А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть Г((>) = =„ 1 )' Ф-~-1 (8.84) Эта фУнкеиЯ имеет две осооые точки Р,д — — + г н Явлаетса однозначной авали>мшеской функииен в окрестности точки Р = Оэ, причем в окрестности эгон точки, как было иоказзно выше "л'), функния ГЯ л) См, стр. 114. ' '") См. формулу (8.19]. л*а) См. пример иа стр. !21. Показательство. Выше б>ыло показано, что коэффиииенты рззложения (8.81) определяются формулой л) с„= -. т Е'(р)рл 'аар, 1 Г >лс где Сл — окружность ''р,а=й, вие когорой нет особых точек ф)нкипи Е'()>). Так как точка р= со является пулем фуикипи Г(р), го ) Г(р) л '. Ирн,«! .Р й. Поэтому формула для с, даег ГИ ) С„' М)>ла '. может быть разложена в ряд Лорана; Р'(р)= ~( — 1)' —.
=. (2й)! 1 2«а (й!)» р'" » ' а=о Поэтому формула (8.83) дает (' ! !2а 2ы й,« =~( — 1)" 'й,» (88о) е=о ,, ', —.к.'У( — !) а —.о Ряд, стоящий справа в (8.8б), представляет собой разложение весьма ваи«иой специальной функции — так называемой функции Бесселяа) пулевого порядка 4 (1) =,~', ( — 1)" (й1!» . Итак, В -! (г) ) р«+! Замепзм, что, представив ! ! 1 р'+ ! и воспользовавшись изображением функции ын! (см. формулу (8.22)), на основзиии теоремы о свертке получим ~.1о (с) »о (» т) г»т = з1'1» о (8.86) Пример 6. Пусть 1 1 Р(р)= — е а Р Этз функция, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 8.6, причем гг(р)= ~~ ( — !)" ' ю»=1 Тогда 2!'1 ~за ! с =,'-~~ ( — 1) 1,»= э( — !) ~,~ =у (2~ Г). (8.8Т) а=о а =-.о ! Определецне н свойства функции Бесселя см.
А. Н. Т и х о н о а, А. А. Са и ар с к н н, Уравнения математической физики, «Наука», !972. 240 основныи понятия опирлционного исчислиния !гл, а З 3! РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 24! ф 3. Решение задач для линейных диффереициальиых уравнений операционным методом В этом параграфе будут рассмотрены применения методов операционного исчисления к решению ряда задач для лниеяиых дпффереиппальных уравнений. 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В б 1 л,а уже вплели, как с полгопгыо операппоппых методов мо'кпо снести задачу )хошн с пулевыми начальными условиями для линейного дпффереиенальпого уравнения к простерппеа алгебрапческоп задаче для изображения.
Рассмогрим более обитую задачу )хошн: а ущ'(!)э- вху" '(!)+...+п„у(!)= — у И (888) у(0)=ув у (0)=уп у'" "(0)=у -ь (889) где а,, а,, ..., а„, ум уп ..., у„,— заданные постоянные, г(г) — заданная фупкпия независимой переменной (, когорую мы оудем полагать удовлетворяющей всем условиям сущесгвовапия изображения в). !1оскольку. задача (8,88), (8.89) является линейной, моною отдельно рассматринагь решение о:шородпого уравнения с начальными условпячи (8.89) и решение неоднородного уравнения (8.88) с нулевыми начальными условпяшь 1-!а шем с решения первой задачи. Еак известно '""'), для ее решения достаточно построгпь фундаментальную систему решения однородного уравнения (8.88). В качесгве таковоа выберем реггге!п!я однородного уравнения а,лрлв'(!)+агф»" "(!)+...+а„фл(!)=О, /г=О, 1, ..., и — 1, (890) удовлетворщощие начальным условиям й = О, 1, ..., л — 1, ""л (0) = бл, (8.91) где Очевидно, функции фл(!) образукл фупдамеиталыгую систему, так как пх определитель Вронского прп ! =- 0 заведомо отличен от пуля.
Решение задачи (8.88), (8.89) при У(!) =0 через эыг функции выражается наиболее просто: в — 1 Р(!)=,У, Рлфл(1). л=в *) Об условиях существования изображения см. стр. 2!2. *') Схг. вып, 3, стр. 99. 242 ОСНОВНЫЕ ПОНЯГИЯ ОПЕРДЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !Гл а Для определения функций фл(У) прпмешш операционный метод. 'г!л!ея в виду, что функция фл(!) и все ее производные до и-го порядка удовлетворяют условиям существования изображения в), в силу (8.91) и формулы (8.38) полупю! фл (1) се лРл (Р), фгЛ,'~ (1) =..:.- Рл < Ччл (Р) — — лл'-'.— г~, /=1, 2, ..., и, где о ,у=-й, 'у 11.
ро Улшожив обе части уравнения (8.90) па е "' и проинтегрировав по г, полу'чпм 4'л(р) Р.(р)=Рл(р), (8.92) где полпномы Р„(р) и Р„(р) соответственно равны Р„(р) = а,р" + а,р" т +... + а„ и Рл(р)=а р" 'л'!'-!-агр"-!л-в!+...+ах !л"т> (893) Из (8.92) Ч'„ (р) = †' , л = 0, 1, ..., и — 1 р!, (Р) и, в частности, (8. 94) Формула (8.96) будет использована в дальнейшем. Оришшалы функций л(гл(р) лшгуг быть найдены по формуле Меллина! х — 'гл ')г (р)=; — '-фл(()=~: ~ е"' — л() т(р, .с~а, (8.96) х — Рч (1)=~ Выч<ел! л(Г) р < !=-! где р, — нули полинома Рн(р), (8.97) ') Действительно, функции фл, (!), как решения уравнения (8.90), являются гладкпмк функциями, растугцими на бесконечности не быстрее, чем экспонента с линейным показателем.
(Подробнее о свойсгвах решений линейных уравненвй с постоянными коэффициентами см. вып. 3.) где прямая х=а проходит правее всех особых точек подыптегральной функции из (8.96), Так как функция (8,94) представляет собой отношение двух полиномов, то ее особыми то!кэмп могут бьыь лишь пули знаменателя Р„(р), при !ем все они являклтся полюсами. Кроме того, при !)0 подыптегральпая функция из (8.96), о!евпдно, удовлетворяет условиям леммы гКордапа в левой полуплоскоств Мер~ а.
Поэтому % з! ргшг!ник задач для линсиных дно ьш снцнальных ю лвнкнип 248 Если все нули р; полинома Р„(р) являются простыми, то, пред- Л сгавнв его в виде произведения Р„(р)=ааЦ(р р,), из формулы !' =- ! (8.97) получим л тра(!) = ~~ отел, (8.98) где рь (л!) ! — и ал Д (л; — рг) (8.99) пи= г ! Если пули р! полинома Р„(р) явгиются кратшгми, то разложение т полинотга имеет вид Р„(р) = ааЦ(р — р!)аг, где а! — краса!ость соотг! л! ветствующего нуля, причем ~'а,=л. В этом случае, пользуясь праг=! видом вычисления вычета в полюсе порядка уг) 1 ~ вычисляя производную от произведения по форт!у!ге Лейбннпа, получаем Г!! ф (! ) — 'У' гуи (!) ел,' !=! (8.100) где полиномы гул!(1) имеют вид гул! (!) = !ге.
гп! ! +(гт, и! ' +..., (га,.— г, и, (8 101) причем коэффишгенты (гт „; вычисляются по формуле Рл (л) ! !а! т! (а! — т — 1)! дрт (8909) ! — гн а ао П(р — р;) ' л=-л; П р н м е р 1. Решить задачу !(ошя у!"! -Еау" 8 у = о, д (о) =у (о) =м" (о) =о, у" (О) = !.
*) О характеристическом уравнении см. выи, 3, стр. !07. Отзгетнтг, что пули р; полипома Ри(р) совпадают с нулямн характерпсггшеского ьшогочлена для уравнения (8.90). 11оэтому формулы (8.98) п (8.100) да!от представление каждого из частных реп!енин уравнения (8.90), удовлетворяющих начальоым уст!овнам (8.91). через частные решения уравнения (8.90), полученные с помощью характеристического уравнения е).
244 ОснОВные пОнятия ОпеРдцпонного исчисления (гл. з Очевидно, решением задачи является функцсся фз(с), которая может быть найдена по формуле (8.96): х — гю Подынтегральная функция в (8.103) имеет две особые точки рь э=-с с, являющиеся полюсами второго порядка. Г!оэтому у(С)= ~ ерс . „~ + - (еР' —. ~ = (Мпг — Ссозг). (8.104) ор (р+с)а Р=-с йр (Р— С)с Р=- — с 2 Перейдем теперь к решению задачи Коши с нулевыми на шльпымн условияъси для неоднородного уравнения (8,88): (. (у (()! = у (().
В силу нулевых начальных условий, перейдя к изображеннязс а) У(р) =.='-у(С), Р(р) =.' у (С), получим У(р) Ра (р) = Р (р), откуда У(р) = —. Р (Р) (8.10о) 1 Р (р) Так ьак функция У(р) является изоораженнем, то ее оригинал в силу теоремы 8.3 может быть найден с помощью интеграла й(еллигса. Однако в данном случае можно обойгись без вычисления этого ицтегРала.
Действительно, согласно (8.9О) фУнкцпЯ р ' пРедсгаплиет и (Р) собой изображение функьцш фа, (с) — решения задачи Кошц дсщ однородного уравнения (8.90) с начальнымп условиями специального аида: эфес~ с (О) = б„т / = О, 1,..., и — 1. Поэтому по теореме о сверпсе нз (8.10о) получим У(Р) =,-' У (С) = — ф„с (с — т) Г'(т) сст. 1 Р ио ) т) Заметим, что для существования изображения Г (р) правой части уравнения (8.88)„функции ((с), во многих случаях несущественно поведение этой функции прн С вЂ” о .
действительно, нас часто интересует решение уравнения (8.88) лишь на ограниченном отрезке времени О -.:- С ж' Т, которое полностью определяется заданием функцна ) (С) па этом отрезке и не зависит от поведения функции ) 00 при с) Т. Поэтому мы можем изменять значения фуккцин с'(с) при С) Т как угодно, лишь бы условия существования изображения Т(р) функции ) (с) были вьсполвеаы, например, можно положкть ) (с)=='-О прн с ) т.
(Подчеркнем, что для определения изображения Г (р) функция ) (С) должна быть задана на всем бесконечном промежутке О ' С . со.) Прн этом мы, кояечно, будем получать различные изображения, однако их орвгнналы, естественно, совпадают при С. Т. Следует иметь в виду, что указанное положение относится не только к случаю уравнения (8.88], но и ко многпм другим физическим задачам, в которых решение ищется на огранссченнотс промежутке измененпя времени, 1 з1 ившвнип задач для лиивнных ди ьэгигнцилльиых г лвншсип 245 Функция фл д(с) часго пазываегся функцией единичного точечного источника для уравнения (8.90) и обозначается д(С), Приняв зто обозначение, перепишем решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями для уравнения (8.88) в виде с у(1) =- ~ и(1 — т) 7(т) с(т.
1 о (8.1 06) Формула (8.106) носи г название интеграла Дсогамеля «). П р и м е р 2. Решить задачу Коши у" +у=зспт, у(0)=у'(0)=0. Найдем функцию я(1): д" + д= О, и(О) = О, 8' (О) =1. Для ее изображения 0(р) по формуле (8.9о) получим 1 П(р)» р Отсюда с помосцью таблицы изображений находим 0(р) =,' гйп1 и тем самым ! у(1) = ~ зсп(1 — т)з!птс(т=-- (з!п1 — (соз1). ! 2 с дополнительными условиями и (х, 0) = О, и (О, 1) = с) (1), (8.108) где с7(1) — заданная фушсция времени, которую мы будем предполагать удовлетворяющей условиям существования преобразования Лапласа.
Предположим, что искомое решение и(х, с), а также его про- ») О применении интеграла Дюгамсля з задачах математической физики см. также Л. Н. Т их онов, А. с!с. С а марс ки й, Уравнения математической физики, «Наука», 1972. 2. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим применение оперзппонпого месода при решен!и краевых задач для уравнения геплопроводности па примере распространения краевого режима по полу- бесконечному стержню.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
