А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Первоначально это г метод был предложен Г. ГЕ Ватсоном н 191!) г. при исследовании задачи о дифракпии радионолн на сфере. Методом разделения переменных легко получигь аналитическое представление решения этой задачи в виде ряда по собственным фуикпиям. Однако при длине падающей волны, многим меньшей радиуса сферы, что имеет, например, место н задачах о лифракпии радиоволн иа поверхности Земли, полученный ряд сходится чрезвьшайпо медлегшо. Ватсону удалось разработать ме~од, позволяюпгий преобразовать этот медленно сходящийся ряд в другой ряд, сходящийся достаточно быстро, Этот метод и получил впоследствии название метода Ватсона.
Основная идея лгетода Ватсона необычайно проста и оспонгавается па том факте, что нри вычислении интеграла по комплексной пг.ременной с помощью теории вычетов можно, различным образом замыкая контур интегрировании, получать предсганлепие исходного нпгегра.ча в виде различных рядов.
Однако, несмотря па просготу основной идеи метода Ватсона, его реалпзаиия но многих конкретных случаях требует оольшого искусства. Проиллюстрнрусм основные положения мегода Ватсона па достаточно простых примерах'). Пусть требуется просуммировать ряд т~т, 1 (1) где а — некоторое положительное число, Заметим, что прп а'ъ1 численное сулглгггрование ряда (!) с высокой точносгыо предсгавляег собой ие совсем тривиальную задачу. рассмотрим вспомогательный ингеграл 1 а~на т' =- ..
1, а —.— ~1М 2г,1 ма+ил Мп за Х'"+ Х !2) ') Припаленные ниже примеры применения метода Ватсона были предложены С. Я. Се кар ж-Зе н ь к о и и чем, которому авторы приносят искреннюю благодарность. 307 МЕТОД ВАТСОНА где ин1егрирование производится на комплексной плоскости м по прямым Х ' и Х , параллельшам действи1ельной осн и огсгожцпм от нее па рассгоянпи г( в верхней и нижней полуплоскосгях, причем г( а (рис. 1). По прямой Х.
нн1егрпрование ведется справа налево, Рис. !. а по прямой Х вЂ” в противоположном направлении. Несобственный и1пеграл (2) являе1ся абсолю1но сходящимся, лействительно, имеет место очевидная оцепкз ~ГЛЧ 2 2 — ! гл!Тит =- иид (й) 1 лг л е- И плт=а Аналогичная оценка имеет л1есто и при 1гп т =- — 11', Итак второй сомножитель в подынтегральной функции (2) ограничен, а первый стремится к нулю, как 1/'т !', что и обеспечивае1.
абсолюп1ую сходимость интеграла (2). Покажем, что интеграл (2) равен сумме исходного ряда (!). Пос1ропм вспомогательный интеграл 1 " 1 с'"' (й) 21,! Тя-1-а' а!п пл гм по замкнутому конгуру ГА, сосгавленному из отрезков Х~~ п Хм прямых Х- н Х между точкамп Ам =,', 1А7+ ., — г!) г соо1ветственно и соединяющих их вертикальных отрезков ум(АчАч) и ум(ЛуЛу) (рпс. !).
Впугрн области, ограниченной контуром Гхь подынгегральная функция (4) имеег полюсы первого порядка в точках и„=-й (й= — О, -+ 1,...,-1.1тг). Поэтому, вычисляя интеграл (4) с ПРИ;1ОЖЕНИЕ 4 помощью теории вычетов, получим 21 ~ те+ аг в!и ла ' ~ е' Аг+аю — — ) гбач — и1тг — и1яч =- ее . (7) яп пт,,г яп л (Бег -'-11пг т) )тм с!4 (л !т т! тге Итак 1 =7, лг 1дг и исходная задача суммирования ряда (1) сводится к вы шслению шпеграла (2).
Последняя задача может быть решена опять с помощью геории вычетов. Заметим, чго подынтегральная функция в (2), кроме особых точек на действигельной оси, имеет еще два полюса в точках и=:+.1а. Для вычисления интеграла по прямой Х рассмотри~ в верхней полуплоскости замкнутый контур См, состоящий из отрезка Хм и замыкающей его дуги полуокружносги Ст. Легко видеть, что при !гп т ) ь4 имеет место оценка, аналогичная (3) (9) откуда следует, что п1пеграл по дуге Сг стрешпся к нулю прн М вЂ « оо. Позтому, вычисляя интеграл по прямой Х- с помощью теории вычетов, получим 1 1 ещ' 2лг Г 1 еглг — 4Ь = — — "-.— Выч 1à —, !а~ = 21 . тг-ьаг яп лч 21 ( мг+аг вьч ит ' 2ь 2!а 41п !лп 2а вй ли' Аналогично 1 ( ! е1пе и е"" — 11 м =- -' . 21,1 я+аг ггп лч 2а вй ла ' Х (11) откуда следует, что сумма 5 ряда (1) равна 1нп )м. С другой стороны, предел интеграла Ум при Ф вЂ «-оо равен шпегралу (2).
Лействительно, в силу абсолютной сходимосги несобственного интеграла (2) имеем 1 еще 1!ш -.; . 4(к=1 (6) 24,1 ъг+ Яг яп лт ~М+ ~4Ч а интегралы по прямым (к н мл стремятся к нулю при 1гг-ьсо, что легко установи~ь на основании оценки 309 метод ватсона откуда ! г 1 а'"' л г = —. ~ —, г!в = -- с(Е па, 2! ~.'.~ ая ' ып пт и Х+Х- (12) что и решает исходную задачу суммирования ряда (1). Рассмотренный пример, несмотря на его простоту, содержит все основные элементы метода Ватсона.
Этот метод асимптопшеского исследования рядов состоит из ряда этапов. Иа первом этапе надо по. строить интеграл по козшлексной переменной, равный сумме исходного ряда. Подынтегральпая функция этого интеграла должна содеракать множителем аналитическое продолжение общего члена ряда в комплекснук~ плоскость его номера. Следугощип этап заключается в независимом вычислении построенного интеграла.
Во многих случаях удается получить выражение искомого ипгеграла через сумму вычетов подынтегральной функции в особых точках аналитического продолжения общего члена ряда. Если число таких особых точек конечно, то мы получаем явное выражение для суммы исходного ряда, если число этих особых точек бесконечно, то мы преобразуел~ исходный ряд в новый, которыя может оказаться более простым для аспмптотического исследования. В качестве следующего примера рассмотрим задачу вычисления ряда (13) ч =-1 5 сча та 2! 3 сйатапмп й (14) где контур инте~рирования П на коьгплексной плоскости ч представляет собой бесконечную петшо, охватывающую положительную часгь действительной оси (рпс. 2) и пересекающую деиствительную ось в точке я=1/2. Интегрирование по контуру П производится в положительном направлении так, что действительная ось остается где О. =.8 ( и, а гх — заданное положительное число, удовлетворяющее условию сг (( 1.
Ряд (!3) является типичным для многих задач матеыатической физики, решение которых строится методом разделения переменных. Как легко вгшетгь в силу условия сг с. 1 большое число первых членов ряда имеет один и тот же порядок (нзпрнмер, при сг =- 10 4 и 3 = 0 первые 1000 членов ряда по абсолютнод величине изменяются от 1 до 0,995). Поэтому прямое численное суммирование ряда (13) при сг (( 1 оказывается весьма затруднительным. Однако, применяя метод Ватсона, можно преобразовать ряд (13) в новый ряд, для которого легко получить асимптотическое представление при сг (~ 1. Рассмотрим вспомогательный интеграл ПРИЛОЖЕНИЕ 4 слева от направления двнжешш.
Легко видеть, по интеграл (14) равен исходному ряду (13). )Те11ствигельпо, рассмо4рни шнтеграл 1 (' соа 46 24,) сй ат 41п тп П„ по замкнутому контуру П„, состояпгему из конечного участка петли П и замыкшощего его веРтикального огРезка А,Аа пеРесека4ощего дей- 1 ствительпую ось в 4очке т=л-, '--. Подынтегралыгая функция у(т) 2 в (15) являе4ся аналитической функциеи комплексной иерем иной и Рнс. 2. внутри контура ннтегрирова,шя, за исключением конечного числа изолнрованньш особых 4очек ъ; =-1(1 = 1, 2, ..., л), вреде~являющих собой полюсы первого порядка. Поэтому, применяя теорему в вычегах, получим (16) Оценим значение функции г'(ч) в (1б) на отрезке А,АЕ Так как на этом отрезке Ке ч = л+ 112, то, воспользовавшись соотношением з1птп ! и„=„, ца=зш(2п+1)." сй(п 1гпт)+ +(.Ц( 1 .)с.в(2и+1),"; =- ( — 1)" с) (п(ш.), (1У) 311 метод ватсона получим ! а)п чп л,л, = сй (и! ш ч).
(1 Я) Имеет лгесто очевидная оценка ,'созчб,'л,л,(е' ' "'л,ле (19) откуда ! '"'. )1,,— ' ее Б|п мл !л~л с!1 (и!Пл т! (2 0) Г другой стороны, очевидно, ! с1! ам ! А,л, = ! еа !а+ пяг ' ! + е "" !л, л, ) 2 ° > ! 1 е — а ил+ ~! ~ еа !а+ ыя! (21) 2 ' (22) что и доказывает равенство исходного ряда (13) интегралу (14). Персидам теперь к вычислению интеграла (14). агля этого аналитически продолжим подьштегральпу!о функцию (14) иа всю комплексную плоскость ч и определим особые точки функции У(ч) = сол та впе пеглп П.
Очевидно, таковылш являются точки сб ас яп ти та = и (и =.— О, — 1, — 2, ...), тгг = г - (2Уг + 1) '- (Гг = О,:н 1,:1- 2, ...), . 1 Л причем все этп .гочки — полюсы первого порядка. Заметим, кроме того, чго подьшгегральпая функция г(ч) является нечетной функцией комплексной переменной ж Построим на комплексной плоскости ч замкпутып контур Га сосгояпгий пз коне и!ого участка П„петли П между то псалги А, и Аэ (см. рпс. 2), прямолпиевиых отрезков АаЛ,, Аа — -- гг+ г „1 (ил+1) л +2' а 1 (т+!) и ' ( (,' 1 (тж1) и' и контура А,АлЛ„Ап предсгавляюшего собой прял!ел!ше!!1гьг!! отрезок Л,А, с обходом гочки а= 0 по дуге полуокружиосги достагочпо малого радиуса р.
Рассмогрилг интеграл 2Г,) си ат яп си (') 23 !'ч, т В силу (20) и (21) подыитегральиая функция в (1б) иа отрезке А,Ае экспопеициатгьпо убывает при и- оо. Поэтому, переходя к пределу при и-+ оп в выражении (10), получим 302 ПРИЛОЖЕНИЕ г где интегрирование производится в отрицательном направлении.
Оче- видно, Ю )„аг(6) =- — и ~Вы г(~(ъ), О)+ ~ Выч [Дм), ъ„)1 . (24) ь=о С другой стороны (см. рис. 2), Лг А 1„, л (9) = — — . ! ~ у(ъ) г(м + ~ ~(ъ) г)м+ ~ ~(ъ) ~Ь+ Пл Лг А, А, А, л, + ~ ~(ъг) гУъ + ~ ~(ъ) лгъ -!- ~ 7'(ъ) г(ъг + ~ У(ъ) г(ъ~ . (23) ср В силу нечетпостп функции г'(ъ) л„ А, ~ „Г(м)гг'ъ+ ~ 7"(ъ)дл =О.
(26) А, Аг Кроме того, очевидно, Иш ~ соа ъа сигхь з!п ъл ср (27) ~с!гам'Лл„, л,,„ш=с11(ссКеь).л 1. (28) Кроме того, очевидно, лл !СО5ЪВ Нлт лглса."' Е (29) 'з!п ъгп '~а,т „,, 'л 1 е-2тлна ! еггглг/а ~ рлглгга (3(1) 1 ... ! Из (20) и (30) полу шм лггг созга — — ш — е~ (4е яп ъп ~1лг ъ=аглга (31) В силу (28) п (31) заключаем, что функция Г(т) на отрезке АаАа экспоненппальпо стремится к пулю прп т-ь-со п 0(п. Оцепим оставшиеся интегралы. В силу проведенных выше оценок (см. формулы (20), (21)) функция у(ъ) экспоиенппальпо стреъпигся к нулю при и — ь оо на отрезках ЛгЛг и А. Ае.
г(ля опенки г!гугпггггггг Л (ч) на отрезке А,Л, замепоп что апалопшно (!7) 3!3 МЕТОД ВАТСОНА Переходя в (25) к пределу при л, л! †« ОО и р -ь О и учтя (24) и (15), получим в силу приведенных оценок !(6) — — = — п)Выч[6(т), О)+ ,~ Выч16(т), мь]~~.. (32) А=О Так как соя ма 1 1 Выч В ~ .,О1=- с)6а6 вп тп ' ) л (33) сЬ ~ (2й+ 1)1 , (34) ан ~ .- (26+ !) ~ то окончательно получим 1 ч (2а( + )(6) =-В(6) = — —,'-+ -."- У ( — !)' — '„",, ' А=о й ~- — (2)с-!-1)~ (Зо) Очевидно, члены ряда (35) имеют аспмпточпбческий порядок — — 6 -'; —,- )п — 6) е " ~ ' ') при а — ~О, что и обеспечивает быструю сходимость ряда (35) при 6 ( и, При достаточно малол! сс для практических расчетов можно ограничиться лишь первыми членами этого ряда. Следует подчеркнуть, что конкретные применения метода Ватсона в каждом отдельном случае могут быть различныьш — по-разному можно строить интеграл, эквивалентныи исходному ряду, различными способами можно проводить его вычисление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
