А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В настоящем приложении дается краткий обзор основ теории функций многих комплексных переменных. 1. Основные определении. Ьудем рассматривать гтг-мерное комплексное пространство С~, точки которого « = («„«и ..., «к) предстзвляют собой упорядоченную совокупность комплексных переменных «, = х„+ гу». Комплексное пространство Сгг можно интерпретировать как обычное евклидова пространство действительных переменных хь уи ..., хм, рм размерности 2гч'.
Поэтому понятия открытой н ззмкнутой области, внутренней, внешней н граничной точки, 6-окрестности гг т, д, вводятся так же, как и в теории функций многих действительных переменных "), Так, 6-окреспгостью точки «" будем называть множество С (6, «") точек е=СЯ, удовлетворяющих условию ~«» — «$'(6» 1=1, 2...
гьг, 1Тод символом 6=(би ..., 6м) мы понимаем упорядоченную совокупношн действительных чисел 6») О. Множесгво точек «ы Ск, удовлетворяющих условию ! «» — «» ( ( г» (г» ) О) называется полшгругом К(г, «~) радиуса г =(ги ..., гп) с центром в точке «»=(«г, ..., «я). Функпггя пг=)(«)=((«ь ..., «гг) лгяогггх комплексных переменных « =(«и ..., «л), заданлал ~а мпожесгпее Е с: Сп, определлепгся законом, сгггавяпггглг в соответствие каждолгу значению «е— : Е определенное комплексное число ю е= С'.
Так как комплексное число ю представляе~ собой пару действительных чисел и и о (ш=гг+гтг), то задание функции г"( ) на множестве Е~Сп есть одновременное задание на соответствующем множестве 2Дг-мерного ") Ом. вып. 2. ФС'НКПС!И МНОП1Х КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 29? евклидова пространства двух действительных функциИ п(хп у„... хл. ук) п(хь у„..., хл ук) ос 2<тс девствспельных переменных х,, у» ..., хль ун лг( )=п(х» ° ° . ун)+(гв(хм ° ук) Ф>нс<снссс п(хм ..., Ун) и п(хи ..., Ун) называютси соответспсеино деисгвпгельпоя и мнимой частями функции ?(«). Пчевсшпо, что ряд поняисп и свопсгв фупкшсй многих депстяичельпссх перемепньсх мои<ег быть перенесен и на фушотпи мпопсх комплексных перес<сивых.
Так, фуш<ция Т(«), залашсая на множестве Е с:. Ст, непрерывна в точке «" ~ Е, по совокушюстп переменных ..., «н, если для любого е ) О можно указать <акое 6 = — (би ... ..., 6н), что для всех «я=С(6, «') имеет место неравенство )Д«) с («о) ~ ( е (2) В дальней<нем функцию С'(«), непрерывную по совокупносси переменных «1, ..., «?О мы будем просто называть непрерывной фуньсцссей. Если функшся Т(«) непрерывна в каждой топ<с «е=Е, то опа называется нецрерьсвнои на множестве Е.
Справедлива Теорема й Неойходсслсьс.сс сс доеслаточныли угловпеж нелрерывногти с<сукк<с<с<с,?(«) = п(хт, ..., ук)+ си(хс, ..., ун) на лсножестве Ес Сн явллетгн нелрерывногть по совокупности лерелсенных депгтвптегьных функ<(ссйс п(хс, ..., ун) и п(лс, ..., ук) 2<<с деаствнтельньсх нерешенных на гоотвепггтвуюсйели .инолкегтве евк:гпдоеа пространства разлсерноетп 21<<. Свойства непрерывных функции одной комплексной переменпоп непосредственно переносятся на случай многих комплексных переменных. Так, равномерно сходяшнпся в обласги 0 ряд непрерывных функция многих комплексных переменных сходится к непрерывноп функции. 2.
Понятие аналитической функции многих комплексных переменных. Так же как и в случае одной комплексноп переыенноп в .<еории функций многих комплексных иеременшах одним из основных понятий является понятие аналитической функции. Пусть в области 0 сСн задана функция ю=-?'( ) многих комплексных переменных. Если мы фиксируем значения переменных «(, ... «) 1, «с '.
с . ° °, «и, ТО пол>'чнм функцию .Тс(«с)=Т(«"„..., «11 „«ь «,' 1, ..., «,"ч) одной коьшлекСнОП переменной ь заданную в некосарОП области О, комплексной плоскости «ь Пусть при любых фиксированных значениях «ь ..., «с 1, «ссс, ..., «',ч каждая функция Л («;) (1=1, 2, ... ?<с) являешься анашыическоп функцией комплексной переменноя «, е= 0ь В этом случае функцию Т(«) будем называть аналитической по каждой пере«пенной в области О. Производные ?;(;) функции 298 приложение з гг(г,) по переменной г; будем называть частнымн производными функд/ ции г(г) и обозначать ~>, Очевидно, дгг д~ ди ди дгг дх; дхр причем для ннх выполняются условия Коши — Римана ди ди ду; дх;' ди ди дхг ду Введем теперь основное определение: Функцию > гг) хчноепх ко.иплексных пере.иенных г = (гг,..., гх) буое.и называть аналитической а) в обгасгпгг О, ес.гп в втой об.гас»»ш функция Г гг) аналиптчна по каждо»а переленной ь а все ее частные производные -- непрерывны, дг' дг; Лналитические функции многих комплексных переменных обладают рядом залгечательных свойств, подобных свойствам аналитической функции одной комплексной переменной.
Ниже будет дан крапгий обзор этих свойств, причем для просгогы изгшжения будем рзссмагривать с>гучай двух независимых переменных. Для большего числа переменных все рассужден»и сохраняют силу. 3. Формула Коши. Нусгь 1(г„гз) является аналитической функцией в области 0 =Од к0г, причем области 0г и 0 являются односвязными. Возьмем в областях О, и 0а произвольные замкнутые контуры С, и С, соответственно и рассмотрим повгорный интеграл с, с где гг и гг — произвольные точки, лежащие внутри контуров С, и Са соответственно. ») Так жс как и в случае одной комплексной перемспвои, мы с целью оолегчеиия последующих доказательств включили в определение аналитической функции многих комплексных переменных лишнее условие непрерывности часгных производных, что, однако, ие су»кает рассматриваемого класса функции, как зто следует из так называемой теоремы Гаргогса (см., например, В.
С, В л адим иров, Методы теории функций многих комплексных переменных, хНа>ка», ) 964). дг )(г„..., г«о г;+Лг«гыг, ..., гл) — 1>го ", гх) цш "' '- ' " "'" ' '"'', ~В) дгг Лгг ! Частные производные - — могут быть вырзжены герез частные продг дг; взводные функций и(хг... ун) и о(хг... ун): Функции а!ногих комПлексных переменных Подынтегральная функция в (6) непрерывна по совокупности переменных, что является достаточным условием для возможноств изменения порядка интегрирования в данном повторном интеграле "). Следовательно, ',1 (г,— Ь1) (г,— "2) (6') с, с, так как функция у(ст, ьв) аналитична по каждой переменной, внугрешшй и1иегрзл в (б) в силу формулы Коши (!У09) равен [ й 61) ль» 2 [ (Ьь 72) (у) (21 — ь1) (72 — ' 1) (71 — ь1) С, С, С, по можно переписать в виде (9) Аналогично в случае АГ переменных имеет место формула сл1 !1 (2» — Ь») (10) где то1ки г„лежат внутри замкнутых контуров С», принадлежащих односвязным областям О», и функция Дг) является аналитичной в области 0 = 01 Х...
Х 0м. Формулы (9) и (10) и представляю» собой обобщения формулы Коши (1.69) на случай многих комплекс- НЫХ ПЕРЕМЕННЬ1Х. Из этих формул можно получить ряд взжных свойств аналитической функции многих комплексных переменных. В частности, как и и случае одной комплексной переменной с помощью формулы (9) можно показать, что аналитическая функция двух комплексных переменных имеет частные производные всех порядков, для которых справедливы выражения дл™1(г„гД и!ж! ! ( )((1 (2) д,а дг да а 4п» д 91 '! (г — ~1)л 1(г „'ар»»1 ' Аналогично устанавливается справедливость принципа максимума модуля и т. д.
Соответствующие результаты получак1тся из формулы (1О) для апалипзческой функции многих комплексных переменных. *) См. вып. 2. Воспользовавшись еще раз формулой Коши, получим окончательно 1'= ~ г(~1 ~ '-' =', г[ьа=( — 4п )Дгт, -,), (8) 1 1(1 Ь» зоо ПРИЛОЖЕНИЕ 3 4. Степенные ряды. В случае двух независимых переменных степенным рядом назовем выражение ~~ С„,„(»г — а,)' («, — а,)'", (12) и=-О ггг=-О где С,, ап а,— заданные комплексные числа. Имеет место утверждение, аналогичное теореме Абеля (теорема 2я). Теорема 2.
Если рнд (12) сходится абсолютно в точке »О =(»г' т' аь»а,— е а,), то он абсолюпгно сходится внутри полпгсру«а К(га, а) радиусп г~=(~ »г — аг /, ~ »аг — аа ~~), причем в любом гголггкру«е меньпге«о радггуса ") с централа в точке а рнд гходтпсп равно. мерно, г(оказатель ство. В силу абсолютной сходимости ряда (12) в точке «' все члены ряда и этой точке равномерно ограничены. Г1оэтоьгу имеет место оценка коэффиниентов ряда (12) ~Сгь '-=:,, „'" „„м', (1з) с общей константой гИ для всех коэффициентов.
Возьмем произвольную точку « =-(»,, «а) внутри поликруга К(г', а) п положим / =-, — а,' ,= г/г /»г — а, / «,— а,' ,=- Оа»аг — аа ~, где 0(гуг(1, 0(гуас.'1. Тогда, пользуясь оценкой (13), для выбрангюй гочки » получим ! гО О гг Оэ ~~ С, (»,— а,)" (»,— аа) ~~«В ~~ г г(па!" = О=О ь=а п =-О ш — "О (14) (1 — Ч ) (1- Гг) ' ') Будем говорить, что радиус га' поликруга К (г ", а) меньше радиуса польпсРУга К (г ', ОД если ггг ( гг-", ..., г Э ( гй что и доказывает сходиагость ряда (12) в точке».
Так как» вЂ” произвольная точка поликруга К(г', а), то отсюда следует абсолютная сходнмость ряда (12) внутри К(г', а). Равномерная сходнмость ряда (12) в лгобом почикруге К(г"', а) меньшего радиуса доказывается с помощью (14) так же, как и в случае одной комплексной переменной (г.еорема 2.5). Доказанная теорема позволяет усгановить, что областью сходи- мости степенного ряда является поликруг К(Й, а) радиуса Й = (Йг, Йг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
