками этой функции.
Функция (6.6>2) и называется и!пегралом ГПварца — 1(ристоффеля. Функция (6.62) при соответствующем выборе точек а; осуществляет конформное отображение верхней полу- плоскости 1т г ) 0 на область внутри некоторого и-угольника на плоскости аю Будем вначале считать, что все числа а! ограничены. Покажем, что при этом функция (6.62) остаегся ограниченной всюду при 1т г -: О. В силу условия (6.64) интеграл (6.62) остаегся ограниченным в окрестносги особых го'!ек аь Убедимся, что интеграл (6.62) остается ограниченным и при в — ОО. Преобразуем подынтегральную функци!о, использован условие (6.63): а! 1а, — ! ! и„1а„— ! !Г(ьг) ~а -1-...-1-а — и! ! ! ! ' 1 ч а Из полученного выражения и следует сходимость н!пе!.рала при а -~ со, Таким образом, интеграл (6.62), являющийся однозначной аналитической функцией з в верхней полуплоскосги 1щ а) О, осуществляет отображение этой полуплоскости на некоторую ограниченную область,~~ плоскости ы.
Посмотрим, в каку!о кривую при этом переходит действшельная ось плоскосги г. Рассмотрим выражение производной функции (6,62): у'(з)=С(г — а,) ! ' ... (з — а„)а„ (6,66) Из этого выражения следует, что производная функции у( ) отлична от пуля всюду в верхней полуплоскости !п! .-= О, ва исключением особых точек аь в когорых она обращается в нуль или бесконечность. Г!ри изменении а на каждом из интервалов аь < х аььт (и = 1, ..., и — 1) действительной осн аргумент производной не меняется.
Дейс~вительно, в силу указанного вы!пе выбора ветвей функщ!и (а — а,)а! аргумент этих функций на данных интервалах действительной оси принимает значения ( п(а; — 1), х "пь агя (х — а!)" (ГЛОБ) О, х)пь 177 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 5 6 что и доказывает высказанное утверждение. В силу геометрического смысла аргумента производной в) это означает, что отрезки де))ствительной оси аь (,к( альт фУнкциед г" (з) отобРажаютсЯ также на прямолинейные отрезки плоскости ю.
Г!ри этом точки аь действительной оси функпиея (6.62) переводятся в точки Аь плоскости и— концы соответствующих прямолинейных отрезков АААА, „па которые функция (6.62) отображает отрезки деяствительнои оси !аь, аь т). Тем самым функция (6.62), непрерывная и однозначная на действптельноп оги, производит отобразкенпе действительной осп плоскости з на некоторую заткнутую ломаную АТАв... Л„, звеньямп которой являютгя прямолвнейные отрезки Л„Ль т (рпс. 6.13). Ал Ряс.
б.!3. При эгон, когда точка з проходит всю деиствительную ось в положительном направлении, соответствуюгцая ен точка ю совершает полпыя обход замкнутой ломаной Л,Аа . Л„. Заметим, что, вообще говоря, ломаная А,Лэ... А„может иметь точки самопересечения (рис. 6.13, б). Определим теперь величину утлов между соседпимн отрезками полу ~енноя ломаноя. Для этого рассмотрим, как меняется аргумент производной (6.66) при переходе з через точку аь Из (6.67) следуег, что при движении точки з по дебсгвнгельной оси в положительном направлении, при котором особая точка а; обходится по дуге бесконечно малого радиуса в верхней полуплоскостн, аргумент производпои изменяет свое значение на величину — и (гх; — 1).
В силу геометрического смысла аргумента производной это означает, что величина угла между направлениями векторов ь*) Аг ТА; и Л;А;„ равна *) Аргумент производной функции Г(г) в точке гь определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к любой гладкой кривой т, прохсдящси чсрсэ точку гм чтобы получить касательную к образу этой кривой в тсчкс щс -=) (ся). '") Прн этом под углом мсэклу направлениями псрссекщсщихся прямых бм Ьь мы Яолинасм всличныУ Угла наикРатчабщсго повоРота, совмсшаюЩсго БРЯ- мую Ь, с прямой Ь, 178 1гл.
6 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИŠ— п(ех; — 1). Прп этом при се, (! переход от направления вектора А;,Л; к направлению вектора А Л;ет происходит в положительном (рис. 6.14, а), а при а; ) 1 в отрицательном (рис. 6.14, б) направлении. Как легко видеть, в обоих случаях величина угла при переходе в положительном направлении от направления вектора Л,Л;,„ к направленшо векторз А;Л;, равна псе; (рис. 6.!4). Если замкнутая ломаная Л,А, ...
Ав пе имеет самопересечений, то она ограничивает некоторый гг-угольник. Если, кроме того, движениго точки в положительном направлении дейсгвительной оси соответствуег обход ломаной АтЛа ... А„ в пологкительпом направлении, то внутренний угол Лает акт-/) Атеу Ат-7 Ат-г Д'1 тхтМ а) гкх<У Рис. 6.14.
данного л-угольника при вершине Лп на которую отображзегся точка а; действительной оси плоскости а, равен паг. В силу условия (6.63) при этом сумма всех внутренних у~лов данного и-угольника равна (и — 2)п, как и должно бьнь. !4а основании принципа соответствия границ (теорема 6Л) можно утверждать, что если ломаная АТЛя ... А„, на которую функция (6.62) отображает действительную ось плоскости а, не имеег точек само- пересечения и сохрапяегся направление обхода, го фупкшш (6.62) осуществляет конформпое отобрзжение верхней полуплоскостп !ш «)О на внутренность л-угольника, ограниченного ломаной Л,Аа Л„. Как показывзет детзльпое исследование, если на плоскости тп задан произвольный л-угольник (извесгпо положение его верцпш Ат, Л„..., А„и углы при этих вершинах), то всегда можно задать значения постояшаых С, С, и то~ни и,, ..., а„действительной оси так, побы соответствующим образом построенная функция (6.62) осуществляла копформпое отображение верхней полуплоскосги !ш е'-мО па внутренность данного и-угольника.
Мы пе будем останавливапся на докззательстве этого положения" ), а ограничимся лишь некогорыми замечаниями и примерами. ') См., например, И. И. П р и валов, Введение в теорию функций комплексного переменного, к!!вука», 1967. ОТОБРАЖЕНИЕ ЫНОГОУГОЛЫ!ИКОВ 179 Заме ~анне 1. В формулу(6.62) входит ряд посгоянпьгх. Однако прк построении копформпого отображеши верхней полуплоскостп 1и з: О па заданпьй» многоугольник Лт ... А„плоскости тв можно произвольно задавать лишь три точки аь аз а» действительной оси х, переходящие в какие-либо три выоранпые верпп1ны многоугольника Аь Л, Л», При этолг остальные постоянные в формуле (6.62) определяются однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
