А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 48
Текст из файла (страница 48)
а ~ ежР(р)г(р-оО, Я-оса, с ° (8. 73) где Сп — дуга полуокружности р — х'=К в левой полуплоскостп. В этом случае интеграл (8.67) можег быть вычислен с помощью теории вычетов. Рассмотрим ряд примеров. Пример 2. Найти оригинал функции гч(р)= о, Кер)0, до+ гоо ' гоо) О. Тзк как условия теоремы 8гб выполнены, то гг (р) — — 'г (Г) = —. (о еог о гГр, т ) О.
2лг,) до+ мо х — ~оо Аналитическое продолжение функции с'(р) в левую полуплоскость Кер(0, функция,, удовлетворяет условиям леммы Жордапа По+о' ' и имеет две особые точки — полюсы первого порядка при р,л — — -~-гпш Поэтому при (= 0 2 го гоег™ мо гог го(Г) = ~ Ваго аж „,)го1= —. —, . = Йп ют, Г:- О, о г 1 р'+яй ' 1 2йо 2ио Условия теоремы 8.5, в частности условие в), являкпся достзгочными условиями существования оригинала аналитической в области Кер)а функции г'(р). Нетрудно принести примеры, покззываюцще, что, если это условие не имеег месго, функпия 5 (р) может все же быть изображением некоторой функции действительной переменной. 1 Пример 3.
Найти оригинал функции 5'(р) =- — „, — 1(а(0, Кер» О. Эта функция является многозначной в рассматриваемой области. Мы будем понимать под функцией гч(р) ту ветвь данной многозначной функции, которая является непосредствспным аналитическим па (8 58), выведенный в предположении существования оригинала. Игах, нами установлены некоторые достаточные условия, при которых заданная функция с (р) комплексной переменной р является изображением.
3. Вычисление интеграла Меллина. Во многих практически взжных случаях интеграл (8.58), (8.67), дающий выражение оригинала по заданной функции Е(р) комплексной переменной, может быть вычислен с помощью рассмотренных выше (см. гл. 5) методов вычисления контурных интегралов от функции комплексной переменной. Пусть функция Г'(р), первоначально заданная в области Кер ) а, может быть аналитически продолжена на всю плоскость р. Г!усгь ее аналитическое продолжение удовлетворяет прп Кер ( а условиям леммы Жор дана. Тогда и р и 1 ) 0 з1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНА.ЧА ПО ИЗОЗРАЖЕНИК> продолжением в область Кер ) О действительной функции — дейстзи- 1 кач тельной переменной х) О. При агом мы, очевидно, должны считать агцр= О при р=х, х) О.
Функция )г(р) не удовлетворяет условию в) теоремы 8.8. Покажем, однако, что функция к-~-гть 7(1)= 2, т е —,г)р, х)0, (8. 74) к — гак ! —. ~ ЕРГ ( — ~ ЕГРаа ЧСтГр. , 8Р 2:и,) Раы 2пра с. — л Р Так как — 1(и(0, то интеграл по СР также стремится к нулю прп р — ь О. Тем самым остаются линь интегралы по прямолинейным участкам контура интегрирования.
Заметим, что на нижнем берегу является оригиналом заданной функции Е(р). Аналитическое продолжение функции Р(р) на левую полуплоскость Кер(0 является многозначной функцией, имеющей точками разветвления точки р=-0 и р= со. Будем рассмзтризагь з области -", представляюпдей собой комплексную плос- х г(Ан кость р с разрезом по отрицательной части действительной оси, ту ветвь 1 ь, л многозначной функции †, которая Ра-1 л' является непосредственным знзлигическим продолжением функции 1т(р), первоначально заданной в правой полуплоскостн Кер ) О.
В области .Р -А р 6' Рер=х рзссмотрим замкнутый коепур Г, со- х стоящий из огрезка прямой (х — Я', х+ПК ), х)0, отрезков — Й( ( х ( — р на берегах разреза и замыкающих их дуги окружности СР, ~ р ' = р, и дуг окружности Сл, ~ р — х , '= К', соединяющих берега разреза с вертикальным отрезком (х — Я', х+Я'3 (рис. 8.3). Так как х-И' функция ег —, в области к особых 1 точек не имеет, то по теореме Коши интеграл от этой функции по контуру Г равен пулю. Устремим К' к бесконечности, а р к нулю.
В силу леммы Жордана интегралы по кривым Сл дадут в пределе нуль. Оценим интеграл по окружности СР, положив р = регч: 236 основныг. понятия опвгацнонного нсчислвння !гл. а раареза агцр= — и, на верхнем агдр=п. Поэтому пол>чим к+ 1о» к — !на СО ((' дл елм 2л! ~ ) ( — а)а'г если + 'СО о = --.1.-"" ~.-*' -"-'н — '- ( 2л! ~ мп( — па) ~ а а'л ( — л)а" е ~."" е-ат х-а-т г(х е "'х '" т ~ух. (8.76) Воспользовавшись равенством *) Г( — а) Г(1+а) = окончательно получим формулу га р'"~' ' ~ () Г(!+и)' (8. 76) являющуюся обращением формулы (8.18), что и доказывает наше утверждение.
! П р и м е р 4, Найти оригинал функции Е (р) = — е — агл, а ) О, Р Кер) О. При этом, так же как и в предыдущем примере, мы рассматриваем ту ветвь многозначной функции р р, которая является непосредственным аналитическим продолжением в область Кер~ 0 действительной функции )/х действительной переменной х~ О. Напомним, что в этом случае мы должны положить агцр=О при р=х «О. Аналитическое продолжение функции Е(р) в левую полуплоскость Кер(0 опять имеет точками разветвления точки Р=О и р=со. Будем рассматривать область 3 — плоскость р с разрезом вдоль отрицательной части действительной осн. В этой области определена одно- 1 значная аналитическая функция — е — ага, являющаяся непосредствеи- Р ным аналитическим продолжением функции Е(р).
Отметим, чго функция Е(р) при Кер)0 удовлетворяет условиям теоремы 8.5, а ее аналитическое продолжение в области 3 в левой полуплоскостн *) См. вып. 2, стр. 441. Сделав в интеграле (8,7о) замену переменной интегрирования х1=з, получим 7 (1) = га Г ( — га). ОПРЕЛЕЛЕННЕ ОРИГИНАт!А ПО ИЗОБРАЖЕги!Ю х+ Аи 1 Г е-а!го Р(р)=.' У(1)= — -: ) '" г(р= 2л!' . р х — вм 'р Так как , ч Ип!, ~ ео", 1реее о!!р = 1, 1 !' !ве-атрх о р о 2п!' реев то 1 ~ - и!п а!тд Л,] о Сделаем в этом ннтеграле замену переменной, положив 1~2 =х, учтем, что — = ~ соя рхт7р, д и изменим порядок интегрирования. Получим мп а)' $ х!-'2)хв( '" в х ((е 1! о (8.77) Внутреин!!11 н!пеграл в (8.77) легко может быть вычислен в), Он равен Бу 1 /и е" сов рхе(х= — 1гх -'- е — 2У о Отсюда а /(г) = 1 — †,. 1/ — 1 е " !т'р. и ч! *) Например, дифференцированием по параметру. См.
вып. 2. Кера. О при 1) О удовлетворяет условиям леммы Жордана. Поэтому, оыбрав тот же контур интегрирования Г, что и в предыдугдем примере, и заметив„что па верхпев! берегу разреза атер =л, что дает р=ее!и= — $, 1/р= 1/еве я =11/=, а па нижнем берегу разреза атер=- — и, что дает р=$е '"= — $, )/р=)/2е ' = — фф(е)О), получим 238 основныз поня~на опердционгчого исчисления [гл.
а Положив ==>1, окончагельно получим )г 4г р (р) — 1.е лед — ' 1 — с»»> ( ~ >, сд > О, Кер) О, (8.78) где функция (8. 79) ес>ь так называемая функция ошибок ч). 4. Случай регулярной на бесконечности функции.
Рассмотрим еше один частный случай, ко~да определение оригинала для заданной функции гп(р) когшлексной переменной производится особенно просто. Пусть аг>ал>пическое продолжение первоначально заданной в обласги Кер)а функции р(р) являегся однозначной функцнеи на полной плоскости комплексной переменной р, причем точка р = со †правильная точка фушсции р (р), Это означает, что разложение функции р (р) в ряд Лорана в окрестности точки р = со имеет внд (8.80) При рассмотрении своисгв изображения было отмечено, что ! го(р) ' -ь 0 при Кер -» +х>.
Поэтому в разложении (8.80) коэффициент са равен нулю и р(р)= ~~' ".. (8.81) и=! Легко найти фуцкшпо г(1) действительной переменной 1, для когорои функция (8.81) яьляется изображением. Теорема 8.б.Еглгг игочка р= со является ггравпльной точкой функции Е(р) и Р(сэ) = О, то фундцггя Р(р) иредпггавляет сооой изображение Лаплена фуннцгт дейсглвительной вере»генной О, 1(0, 7 (г) = гл ,'5' сл„, —, 1) О, и=а (8.82) ") Определение и свойства фрикции ц> (г) см, А. Н. Т в к о в о в, А.
А. С а и а р с к и й, Уравнения матс»>атвческой физики, »Наука», 1972. где сл суть коэффициенты разлозкенггя функции гп(р) в ряд .7орана (8.81) в окресгиноспт точки р= со. ж ОПРЕДЕЛЕН>!Е ОРИГИ>ГАЛА ПО ИЗОЬРЛЖРНИЮ 239 Из этой опенки следует сходимость ряда (8.82). Лейства>телыао, л=а л=а Отсюда >ке следует, что в круге любого конечного радиуса ряд (8.82) сходится равномерно, тем самым определяя некоторую нелую функиию комплексной переменной И г (!) = «с„.>г — —. л.=а (Заметим, что фуа>мишо г"(г), определенную формулой (8.82), мы можем рассмааривать как произведение функ~им у(!) на единичную функцию хевнса!!да Оп (О) Умножив фуикшио Д!) на е Р' и проинтегрировав по ! рзвномерно сходящийся ряд (8.82) почлепио, на основании соопаошения лв) и! ' Раа:а получим л =-а что и доказывает теорему. Пример 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
