А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Из формул (7.80) следует, что вектор напряженности Е в каждой точке эквипотенциальной линии п(х, у) =С направлен по нормали к этой линии. Так как линии п(х, у).=- С и п(х, у) = С взаимно оргогональны, то направление вектора Е совпадаег с касательной к линни п(х, у) = С в каждой точке этой кривой. Поэтому линии и(х, у) = С являются силовыми линиями данного поля. Сопоставим вектору Е комплексное число ш = Ех+ 1Ех. Тогда на основании (7.80) и условий Коши — Римана получилг де . до до .ди ш=Е.-'-1ЕЛ= — — г . = — - — 1- - = х ! т дх др дх дх .,'ди .до', = — г ' — — г — ' = — (1" (з) . (7.83) гдх дх, Отсюда (7.84) ) Е ' =: г"' (г) ;'. Формулы (7.83) и (7.84) дают выражение компонент вектора напряженности электростатического поля в области.
свободной от зарядов, через производную комплексного потенциала. Пусть заряды, созда1ошие данное электростатическое поле, сосредоточены в некоторой области, ограниченной замкнутой кривой С, в). *) Это означает, что в пространстве заряды распределены внутри бесконечного цилиндра, контуром поперечного сечения которого является кривая бм причем плотность распределения зарядов не зависит от координаты з вдоль образующей цилиндра, а является лишь функцией координат х, р в поперечном сечении. 4 2! ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗЛДЛЧЛМ МЕХЛНИ!(И И ФИЗИКИ 205 Тогда интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащему С„ внутри, от пормальнон составлявшей напряженности электрического поля, согласно теореме Гаусса "), равен суммарному заряду (отнесенному к единице длины цилиндра, в котором распределены заряды в пространстве): ~ Е„йэ = 4пе, с (7.85) 'г)а основании формул (7.80), (7.37), (7.38), учитывая соотношения Коши — Римана, получим Так ьак электростатическое поле всюду потенциально, то циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю, т, е.
Е, аз = — л —. йх + — йу = О. с Где . ди )дх дх Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру С от лексного потенциала: л'(г)йг= т —. йх — .ау+с т — йх Гди (Ъ, .Гдо ) дх дх ' ) дх с с Сравнение приведенных выше формул дает ~ „Г' (г) йг = ~ Е„аэ = — 4пе, с с производной комп'; —. с(у.
(7.86) (7.87) ~ п(э)йэ = е. (7.88) с, Как известно *"), имеет место соопшшепие (7.89) С другой стороны, из (7.83) и (7.89) получим о (з) =: н —: Х' (2) ,'с, . (7.90) ") Сп. сноску на стр. 203. *") См, сноску иа стр. 203. т. е. заряд, заключенный внутри области, ограйиченной пони!ура,п С, определяется пнгпегралом по алгол!у контуру от производной пол!плен(ного поагенфпала элептростапииеспого поля, создаааелгого данным распределением заряда.
Если Со представляет собои контур поперечного сечения идеально проводящего цилиндра, то весь заряд сосредоточен на его поверхности с поверхностной плотностью о(э), причем ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКБИЙ 1ГЛ. 7 Знак в формуле (7.90) определяется знаком суммарного заряда е, распределенного на поверхности данно~о идеально проводящего проводника. Формула (7.90) находит многочисленные приложения при решении различных задач электростатики. Заметны, наконец, что, так же как и в задачах гидродинамики, производная комплексного потенциала 7" (з) на основании (7.83) является однозначной аналитической функцией ш Если напряженность данного электростатического поля ограничена на бесконечности, то разложение Г"'(а) в окрестности точки а =ж имеет впд а=1 Отсюда для самого комплексного потенциала получим разложение У(а)=ш а+се+(7з !па+ (7.9 1) Так как где контур Сл содержит все заряды, создающие данное поле, внутри, то из (7.87) получим окончательное разложение комплексного потенциала в окрестности точки з = со в виде 7 (а) = ш г — 12е 1п г л- 7' зч ' (7.92) а=о ,7 (з) = — 12е 1п л, е ) О.
(7.93) ") Очевидно, то, что потенцяальная функция в электростатике является мнимой частью комплексного потенциала, а в гидродинамике потенциал скорости является действительной частью колгплексиого потециала, представляет собой несущественное различие, которое может быть устранено введением до.
полнительного ьгножггтеля, равного — Е Однако мы придерживаечюя установившеися терьгинологггн, при которой имеет место указанное разлнчие. Кагс мы видим, комплексный потенциал электростатического поля имеет чрезвычайно много общего с комплексным гидродинамическим погенгтиалоьг а). Поэтому исследование плоского электростатического поля с помощью комплексного потенциала может быть проведено теми же методами, что и решение соответствующих гидродинампческих задач. Так, все примеры течений, рассмотренные на стр, 194— 196, допускают простую электростатическую интерпретацию.
Например, рассмотрим электростатическое поле, описываемое комплексным потенциалолг ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ Введя полярные координаты г, ф и учтя, что =гегч, получим о (г, гр) = — 2е 1п , 'з ' = 2е1п —, 1 и (г, ср) = 2е агц з = 2еф. Отсюда следует, что эквипотенциальными поверхностязгп данного поля являются концентрические окружности с центром в начале координат, а силовыми линиями — лучи ф = сопя!. Вектор Е в каждой точке -'- 0 направлен но лучу ср = сопя(, а по абсолютной величине в силу формулы (7.84) равен ! Е, = У (з): г ' Так как интеграл гю любой окружности ! з ! = г от нормальной состзвляюшей напряженности данного поля имеет постоянное значение, равное йпе, то, очевидно, это поле создается точечным зарядом вебичины е, находящимся в начале координат (в пространстве заряды, создающие данное поле, распределены с постоянной плотностью е вдоль прямой, перпендикулярной плоскости х, у и проходящей через начало координат).
!'ассмотрим некоторые типичные задачи электростатики, которые могут быть решены с помощью комплексного потенцизла. а) Определение ллогпносгпп распределения заряда яа идеально проводяп!еда проводнике. Пусть боковая поверхность идеально проводящего проводника представляет собой бесконечный цилиндр, поперечное сечение которого ограничено контуром С. Предположим, что плоыгость распределения заряда постоянна вдоль образующих цилиндра и на единицу длины цилиндра приходится заряд е. Требуется определить поверхностную плотность заряда п(з) на контуре С поперечного сечения.
Очевидно, решение данной задачи дается формулой (7.90) при нормировочном условии (7.88). Тем самым задача сводится к построению комплексного потенциала 7'(з), являющегося аналитической функцией вне конгура С, при условии, что мнимая часть 7"(з) имеет постоянное значение на контуре С и в окрестности точки а = со разложение Дз) дается формулой (7.92), где ю =- О, а коэффициент е равен заряду, приходянгеыуся на единицу длины проводника. Начпем с простейшего случая, когда проводник представляет собой круговой цилиндр единичного радиуса. Вьпае было показано (см.
стр. 208), что эквипотенциальные линии комплексного потенциала (7.93) представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Поэтому, чтобы удовлетворить условию на границе проводника, естественно искать потенциал данного поля в виде т( ) = — !С!на, 208 ПРименинии лнллитических Функции 1гл.
7 Если контур поперечного сечения проводника представляет собой произвольную замкнутую кривую С, то осуществив с помощью функции ь=ф(г) конформное огображенне области вне контура С на внешность единичного круга ',Ь, >1 так, чтобы удовлетворялось условие ф(сю)=-со, мы сведем задачу к только что решенной. Тел~ самым комплексный потенциал будет иметь вид Д(г) = — г2е! и ф (г), (7.94) а для плотности поверяностпых зарядов согласно (7.90) получим вы- ражение 4л г ( )'с 2л1ф(г) Лг~с 2л (Па~с 2л(д~г~С;=С В качестве примера рассмогрим задачу об определении плотности заряда па полосе ширины 2а.
Г!усть данная полоса пересекает плоскость х, у по отрезку — а ( х ( а. Функция производит конформное отобрзжение внешности единичного круга плоскости ~ па плоскость г, разрезанную по отрезку действительной оси — а(х<, а. Поэтому формула (7.96) дает а (х) = 1, 1 (7.96) Так как а гт )' г — е' ьг — 1 = —, (гг — лг+ г 1г гг — Ог) = . (г+) гг — аг), то формула (7.96) дает о (х)— 2л ) аг — х',хт11'а' — хг ~ е<х<е (7.97) 2л )' а' — хг Заметим, что плотность заряда пеограпяченно возрастает при приближении к краю пластины. Этот факт имеет простой физический смысл. Край плзстппы имеет бесконечную кривизну, и для того, чтобы ззрядить его до некоторого потенпиала, надо поместить на него бесконечный здрягь где С вЂ” постоянная, подлежащая определению.
Из условия на бесконечности (7.92) получим С = 2е. Тогда формула (7.90) дает очевидный результат е а(з)= —. 2л ' 209 пштложения к задачам мвхлннки н оизикн б) Определение поля бесконечноао плоского конденсатора. Пусть требуется найти элекгростатпческое иоле между двумя заряженными до некоторого погенциала пдеалыю проводящими непересекающимися цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны между собой, а направляюьцне проходят через бесконечно удалеппу.ю точку плоскости г (рнс. 7.3). В этом случае задача состоит в определении в криволинейной полосе о комплексного потенциала 7"(а), представляющего собой аналитическую функцию, мнимая часть которой принимает постоянные значения и, и тй на кривых С, и Ся. Очевидно, аналитическая функция го = 7(а) осушествляег копформное отображение данной криволинейной полосы плоскости а на полосу плоскосгк ач ограниченную прямыми 1щы = пм 1ш го == па Тем самым для решения данной задачи достаточно построить указанное копформное отображение.
л=д Рис. 7.4. Рис. 7.3. В качестве примерз найдем поле конденсатора, изображенного на рпс. 7.4, если значения потенциала на кривых С, и С, соответственно равны О н 1, Предварителыю найдем функцию а=гр(~), осуществляющую конформное отображение верхней полуплоскости с, (ш ~ ) О, на данную криволинейную по.чосу У плоское~и а. Так как область У представляет собой треутольник в) Л,А,Лм то искомое отображение можно получить при помощи интеграла !Вварца — Кристоффеля (см. гл.