А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В силу условия (51) для икте>.ралов по кривым )>т и уя инее~ место опенка ~ тр (г) е>и ы> бг = е'> сн> 0 (е - "А) (54) рассмотрим иитеграл ет (Л) = ~ гр (г) е'Г Ы> с>'». (бб) Введем иа кривой Л патуральиыи параме>р ч) в, причем будем считать, что точке », соответствует значение з = О. Уравнение кривая ь запишем в виде г=»(в). Произведя в интеграле (5о) замену *) Повятие иатуральиого параметра см. вып, 1, стр. 359, где л:ривая С целиком лежит в области э, причелс ее начальная (гт) п конечная (»а) >почки расположена> в различных отрицательных секторах точки .„п>ак, что пх лгожно соединить с кривой й крпвымп т> и )>я конечной длины, на которых функция п(х, у) удовлетворяет условию (51).
То»да для всех Л == ) ь имсе>п .кесто аспмптот>иеская фор.пула 262 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 переменной интегрирования, положив з=я(5), получим ь р,(Л) ела>г,, 5,> ~,р(5)еьио>~.',у аа — а (56) где Ф (5) = р (. (5Н, Ь (5) = [х (5), з (5)Ъ 0(а(со, 0(>>(со. Интеграл (56) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, причем функция Ь>(5) достигает своего максимального значения в точке 5 = О, >>5ГГ а †, ( О, г>5 Тогда согласно (28) (Л) = е'» > Ь ' о) г(>(0) з'(О) + О (Л - зд)(, (о7) и остается выразить входящее в (57) величины через значения функции г» (з) и 7 (з) в точке «5. Очевидно, Ф (0) = гр (за).
так как гн>г > — =О, то 055 ~с — = 7" (а) (-„.- > + К' (:) — —,, (58) где Оа=аг87" (з,), а значение гл определяется направлением интегриа""Ь» > г>г ~ ро в а н и я . Заметим, что „ , ~ ( 0 и ~ — ~ = 1 . Тогда форму- ~5 5 > и а5 >5=0 лу (59) можно записа>ь в виде гГ50 — „,, (,,= — ~У" (за) ~. Итак, окончательно получим гг(Л) Еа> >гг> (1 ' ф (5 ) 5>ем+ Ь> (Л 5>аф Л,у-( )> 5 Отсюда в силу (44) получим 51 =г' ( )~>„,>, (50) Так как в окрестности точки 5 с точностью до величин высшего порядка малости имеет место соотношение з — 55 = зе>в, то г>г > — =е>ч, и остается определить направление касательнов к кри- 5>515=5 вой Ь в точке зв.
Но по самому способу построения кривой Ь каса- тельная к этой кривоп в точке за совпадает с направлением наибыст- рейшего изменения функции п(х, у), Тогда из (50) для угла гра, получим формулу гр„, = — "+л>п, в=О, 1, (60) метод пеРВВАЛА где значение угла ф дается формулой (60). Знак главного члена в правой части (62) определяется выбором значения т н зависит от направления интегрироващи вдоль кривой С. Сделаем ряд замечаний по поводу доказанной теоремы. 3 а м е ч а н н е 1, Из доказанной теоремы следует, что если обе граничные точки гд и гз кривой интегрирования С лежаг в одном н том же отрицательном секторе седловой точки -„, то для интеграла (1) имеет мегпо оценка (54).
3 а и е ч а и и е 2. В приложениях особенно часто приходится рассматривать интегралы типа (1) в неограниченной области с кривой интегрирования С, уходящей в бесконечность. Из проведенных рассмотрений очевидно, что в атом случае для сходимосгн интеграла (1) необходимо, чдобы кривая интегрирования,уходглла в бесконечность в отрицательных секгорах седловой точки г,. При эдом теорема 2 и формула (53) сохраняют силу.
За меча н не 3. Теорема 2 была доказана в предположении, что точка -, являегся единственной седловой точкой поверхности функции п(х, у) в области Р и г'"(г„) К= О. Если этн предположения не выполнены, то могуг быть проведены аналогичные рассмотрения, которые приводят к асимптогнческим разложениям интеграла (1), подобным формуле (53). Однако когда в области .У имеется несколько седловых точек, то выбор контура интегрирования требует специального исследования. Если контур интегрирования проходит через несколько седловых гочек, то асимптотическое разложение интеграла (1) можег содержать несколько слагаемых типа перво~о члена (53), имеющих один и тот же порядок, что может существенно изменить окончательный результаг. рассмотрим ряд примеров прилгенения полученных результатов.
П р и ме р 2. Лси.«си»пот««ческая формула для функции Ланкеля. Как известно «), функция Хагдкеля первого рода гт',"(х) может быть представлена с помощью интеграла 1Т'1 (х) ~ ег»»ы» — г»»с(г 1 (63) ') См. Л. Н. Т и ханов, Л. А. Сама р с к и й, Уравнения математической фиалки, «Наука», 1972. где контур интегрирования С на комплексной плоскости г переходит и и и 3 из полуполосы — -< Ке г < —, 1щ г > О в полуполосу — (Кег< — п, 2 2' 2 2 1щг(О через точку г,=д-(рис.1).Эта точка являетсяседловой точкой функции 1'(г)=да!пг в полосе О<йег(м, так как г" — 1 =О, д2у у'"~ — ~= — д„-~ О, Указзнные выше полуполосы представляют собой 121 264 ЛРилОжение г отрицательные се!стары этой седловой точки, что, в частности, обеспечивает сходнмосгь данного несобственного ннтегра.ча.
Найдем асимптотическое значение этого интеграла при больших положительных значениях х )) ,'ч~. Ланный интеграл, где 7"(е) =!зги =, ср(>е) =-е "', очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 2. Поэтому для его вычисления может быть применен метод перевала. Так как 7"(е) = и 3 и=17 я= ге = — !созе, то в полосе — - <це >< — и 2 2 е ~ находится лишь одна седловая точка х,= — . При этом г"(гв) — г, 7' ( а) — О, .>г (ез)1=1 6о=-2-. Учитывая направление интегрирования, из (50) получим Рис, 1. и сра= — . Отметим, что это направление О— совпадает с биссектрисой отрицателыгого сектора седловой точки и аз= с .
Окончательно на основании формулы (53) получим 2' .~г>е 2 ~ >си — -зб — -, ('! (64) з,/,! Р„(соз О) = —, ) с(ср, 0 < 6 < и. (65) а)'2 — а 1'созга- оза Как легко видеть, подынгегральная функция имеет интегрируемую особенность при ср = +-О. Нашей целью является получение асимптопшеского выраженяя для функции о„(созВ) при больших значениях индекса гг. Расслютрим аналитическое продолжение подынтегральной ") Определение полииомов Лежандра и их основные свойства см. А.
Н. Т их о и о в, А. А. С а м а р с к н й, Уравнения математической физики, >Наука>, ! 972. *>) См. Н. Н. Л е б е де в, Специальные функции и их приложения, Гостехиздат, 1953, стр. 76. Формула (64) находит весьма широкое применение при решении различных задач, в которых приходится использовать асимптотическне представления цилиндрических функций. П р и и е р 3. Аеггмптотггчесиая формула для полиномоа Лез>сандра и).
Будем исходить из интегрального представления "') полиномов Лежандра 51етод пеРеВАлА функции на комплексную плоскость з =х+ ту: е( 11 лж — е тп(2) =- Р'сов а — сова ' Функция ю является аналитической в верхней полугвлоскости )гп )О. Поэтому интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в верхней полуплоскостп, от этой функции равен пулю. Выберем зам- Р кнутый контур и) Г, состоящий из отрезка (у =О, — В.=== х:.В) деи- -Ве(Н д + (Н ствпгельной осп, вер1икзлыгых отрезков(х=- — В, О у= Н), (х=-В, О.=.=у - Н), нараллелы1ых анимой оси, и замыкающего горизонтального отрезка (у=11 — В х —.
В) (рис. 2). Как легко видеть, на последнем отрезке модуль — -, -,',1н -вт ~гмН И,П г1'з/ , 'ц',' = ' (67) 1)' сов (х+1Н) — сов 0', Рис. 2, (66) экспонепциальпо стремится к нулю прн Н вЂ” со. Поэтому, перейдя к пределу при Н='сю, получим в 1 2 ) г)с( = 11 -'- 1а, (68) -'в )' сов ср — сов 0 где 1 '. о 1 соз (0 — ту) —: 5 0 (69) 1 ("-' ~ т', (7 О) о ) соз(0+ту) — сосо 7(ля приближенного вычисления интегралов 11 н 15 при больпшх значениях и применим метод перевала.
Рассмотрим интеграл 1, (1, вычисляется аналогично). Положим у=та и обозначим л+'/,=Л. Тогда из (69) получим е 1' т сГт твг(Л) = — (еов15 — — 2 ~ )' со5 (0 — 16) — со50 о (71) ') При этом особые точки а = ес 0 обходим по дугам окружностей беско. вечно малого радиуса, который затем устремляем к нулю. 266 пииложвние ! (7 2) Поэтому по формуле (28), в которой надо ввести дополнительный ! множитель , так как точка 10 совпадает с граничной точкой интервала интегрирования, получим Ч'())=1/ —, е а+0().— згз), )'з1п В откуда 1' л 1', , п+ — ', з1п9 2) Аналогично 1 .Л и уз= — 1е ' 2 ' )1 г', е ' +0(н — з:з) (7-) ~и+ — 1в1п 9 1 '1 2г 'Тогда после простых преобразований, у пя, что 1 отлиу'. +,'- /1 чается от 1г,' — на величину порядка 0(л — зГз), получим окончательную асимптотическую формулу для многочленов Лежандра, справедливую при и)) 1 и 0< 6 <гг: (9)~'Всов+2941+о()1(70) Интеграл (71), очевидно, удовлетворяет всем условиям теоремы 1, причем 1(1)= — Вз и точка 1 = О, в которой функция 1(1) достигает своего максимального значения Д(0)=0, совпадает с граничнои точкой интервала интегрирования.
При этом г""(0)= — 2, а — ! т гр (10) = !1гп г 0 К сов( — Иг) — созз 1 ип В ПРИЛОЖЕНИЕ 2 МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА Данный метод находит гнирокое применение при решении некоторых интегральных урзвнепий и различных краевых задач математической физики с помощью интегральных преобразований Лапласа, Фурье и ряда других. Первоначально зтот метод был применен в совместной работе Н. Винера и 3. Хопфа (1931 г.) к решению интегральных уравнений с ядром, звеневшим от разности аргументов, в случае полубесконечного промежутка и (х) = ). $ о(х — а) и (а) а а + у" (х). В дальнейшем уравнения подобного вида рассматривались В. А.
Фоком в), внесшим большой вклад в развитие обших методов их решения. Общий метод решения функциональных уравнений, получивший название метода Винера — Хопфа или метода факторизации, был с успехом использован при решении многих задач дифракцин и теории упругости, краевых задач для уравнения теплопроводпостн, интегральных уравнений теории переноса излучения (так называемая проблема Милна) и многих других задач математической физики «в).
Не ставя своей целью стро~ое математическое обоснование метода Винера— Хопфа, мы изложим его основную идею ца примерах решения ряда практически важных задач. 1. Вводные замечания. Начнем с нанодящих соображений, иллюстрирующих применение методов интегральных преобразований прн решении интегральных уравнений. Рассмотрим интегральное уравнение вида и (х) = Л ~ э (х — з) и (а) г(а + у'(х) *) В. А.
Ф о к, О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Метем. сборник 14 (1944), стр. 1. "") Большое количество примеров применения метода Винера — Хопфа можно найти в книге Б. Нобла, где приведена достаточно подробная библиография. (Б. Н о б л, Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962.) ПРИЛОЖЕНИЕ З с ядром о(х — з), зависящим ог разности аргументов. Мы не будем здесь исследова~ь условий разрешимости этого уравнения и проводить обоснование методов его решения, а лишь укажем, что для действительных значений 7 прн выполнении условий (2) где А — произвольное фиксированное число, уравнение (1) имеет единственное решение а) и(х)„ интегрируемое с квадратом в бесконечном промежутке ~ !гг(х) зг!х(со. Будем считать, что существуют преобразования Фурье ""э) всех функций, входящих в уравнение (1): и(7г) = —,! ~ гг (х) ага» ггх, )'о„-т ., (4) И(7г) = — ~ о(!) е™г(Е, ! 2п и го(/г) = — ~ у(х) егьа г(х.
) 2п, (6) Тогда, умножив (1) на —.. егьа и проинтегрировав по бесконечному ! 2л промежутку, получим (7(7г) =7г(7г) + —. ~ егьлгйе ~ о(х — э)и (э)ага=го(!г)+У(7г). (7) !2п. Изменив в последнем слагземом порядок интегрирования, представив! этог интеграл в виде ! (/г) = —. !) и (э) гул ~ е™то (х — з) г(х. 1 2п (8) Сделаем замену переменной интегрирования, положив х — ь =-б Тогда «] Г!одробпо этот вопрос иапо>хогг, аапрпмер, в кнл В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
