А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Вычислпас сначала Ф,(0). Обратимся к формуле (110') п выберем в качестве пути интегрирования действительную ось с обходом точки Г = 0 по нуте полуокружностп в нижней полу плоскости. Устремив радиус последней к нулю и учтя, ио в силу почетности полынтегральной фупкпии интеграл по участкам действительной оси равен нулю, получим 1 . ! Ьс + ! 1 осссй Су ! 1 Ф„(0) =.— 1Нп!п ~ — „,,' 1 — =~с~ = 1п — —, 2со !.
ьс 'с ь 1~ 13' Используя (123), находим, ыо разложение фупкппи Я„(!с) в окрестности точки !с =0 имев~ впд (! 23) )с (!с) = Ас )Л 3 — „;; сс!+сС1с+...). Сравнив (122) и (124), определиас зсса~сение поссоянной А: А= —,. !. 1' 3 1 2л (! 24) (123) Подставив полученные резульигы в формулы (107), (112), (114), окончательно получим при р ( 0 У(0, р)= = — (!+~ ,')е.
— ! — ", ! . ь (!20) ) 3,, й Г !„'с+1( агс!Еь1) А", о что и дает функпию углового распределения нейтронов, выходяпсих пз полупространства х ) О. 3.3. Лссфуакцсся ла плоснол» экране. Рассмотренные до сих пор интегральные уравнения являются уравнениями фредгольлса второго рода. Однако ряд физических задач естественным образом приводит к интегральным уравнениям первого рода в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов. В качестве примера рассмотрим задачу дифракции электромагнитных волн на плоском экране. Пусть в однородном пространстве помещен плоский идеально проводящий экран, совпадающий с полуплоскостью х)0, у = О, — сю ( г( со.
Пусть вне экрана расположены локальные источники электромагнитного поля, создающие периодические электромагнитные колебания частоты со, поляризованные таким образом, что вектор Е напряженности электрического поля параллелен оси г и не зависит ог координаты г. Тогда для амплитуды и(х, у) вектора Е получилс скалярную задачу схи+ !сасс = — т (х, у), и (х, 0) = О, х ) О.
МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА Кроме того, функпия п(х, у) должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности, определя|ощим отсутствие волн, приходяпшх «о пз бесконечности з). Здесь Л = - — волновое число (с — скорость с спета в среде зне экрана), г(х, у) — заданная функпия, определяющая плотность источников. Вудем искать решение задачи (127) а виде и(х, у)=по(х, у)м п(х, у), где функция и„(х, у) — поле, создаваемое задзниьыщ источниками в отсутсгвие экрана, которое через функпию Г(х, у) выражается в виде волнового погенппала"'') о(х' У) 4'1 ~ Но" (ггг)у(9, »1)г(ЙЙ1, (128) где Но (з) — функпня Хапкеля первого рода, г =-1(х — й)в-)-(у — т))е!И«, а интегрирование ведешься по всей области 8, в которой расположены исто пшкп.
Для функции о(х, у) получим задачу. Лп+йво=О, (129) о(х, 0) = — — п„(х, 0), х) О, Кроме того, Ф(х, у) должна удовлетворять условиям излучения па беасонечностп. Решение зада и (129) будем искать в виде волнового потенциала простого слоя м (х, у) = ~ Но' (йг') р ($) сК, о (130) где г'=((х — ц)з-~-у»1"', а р($) — неизвестная плотность, для определения которой с помопгью граничного условия при у = О, х ) 0 получим интегральное уравнение первого рода ~ Но" (л ~ х — Е ) р(ь)г(ь= — по(х, О), х)0.
'о (191) ') Подробнее постановку задач дифракпии см. Л. Н. Т и х о и о в, Л. Л. С а м а р с к и й, Уравнения математической физики, «11аукв», 1972. ") Определение и свойства волковых потеациалов см. там же. Л(ы опять получили неоднородное интегральное уравнение в полубесконешом промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов. Однако, в отличие от (79), это уже уравнение первого рода. Данное уравнение также люжег быть решено с помощью метода Винера — Хопфа, однако мы не будем останавливаться на деталях этого исследования.
6. Релпение краевых задач для уравнений в частных производных методом Винера — Хопфа. Уйетод Винера — Хопфа может быть с успехом применен пе только для решения интегральных уравнений, но и для решения краевых задач для уравнений в частных 292 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 производных. При этом конкретнзя формз применения данного метода аюжет несколько отличаться от изложенной выше, хотя общая идея, заключающаяся з факторизации выражений вида (63), (65), всегда составляет основу мегода. В 1сачестве типичного примера рассмотрим сггедуюгпуго краевую задачу для ураагппшя Лапласа.
П р и м е р 3. В верхней полуплоскости у) 0 найти гармоническую функцию, удовлетворяющую при у=-0 смешанным краевым условиям п(х, 0)=е ""', а)0, х~О, ,".(-, О)=О, х<О, ду (132) (133) и стремящуюся к нугпо при у — » со. Для решения этой задачи мы воспользуемся приемом, часто употребляемым в магематическоп физике. Решиы сначала краевую зздачу (132), (133) для уравнения Лн — кап =О, (1 34) где ха = гмм та ) О, а затем в полученных формулах перейдем к пределу при к — «О. С помощшо негода разделения переменных в) легко получить интегральное представление общего решения уравнения (134), убывающего при у — »со, в виде и (х у) — ~ ! (7г) е-Егегах г(1г (! 35) 7' (7г) ! (А) е'а" г1!а = О, х < О, (137) где введено обозначение !. (й) =- р (1г) =- р' 7га+к'.
Решение задачи (136), (137) легко люжег быть построено, если функция !. (77) является аналитической функцпеи комгглексной переменной й в по.лосе т < < 1гп 7г < т.„(т < О, т > 0) и в этоп полосе может быть представлена См. уп Н. Тихонов, Рк Д. Самарский, Уравнения математической физики, <Наукам 1972. где 7"(7г) — произвольная функция параметра 77, а р = )7 Аа+ка, причем взята та ветвь корня, которая является непосредственным аналитическим продолжением арифмепшеского зна меняя корня р = ~ 11 ' при к=О.
Отметин, что при этом Кер о 0 при — со< 1г со, по и обеспечивает убьгвапие функции (1Зо) при у — »+со. Функция (13о) будет удовлетворять граничным условиям (132), (133), если функция 7"(7г) удовлетворяет функциональным уравнениям (Яега ~й=е-и', х)0, (136) 293 МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА в виде 7-(7) =(7'+и') 1;Я) ).-И), (133) где 1.+(й) — функция, отлнчная ог нуля и аналитическая в верхней полуплоскосгн!шпаг)т, причем при , 'Уг, '— ь Оо !., (Уг) стремится к нулю медленнее, чем 1г-а, а функция !. (7г) — аналитическая в нижней полу- плоскости 1ш А ( т„ равномерно с~ремящаяся к нулю на бесконечности. При выполнении этих условий непосредственной проверкой легко убедиться, по уравнениям (136), (137) удовлетворяет функция с сс (л) (йч +аа) 7. (й) 1.(л) (139) где постоянная С определяется из условия С = - — ).ь (га).
(140) 7- А б (й) )/йь+хт у зя-'- ая ! Ат+а' (141) Эта функция при а) — 1ш(!х) также является аналитической и отличнои от нуля в данной полосе, причем !. (1г)-ь! при /г~ — ьсо. Поэтому в силу леммы 2 требуемая факториаация функции Е(й), а следовательно, и ). (1г) возможна. Легко видеть, что функции 1' А — 1х (1.1 2) удовлетворяют всем поставленным требованиям. Тогда на основании формул (135), (139), (142) получим шпегральное представление решения уравнения (134), удовлетворяющего условиям (132), (133) и Действительно, подставляя в шпеграл (136) первое из равенств (139), замыкая контур интегрирования дугоп полуокружности бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости, интеграл по которой в силу леммы Жордапа равен нулю, на основании (140) получаем, что интеграл (136) равен е" при х)0.
Аналогично с помощью леммы Жордапа, примененноп к шпегралу по дуге полуокружностп бесконечно большого радиуса в нижнеи полуплоскости, при х(0 легко установить справедливость (137) для функции г"(7г), определенной второй формулои (139). Итак, решение рассматриваемой задачи связано с возможпостщо представления (138), В. данном случае функция 7 (/г) )~Р+ха в силу указанного выше выбора ветви корня является однозначной аналитической функцией, отличной от нуля в по. лосе 1ш (гх) ~1ш 1г ( — !ш (!х) (!ш (гх) с О).
1'ассмотрим функцию ПРИЛОЖЕНИЕ 2 убываюшето прп у-э.+со, в виде и(х, у) = ~ е и"есг»сИ; С 1с /г + /я (й — са) (!4З) где постоянная С на основании (140), (142) равна ) !а+!и 2пг (144) Перейдя в (143), (!44) к пределу при и- О, получим интегральное предсгзвление регпения исходной задачи гг а с' с е !и~» п(х, у)= — е 4 есг»ас/г= )//г (я — 1а) с-( За СО р~~т ( — — с' ег'!*са'» — е-Кг-с»» = — — /е ' ~ с//г'+ е ' ~ —.— сИ . (148) ' ~ ~-' —.) Сделаем в первом интеграле (14б) замену переменной интегрирования, положив /г'= — /г. Так как з ог е" ж"ы'» е-гт-ы»- г-гт-Ы» с/л' = — 1, ас/г = еса -1, ' сИ, (146) 1/ — /г'(/г' — са) а р /г (/г+/а) а! р'/г (й+са) то (!4б) принимает вид )са ~ с' — 1' е ьа-г»» — е "т '"" п(х, у)=- — е ' ~ с//г+е ' с//г ' ~ )СЛ(а+/а) ~ 1' й [Л вЂ” га) à — 4 = — Кее 4~,.
Ис, 1' е (й — са) (! 47) Для вычисления интеграла (147) рассмотрим интеграл ,/(сз, р)= ~ ' с/а. ь 1/$($+б) (148) /(сг, р)= 1 с/4). аг ч1'ч — р (1оО) Этот интеграл заменой переменной интегрирования $+ р = 41 может быть приведен к виду ,/(сг, р) = еаа/(сг, ))), (149) где МЕТОД ВИНЕРА —.ХОПФА Интеграл (150) мотает быть вычислен с помощью дифференцирования по параметру "): Дг " е ач г л — — — й)=.
— е "Р1' в да (1О1) Так как 7(0, 5)= ~ р то, проинтегрировав (151), получим а 7(, 1)=-'га-Р''~' —,' = И1-Ф(Р' ~)1. Р11 5 )' (152) (153) г где Ф(г)= —, ~ е — "'г1х — функция ошибок. Огсюда 2 )уп ° .7(а, 11) = и —. '11 — Ф(ф'сер)1. 'Й Возвратившись к (147), получим и (х, у) = Ке (ге "" ~1 — Ф ()' — па)]~, (154) (155) где в = х + 1у.
"') Вычисление интегралов с поногяью дифференпярования по параметру см. вып. 2, стр. 409. ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Теория фушгций многих комплексных переменных, являгощаяся естественным развитием теории функций одной комплексной пере»генной, в последнее время представляет значительный интерес благодаря эффекгивным применениям мето:шв этой теории в различных областях естествознания, в часгности в квантовой геории поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
