А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 40
Текст из файла (страница 40)
6 (см. З 2). Огображаюиая функция имеет вид 189 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 4 0 Поэтому, сделав в интеграле (7.16) замену Переменной интегрирования фб ф(гр), где связь Переменных ф и гр онределяегся формулой (7.17), получим хз 1 а' — г) ( ч Чм) = 2л 1 а'+г' — 2агосоарр — гр) (Ч) Р. о (7.18) Отобразим конформно верхшою гюлуилоскосаь 1гпа) 0 на внутренность единичного круга )та~< 1 так, чтобы заданная точка хе= —..
аее+?уе (уе)0) перешла в цшпр ш=О этого круга, )так легко видегь, это преобразование осуществляется дробно-линейной функцией: у( ) — ч (7.2 0) При этом граничные точки связаны соотношением (7.21) х — хо и граничная функция и(х) Переходит в функцию А(ф)=и[х(2р)), где х(ф) определяется из соотношения (7.21). Заметим, что соотношение (7.21) дает г?2р —, г(х, (7.22) (х — х„)'+ у' ") См.
Л. Н. Т и хо нов, Л. Л. Са ма р с к и й, Уравнение математической физики, хНаукаэ, 19?2. Формула (7,18) и дает явное аналитическое выражение решения задачи Дирихле для круга радиуса а через функцию граничных условий се(Ч). Эта формула, носяитая название интеграла Пуассона, можег быть Получена н рядом других способов, например мегодом разделения переменных или с Помощью функции источника е). Полученные результзгы позволяют в принцине реншть задачу Дирихле для любой области У, которую можно конформно огобразить на единичный круг 'ш 'с-" 1 плоскости ею Пействигельно, прн конформном отображении уравнение Лапласа сохраняется, а решение задачи Лирихле для круга нами получено.
Совершив в интеграле (7,!8) или (7.16) замену -переменной интегрирования, исходя из связи граничных точек области 3 и единичной окружности,'гя' = 1 нри данном конформцом отображении, мы и получим выражение решения задачи Дирихле во внутренних точках области через граничную функцию (7.14). Пример 1. Решение задачи Лирихле для нолунлоскости. Пусть требуется определить ограннченнуго на бесконечности функцию н (х,у), гарьюническую в верхней полунлоскосги у)0, непрерывную нри у .= 0 и принимаюцг)чо заданные значения: л (х, 0) =.
а (л ) при у = О. (7.19) пнин!енение лнллитическпх Фэнкцин !гл. г Зпаченне искомой функции а(х,у) в точке х,, у„определяется интег- ралом (7.16). Произведя в нем замену перел«енной интегрирования по формулам (7.21), (7.22), получим и (хм 1'««) = ) ., !х(х) бх, 1 1' яч (7.23) что и дает решенне поставленной задачи. Формула (7.23), дающая решенке задачи Днрнхле для полуплоскостн, носит также названое интеграла Пуассона. 4. Построение функции источника.
Методы копформного отображепня позволяют постронть функцн!о псточннка первой краевой задачн для уравнения Лапласа в плоской области УУ, которую можно конформпо отобразить ка единичный кру! 1ю ! ( 1 плоскости сц Еак нзвестпо, фупкцня источника 0(М,, Л) данной задачи определяется следукяднмн условиями: 1) йв!О(Лв, Л)=О прн Лей Ло' (7.24) 2) в окрестности точки Л„ П(Мв, Л)=--1и — +о(М„, М), 1 1 гаг,м (7. 25) где функция о(Лв, М) является гармоппческой функцией точки М всюду в области Ю; 3) П (Лв М) 'м е г = О, (7.26) ы(Лв, «и) = 2-1п (7.27) является функцпей источника первой краевой задачи длн уравненпн Лапласа в области 36 Здесь координаты то«кг! М~ У суть х, у н г=х+1у.
До к аз а т е л ь ство. Для доказательства теоремы проверим, что функция, определенная формулой (7.27), удовлетворяет условням (7.24) — (7.26). Фупкцня г'(г, гв), осуществляющая данное конформпое отображеппе, является аналитической функцией, прочем у (г, я,):,а О прп г Э гв, Отсюда следует, что и функция 1п 7 (г, гв) = 1п ! «(г, г,) !~+! агй У(г, г„) где à — граница области К Имеет место следующая теорема. Теорема 7.6 Если функция ш = Р(гв, г) осуществляет конфорл«ное отображение заданной обласинг ч«плоское«ип г на внутренность единичного круга',то !( 1 так, что точка г е— : У переходит в центр я=О этого круга, то функция.
191 ПРИЛОЖШ|ИЯ К ЗАДАЧАМ МСХАИИКИ И ФИЗИКИ является аналитической фуикииеи во|оду в области 71, за исключением точки «а, Так как действительная часть аиалитическоя фушгипи есть функция гармоническая, го условие (7.24) выполнено. Поскольку /' (г, Е,) х- 0 ее|Оду В ОбЛаСтИ Ю, ВКЛЮЧая И тОЧКу а =-,, а Г"(а, Е„) = О, то точка е„ являешься нулем первого порядка данной фуикпии, т.
е. в окресп|ости этои точки имеет место разложение 7 (е «о) =(е ао) гр (е ео) где гр(а, е,) — апалитическая в окрестности точки =., функция, причем гр(гя, е,) А О. О|сюда следует выполнение условия (7.2б) для функции (7,27). !!аконец, гак как',7"(д, в) 'г = 1, то функция (?.27) удовлегворяет и условию (7,20), Теорема доказана.
Приведем прилгер прил!евсина доказанной теоремы. П р и м е р 2. Посгроигь функцию источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе — оо(х(со, 0(у(гс Согласно |олько что доказаиион теореме для решения задачи надо построить коиформпое огображеш|е данной полосы плоскости а иа внутренность единичного круга ш',,(1, при когороъг заданная точка ая переходила бы в венгр круга те:= О. Как легко вндегь, фупкиия, осу|цесгвляю|цая требуемое отображение, имеет вид Ег Егг У(ее )=' егг (7.28) Поскольку имеет место соогиошение ,'е — е" =',(ехсоку — е"'сокуч)'+(е" к|ну — ех юпуя)г)" —.
х -'.х„ =е " )/2 !с!1(х — хя) — сок(у — уя))ч, то после элементарных преобразований получим искомую функцию в виде ! ! 1 1 ! с|1(х хг) соа(У ! Уг) (729) 2и !)(гг, г), ,4л сб(х — хг) — сок(у — у„) ' ф 2. Приложения к задачам механики и физики (7.30) (7.3! ) го!У=0, г)|ч я = О. *) См. Л. !!.
Тихонов и Л. Л. Самарски!|, Уравиеиия матеиатическоа физики, гНаукаг, |972. 1. Плоское установившееся движение жидкости. Ьудеи рассмагривагь плоское погеициальпое установившееся гечеиие несжимаемой идеальной жидкости. Как известно, в случае по|еиииальиого движения в обласп|, свободной ог источников, вектор скорости ч (х, у) удовлетворяет уравнениям г) 192 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. 7 Так как дни>кение потенпиальпое, то су>пествуег скалярная функпия л(А, у), называемая по>енппалом скоростей, связаппая с вектором скоросгн у соо>ношением (7 !2) у =-егай п(х, 1'), г. е ди ди У,†.
и У,— Дх х ду' При этом вектор скорости у в каждой точке течения направлен по нормали к линии уровня и (х, у) =- сопя! потенциала скоростей. Подставив (7.32) в уравнение (7.3!), получим +Д' о Дхт Дуя (7,34) Ди Ди ди ди х Дх Д х Д Дх' Кзк было отмечено в гл. 1, комплексное число тг> = ух + 1уу МОЖНО ИНГЕРПРЕГИРОВатЬ КаК ПЛОСКИИ ВЕКТОР С КОМПОНЕНтаМИ Ух И У> Имеет место очевид>юе сооп>ошение (7.35) ди . Ди ди .
Ди ш = У„+! У„= — + 7 — = —. — 7 — .= 7" (з), Дх Ду Дх дх (7.36) т. е. в рассматриваемом случае потенциал скоростей является гзрмонической функцией. Построим аналитическую функцию комплексной переменной 7(е) = =и(х, у)+!о(х, у), для которой погенпиал и(х, у) рассматриваемого течения является действительной частью. Как было отмечено (см. стр. 34), при этом функция у"(х) определена с точностью до постоянного слагаемого. Ранее (см. стр. 35) было показано, что линии уровня и(х, у)=со>>з( и п(х, у)=сопя! дейсгвп>ельной >я мнимой частей аналитической функпии взаимно ортогональиы.
Поэтому вектор скорости у в каждой точке течения направлен по касательной к линии уровня о(х, у) = сопя(, проходяшей через данну>о точку. Функция т>(х, у), являющаяся мнимой частью построенной таким образом аналитической функции 7'(х), называется функцией тока, а сама функция 7"(з) комплексным потенциалом >ечения. Сч>ласгь течения, ограниченная двумя линиями >ока п(х, у) =С, и з(х, у) =С,, называется трубкой тока. '1 ак как скорость жидкости в ли>бой точке направлена по касательной к линии тока, то в силу несжпмаемости жидкости и станцяонарного характера движения количество жидкости, протекаюшее за единицу времени через любые два поперечных сечения Яг и 8, трубки тока, остаешя постоянным.
Таким образом, разность значений постоянных С, н Св определяет расход жидкости в данной трубке тока. Из условий Коши — Римана и формул (7.33) следует, что компоненты скорое>и могут быть выражены через частные производные от функции тока: 5 21 п»нложнння к злдлчлм мгхлннкн и физики 193 которое связывает вектор скорости и производную от комплексного потенциала течения. В гидродинамике существенную роль играют поня~на циркуляции и потока нскторз скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
