А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 47
Текст из файла (страница 47)
! (8.59) ") Достаточно подробные таблицы читатель может найти в книге В. Л. Дячкина и А. П. Прудникова «Интегральные преобразования и операционное исчисленве>, Физматгиз, !96!. Там же приведен и подробный список справочной литературы по операционному исчислению. '*) Определение интеграла Фурье и обоснование интегральной формулы (8.59) см. вып.
г, стр. 810. менной р является изобразкением функции Т(1) действительной переменной й Во-первых, отметим, что имеются различные таблицы изображений наиболее часто встречающихся в приложениях функций, так что прн решепип копкренпгх задач часто удается найти в соответствующе>| справочнике ") выражение оригинала для полученного изображения.
Во-вторых, приведенные в предыдугцем параграфе свойства изображений 1) — 9) во многих случаях позволяют решить и обратную задачу построения оригинала по заданному нзображешпо. В первую очередь это относгпся к теореме смещения, ицтегрированшо и дифференцированию изображения и изображению свертки функций.
Ряд примеров был уже рассмотрен в 9 1, некоторые примеры будут приведены в дальнейшем, Однако все эти л!етоды, по существу, являются методамп подбора. Основной целью данного параграфа являегся пзлозкеппе об!пего метода построения оригинала по изображению. 1. Формула Меллнна. 1(ачпем с того случая, когда по условиям задачи иавестно, что заданная функция р(р) комплексной переменной р является иаображепием кусочно-гладкой функции у(у) с оргаииченпой степенью роста ' Я), « . Л1еь', прпче:я значение постоянной а задано. Требуется по заданной функции Е(р) построить искомую функцию у(1).
=)та задача решается с пол!ощью следую!цен теоремы. Теорема 8.3. Пусть известно, что задоннап функция Р(р) в области Ке р ) а является изобралсекггелг кусочно-гладкой функции У(1) действительной иерелгекноа 1, обладаю!не>1 степенью рос>па и. Тогда з 2! ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЭОБРАЖЕНИЮ 229 Г!одстзвляя в (8.59) выражение функции гр(1) через искомую функцию у(~), получаел2 е'"уЯ = — 1 бье 1 е хч)(21)ест" — ч>бд) = 1 Г йп — ей' д$ ~ е гх -'- 61 ч Т" (21) йд), (8.60) 2п — д так как Т(21)=0 при Ч(0. Обозначим р = х+1Е и заметим, что внутренний интеграл в (8.60) представляет собой заданное изображение р(р) искомой функции,р(С).
Тогда выражение (8.60) принимает вид оо х -1- 2 о У(Е) = — ~ е 1" +61 ' Р (р) г($ = — ~ ес' Р (р) с(р, — со х — д оо что и доказывает теорему. Заметим, что в формуле (8.58) интегрирование производится на комплексной плоскости р по прямой, параллельной мнимой оси и проходящей правее прямой ке р = а. Значение интеграла (8.58), очевидно, не зависит от величины х прн условии, что прямая интегрирования лежит правее прямой Йер=а.
Формула (8.58) часто называется формулой Меллина, опа является в определенном смысле обратной преобразованию Лапласа (формула (8.2)), так как выражает оригинал через заданное изображение. Отметим, что поскольку мы в процессе вывода формулы Меллина от самой неиавестной функции у(() перешли к ее интегралу Фурье, сходящеъ2уся к функции Я) лишь в точках непрерывности этой функции, то и интеграл (8.58) совпадает с функцией Т(1) лишь в точках ее непрерывности.
В качестве примера применении доказанной теоремы рассмотрим вопрос об определении иэображения произведения по известным изображениям сомножителей. Теорема 8.4. Пусть Тд(1)=,=:-рд(р), Кер)а, и уя(1)=.' ра(р), )сер ) ам Тогда х+доо у(1) =,Тд(т) уа(() =.-р(р) = —, ~ рд(д) ря(р — а)дд- 1 х — доо Х+доо — рд (р — 11) ря(2у) йу, (8.61) 1 причелс функция Р(р) определена и аналитична в облаипи Кер о > а + аь а интегрирование дгропэводд2тсл по любой прямой, паРаллельной .анимой оси, лежагаей ЛРавее пРпммх КеР = ад и Мер=ам 230 ОснОВные понг!Тия ОпеРАциОннОГО Р!счисления 1ГЛ.
а Доказательство. Так как функция г'(1) удовлетворяет всем условиям существования изображения, то для нее имеет место преобразование Лапласа .Г(1) =.н Р (р) = ~ е "Л(Г).тх(() вС (8.62) о Представляя в (8.62) функцию ут(1) в виде ее интеграла Меллиг5а (8.68) и меняя порядок интегрирования, что возт|ожно в силу равномерной сходимости данных несобственных инте~раппа, зависящггх от параметра, получаем оо х 4- Г оо Р (р) = —,. ~ е Рг)г(1) гй ~ вагит (5)) Щ = 1 '0 х — Г оо х хе Г оо оо — Гг (г)) цгд ~ е 'Р-гпух(1) пгг = х — Г со 8 1 — Гх (5)) Гя (р — 5)) г(п.
(8.63) Заметим, что в (8.63) Кег)=х)о, а функшгя Кя(р — д) определена при Ке(р — 51))ав откуда Кер)а,+а,. Заменив в (8.62) функгнно ,Ф:, (1) по формуле обращения, можно получить второе равенство в (8.61). Теорема доказана. Отметим, что доказанная теорема в известном смысле обратна свойству 6. ПРимеР 1. ПУсть Ут(т)=совы(, Уя(х)=6 Найдем изобРажение функции У(1) = 1 сов юд Так как сов ю(=,'- 1=,' — —, то Р . ! Рх+гох 1 Рх (8.64) (чх+мх) ( — 4)х х — Ю оо где Кер)1!ты 1о а интегрирование производится по лгобой прямой, параллельной ьгнимой оси и лежагцей правее прямой Кед=/1гпю).
В качестве такой прямой интегрирования выберем прямую, проходящую левее точки д=р, и рассмотрим на комплексной плоскости г) залгкнутый контур Г, состоящий из отрезка 1А — Я, х+1К) данной прямой и заагыкающей его в правой полуплоскости дути полу- окружности , 'д — х ~ = хт'. Внутри данного контура подынтегральная функция из (8.64) является всюду аналитической, кроме точки п=р, которая есть полюс второго порядка данной функции. Точка гг= со является нулем третьего порядка этой функции. Поэтому в силу леммы 1 гл.
б значение интеграла (8.64) определяегся вычетом в особоп точке подьгнтегральной функции. Заметив, что обход й81 ОпРеделение ОРигинАПА по изОБРАжени1О контура Г совершается в огрипательном направлении, получим Итак, рз ы (соз Ы =,-'=- (8.66) 2. Условия существования оригинала. В насгоягнем пункте мы рассмотрим некоторые достаточные условия, при которых заданная функция Г (р) комплексной переменной р является изображением некоторой функпии Г(1) действительной переменной 1, и покажем, как найти последнюю.
Теорема 85. Пусть функция Р(р) комплексной переменной р = х+ су удовлегиворяет следуюгции условия,иг а) Г(р) — аналитическая функции в области пе(р) ) а; б) в обласнш Мер)а функция Г(р) стремиисся к нулю при , 'р ! — »- со равно перно относительно агар; в) для всех Ке р = х ) а сходипгся интеграла) (8.66) 1Г (р) ', бу ( Л, х ) а. Тогда фуньцая р(р) прсс Кер)а является изобразкение11 функции ) (7) действительной переменнои ц которая определяется выраокение 11 х+ с со Г(1)= —, ~ е" р(р)сур, х) а.
1 (8.67) А(оказа тельство. Итак, надо доказать, что интеграл (8.67) является оригиналом функпни Р(р). 11ервым делом возникает вопрос о существовании этого несобственного интеграла:"":). Очевидно, х+1со х -'; с' со — еж) р) г(р ~ — ~ ~ вес Г'(р) ( 111р, ,'= х — с о» Г(р) ~ Ыу= — ', е»и (8.68) '1 Интеграл (8.66) представляет собой несобственный интеграл первого рода по прямой Кер=х от действительной фуикпии Г(р) . *о) Несобственный интеграл (8 67) вычисляется вдоль прямой Ке р=х и понимается в смысле главного значения, т. е.
х-1 '»со х+ с'л егс Р (р) бр= 11п )г ег18 (р) ар. х — с со х †.и 232 основныв понятия опвяацнонного исчисления 1гл. а откуда и следует сходимость интеграла (8.67) при любом х) а. Отметим для дальнейшего, что из оценки (8.68) следует равномерная сходнмость интеграла (8.67) по параметру 1 на любом конечном промежутке О --1 Т, Для того чтобы доказать, что интеграл (8.67) является орипшалом заданной функции гс(р), следует установить, что: 1' Интеграл (8.67) не зависит от м и определяет функцию Я) лишь одной переменной 1, причем эта функция обладает ограниченной степенью роста.
2' При 1(О У(1) =О. 3' Изображением Лапласа функции 7(1) является заданная функция Р(Р). Дока'кем каждое нз высказанных утверждеший Ряс, 8.2. Ряс. 8.1. 1' Рассмотрим в области Кер' ьа замкнутый контур Г, состоящий из отрезков прямых [х„— (А, хг+(А) и [жя — 1А, ха+1А], параллельных мнимой оси, н соединяюших их отрезков прямых [х,— 1А, ха — 1А), [ха+ 1А, ж,+1А), параллельных действительной оси (рис. 8.1). Здесь А) О, х„ха — произвольные числа, большие а. Так как функция )с(р) является аналитической в области Кер а, то в силу теоремы Коши интеграл от функции еа'Г(р) по конгуру Г равен нулю.
Устремим А к бесконечности, оставляя фиксированными хм ха Тогда по условию б) теоремы интегралы по горизонтальным отрезкам пути интегрирования дадут в пределе нуль. В то же время интегралы по вергикальным прямым переходят в интеграл (8.67). Отсюда к, +Гсс к, -' с сс ежР(р) г1р = ~ еа' Р(р) г(р, ,с, — С сс к, — 1 сс З а1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 233 что в силу произвольности х, и хя доказывает утверждение 1'. Итак, интеграл (8.67) является функциеп лишь одной переменной г.
Отметим, что при этом из оценки (8.68) сразу следует, что интеграл (8.67) представляет собой функцию ограниченнои степени роста по г, причем показатель степени роста этой функции равен а. 2' Рассмотрим значение интеграла (8.67) при с < О. )(ля этого в области Кер ~ а рассмотрим замкнутый контур С, состоящий из отрезка прямой [х — Я, х+Я[, х О а, и замыкающей его дуги С'л полуокружности [р — х1= К (рис.
8 2). По теореме Коши интеграл от функции ер'Р(р) по данному контуру равен нулю. В силу заме. чания к лемме Жордана (см. гл, 5, стр. 1ЗЗ) при й-ООО интеграл но дуге С'л стремится к нулю при (~ О. Поэтому х+1ОО 7(1)= —. ~ еягр(р)с1р— : О, ((О, Кер Оа, (869) 1 и утверждение 2' доказано. 3' Построим изображение Лапласа функции (8.67) н рассмотрим его значение при некотором произвольном р,, где Керр)а: СО СО х-С срс 2 У "'ЛсИс —,. 1*"'О [ * хасс. СссРС ! 2ю х — ~ю Интеграл (8.71) л|ожет быть вычислен с помощью вычетов, так как в силу условия б) теоремы подынтегра.чьная функция стремится к нулю 1 нри,р'-О со быстрее, чем функция —, Поэтому, учтя, ~о единственр нов особон точкой подынтегральной функшш — полюсом первого порядка — является точка р =рр н прп замыкании (8.71) в правой полуплоскости интегрирование производится в отрицательном направлении, получим 7"(() =,' ~ е — Ону"(Г) г((= Р(р,).
о (8.72) Поскольку рр — произвольная точка в области Кер > а, теорема доказана. Встественно, что интеграл (8.67) совпадаег с формулой Мелли- Внутренний интеграл в (8.70) не зависит от х. Выберем значение х, удовлетворянтщее условию а(х(Керм и изменим порядок интегрирования, что возможно в силу равномерной сходичостн соответсгвуюших интегралов; получим СО Х+ С'ОС СО Х + ССО е-РсгуЯИ=- ~ Р(р)(р ~ е — 1Р;Р1г,(1 .. ' р(р) р 1 С Г г 1 Р Др 2л) 2л1 3 рр — р' Х вЂ” С СО х — с'ы (8.71) 234 основныв понятия опвиационного исчисления 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
