А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(й)т (/г)+Т (й) — "" ,=О. (64) Если последнее слагаемое в (64) можно представить в виде ()В и '()+ с (й) (65) где функции О (и) и // (/г) являются аиалимгческими в полуплоскосгях 1шй)т и !щ/г(т соответсгвеиио, и все три полосы т ( (1гп/г(т, т' (!щ/г(т+ и т" (1гпй(т" имеют общую часть — полосу т' (!щ/г(т", то в этой полосе имеет месго фуикпиопзльпое уравнение /. (/г) Чг (/г) + // (/г) = †/. (/г)'Р (й) — 0 (й). (66) Левая часгь (66) представляет собой фуишгиго, аиачигпческую в полу- плоскости т" ( 1гп /г, правая — функцию, аналитическую и области !щй(т.";.. Из равенства этих фуикпип в полосе т" (!гп/г(т) следует, что существует едииствепиая пелая функция Р(/г), совпадающая соогвегсгвеиио с левой и правой часгями (66) в областях их аналитичности. Если все функции, входящие в правые части (63) и (бо), растут иа бескоиечпости в своих обласгях аиалитичиосги ие быстрее, чем /гч ', то из условия Чги (/г) — ь 0 при ' ,й ' -ь со следует, что Р (/г) является полипомом Р„(й) степени ие выше щ Теьг самым равенства ~" (й)=-"" '-"' 6 66 (67) — /'„Р) — Г/ 66 "/.г (л) (68) Р(/г) =Рг (/г)+Р (й), (69) где функция Р (/г) — аналггтггческая в иолуллосггослги 1гп /г ) т, а функция Г (/г) — в иолунлоскосгии !гп/г(т,.
Л о к а з а т е .ч ь с т в о. Рассмотрим произвольную точку йм лежапгую в даипоп полосе, и построим прямоугольник адсд!, содержащий точку /гв, внутри и ограипчеииып отрезками прямых 1щ /г =т, !ш/г = определяют искомые фуикгщи с то шостью до постояииых. Последние могут был папдеиы из допоггггггтельпгах условий задачи. Итак, применение метода Винера — Хопфа осиовапо па представлениях (63) и (бо). Возможность этих представлении обеспечивается следугогдиаги леммзми.
Лемма /. Пуспгь функция Р(/г) яв,гяегися аналилгической в полосе т (1ш /г(т, приче.и в этой полосе Р(/г) равномерно стремиглся и нулю при 1/г ', -ь оо. Тогда в данной полосе возможно представление 280 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 = т,, не7г= — А, Кегг=.4, где т «т' (т', (т (рис. 2). По формуле Коши Л РМ Л -'- гг' — Л -,'гг А;- ге — Л вЂ”; и' Лг Ре ~г Перейдем в (70) к пределу при А — РОО. Так как по условгию леммы е(й) равномерно стремится к нулю при: 7г -ьОО, то предел второго и четвертого слагаемых в правой части (70) равен нулю, и мы полу~Им (71) где ~ -1- гг' —.х — ~ г' (72) ') См. стр. 52, (7гс) = 1 г г (") 2т .1 ь — лг (73) —.Π— ', гг Интегралы (72) и (73), как интегралы, зависяпгне от параметра е), определяют аггалитчгческие функции комплексной переменной 7г, прн условии, по точка й„не лежит па контуре игпегряроваиия.
В частности, Г,(7гв) янгт т', с ляется аналитической функцией в полуплоскостн * гсв 1ш7го)т', а с (/го) — в полуплоскосги !гп йв('т' . В силу произиольности выборз точки йе и прямых т' и т.~ соотношения (71) †(73) и доказывают лемму. Замечание 1. ЗалгеРнс. 2. тим, что из сходимостн ин- тегралов (72) и (73) следует ограниченность построенных таким образом функций г'е(й) и го (л) при ',7г и-иск> в данной полосе. Лемма л. Пусгпь функция сг" (/г) является иналгггпической и отличной от нуля в полосе т (1ш7г(т, кричев Ф()г) равно- 231 метод ВггнеРА — хОПФА мерно в этой пологе апре.ипгпгя ь единице прп : Л ! -~.
Оо. Тогда в даллас) пологе кмеегп лсегпго предггпавлелпе Ф(й) = Ф (/г) Ф (й), еде фгснкг/гггг Ф,(/г) и Ф (/г) являюгпгя аналгггггггчегпгг.сггг и отлпчнылси огп нуля гоогпвегпгтвенно в гголугглоскосгггягс 1т /г ) т п ! гп /г ч- т е Доказательство. Рассмотрим функцию Г(й)=1п Ф(/г), которая, очевидно, удовлетворяет всем условиям леммы 1. Ноэтоагу для функпии Г(/г) возможно представление (71) — (73). Полагая Ф (/г)=ехр/сГ,(/г)), Ф (/г)=ехр (Г (/г)), (73) где функции Г~(й) я Г (/г) определены формулами (72), (73), полу лаем 1п Ф (й) = Г, (й), !п Ф (/г) = Г (/г).
(76) Тогда формула (71) дает 1пФ(й)=1п Ф (/г)+1пФ (/г), (77) Г(/г)=1сг! ), Ф(/г), П (/ / )сп (78) где сс; — кратность нулей йй /сг — полное число пулей с учетом нх кратности; положительная постоянная Ь ) ' т ь . т,' выбирается пз условия, чтобы функция, стоящая под знаком логарифма, пе имела дополнительных нулей в полосе т (1тй(т,. Последняя функция, очевидно, стремится на бесконе шости к единице.
Построенная тзким образом функция Г(й) по-прежнему удовлетворяет всем тсловням леммы 1. Доказанные леммы и определяют возможность представлении (63), (6о), составляющих основу метода Винера — Хопфа. ст)ы рассмотрели применение метода Винера — Хопфа для решения функционального уравнения (62). Легко видеть, что к этому уравнению сводггтся и неоднородное цнтегральное уравнение на полубескопечном промежутке с ядром, зависящим от разности откуда и следует соотношение (74). Так как функции /г, (/г) и Г (/г), сот.часно лемме 1, являются аналитическими в полуплоскостях 1щ /г)т и 1пгй(т соответственно, то и функции Ф (/г) и Ф (/г), определенные по формулам (75), буду~ обладзть гребуемыми своиствами.
Лемма доказана. 3 а и е ч а н и е 2, Возможность факторизации (74) сохраняется в том случае, когда функция Ф (/г) имеет конечное число нулей /гс в полосе т (1гп/г(те Для доказательства леммы 2 в этом случае достаточно ввести вспомогательную функцию ПРИЛОЖЕНИЕ 2 аргументов: и (х) = Х ~ и (х — а) и (а) г)а + у (х). о (79) Будем предполагать, что ядро уравнения (79) и функция Дх) удовлетворяют условиям (43), и будем искать решение уравнения (79), удовлетворяющее условию *) ', гг (х)! ~ г14гегга при х«ОО (ц <т ). (80) Тогда, проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям при выводе функционального уравнения (47) для однородного интегрального уравнения, получаем, что в случае уравнения (79) в полосе !гч '1шуг(т, должно удовлетворяться функциональное уравнение У (lг)+17 (уг)=Цг 2п Ь'()г)(7 (Уг)+Г,(й)+)г (А) (81) ~-( ) и,(7)+(7 (7)-Е(~) =О, (82) или где Е(г))=1 — 72н2! ®.
(83) Уравнение (82) являетск частным случаем уравнения (62). Функция Е(уг) в полосе т (1щуг(т является аналитической и равномерно стремится к единице при !7г1-« ОО, так как ! !г(уг)! — 0 при 'уг! †« со. Если, кроме того, функция (г(уг) имеет конечное число нулей в этои полосе, го все условия леммы 2 выполнены и функцию Е(уг) можно представить в виде Е (Уг) = =, Е (гг) Е (й)' (84) где 1.е(уг) является аналитической функцией в верхней полуплоскости !шус т, а 1. (7г) — в нижней полуплоскости (т/гч..т. Тогда уравнение (82) принимает вид 1 (7) (7еИ)+Е (г1) (7 (1г) — Е ЯЕ Я вЂ” Ее®Е (Ц=6.
(8о) ГРЯД (А)=0е(А)+О (уг), (86) на сумму фупкцип В ()г) и В (уг), являющихся аналитическилги в полуплоскостях 1т)г))ь и !а 1г(т; соответственно. ') Мы опять не останавливаемся на обосновании существования решения уравнения (79), удовлетворяющего условию (80). Для приведения последнего уравнения к виду (66) достаточно разло- жить последнее слагаемое: 283 МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА Ег (7г) = ", Ег. (7г) — . (87) Е, (Уг) е (й) Гамо решение может быть получено из (87) с помощью формул (3!) и (35) обрагного преобразования Фурье. 5.
Задачи, приводящие к интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов. 5.В Вывод уравнения 7г!гглна. !( интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов, сводигся большое число физических задач. В качестве первого примера укажем классическую проблему Милна, описывающую процесс переноса нейтронов (или излучения) через вегцесгво. Пусть в полупространстве х «О, заполненном однородным вегце. ством, плотность которого определяется числом л, частиц в единице обьема, распространяется поток нейтронов.
Будем считать, что частицы вещества являются тяжелыми атомами, рассеивающими нейтроны так, что абсолютная величина скорости нейтронов остается постоянноя, а меняется лишь ее направление. Рассмотрим стационарнып процесс и предположим, что все неитроны ямеюг одну и ту же абсолютную величину скорости пе = 1 и плотность их распределения зависит лишь от одной координагы х.
Введем фушщию 7'(х,р), харакгеризующую плотность нейтронов в сечении х, скорость которых составляег с положительным направлением оси х угол 8, где р = сов 8 "). Число ней.тронов в единице обьема в данном сечении, направление скорости которых лежит в пределах (р, р+г!р), определяется величиной у(х, р) г(р. Полная плогность нейтронов р(х) в данном сечении равна р(х)= $ Г(х, р)г!!А. — ! (88) ") Очевидно, — 1:=р(1 при 0( В=а. Для обоснования возможности такого представления заметим, что в силу условия (43) функция Е,(7г) является аналитической в верхнея полуплоскости !ш 1г «т и равномерно стремигся к нулю при! 7г ) — «ОО. Функция Е (7г) яяляегся аналитической в нижней полуплоскосги 1гп !а~ты и по способу ее построения в силу леммы 2 и замечания к лемме 1 можно так провести факгоризацию (84), чтобы Е (л) оставалась ограниченной в полосе т ~ !ш lг ( т«при, /г / — «со.
Отсюда следует, что для функции В (/г) Е (Уг) в полосе т (!ш/г ц т выполнены все условия леммы 1, что и достатошю для обоснования представления (86). Проведенные рассмотрения позволяют при дополнительных условиях, что функции Ее (7г) растут на бесконечносги не быстрее, чем 7г", предсгавить преобразования Фурье решения неоднородного интегрального уравнения (79) в виде 284 приложение 2 Нашей ближайшей мелью является вывод уравнения для функпии распределения г(х, р). Для этого составим соотношение полного баланов числа нейтронов, имеющих направление скорости в интервале (р, р + сгр) и находящихся в слое между сечениями х и х + с!х. В силу стзпионарности процессз поток нейтронов, выходящих из данного слоя р|'(х+ огх, р) ар — р г" (х, р) ггр, (89) а чис.чо нейтронов, приобретших в результате рассеяния скорость в требуемом направлении, равно ! — гера л,Нх ~ у'(х, р') г(р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
