А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Т и т ч и а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехнздатт !948. '*) Определение преобразования Фурье и его основные свойства см. вып. 2, стр. б!8. 269 метод Вгн!еРА — хопФА в силу (4) и (5) 1(lг)=- —,... 1 гг(в) ег" ~й ~ п(1)е'егг1! =Л"!' 2л У(/г) Ьг(1г). (9) 1 2л Формула (9) фактически означает, что в случае преобразования Фурье справедгшва формула преобразования свертки, полученная нами для одностороннего преобразования Лапласа (см.
стр. 223). Теперь формул> (7) можно переписать в виде 0(Ц)=ГЯ+ЦI2пУ(й) И(1г). (10) Итак, с помошью преобразования Фурье пам удалось свесги решение исходного интегралышго уравнения (1) к решению алгебраического уравнения (10) для преобразования Фурье искомого решения. Решение последнего уравнения не представляет труда: (11) 0(5)= 1 — Л1 2л!г (а) Тем самым преобразование Фурье (11) решения исходного интегрального уравнения оказалось выраженным через преобразования Фурье заданных функций — ядра и правои части уравнения.
Само решение может быть легко выражено через его преобразование Фурье с поьгопгью извес!пои формулы обратного преобразования:): и(х) = —. )~ У()г) е-'"'гИ=- —.. ~, ™~ гИ. (12) 1' 2л ° ) 2л ! — Л) 2л 1г(и) гЬорыула (12) фактически решает задачу, однако она не всегда удобна для использовашгя, так как требует вычисления преобразования Фурье 1г()г) для каждои правов части г"(х).
Во многих случаях более удобным оказывается представление решения неоднородного интегрального уравнения через ядро (резольвенггг>г) исходного уравнения: и(х) =-!'(х)+Л ~ и(х — х)1'(в) ьгв. (1 3) Чтобы получить требуемое представление, заметим, что формула (10) может быть преобразована к виду (1 (1г) — )г (А) = Л )' 2лЕ (1г) 0 (7г), (14) где (15) ") См. вып. 2, стр. 5!8. 270 Пгило)кение а Из соотношения (14) с помощью формулы обратного преобразования (12), замечая, что в силу формулы (9) оригиналом функции )/2п Г(!г) 0(!е) является функция ') Ы(х — з)У(з) з, где д(!) = —, ~ 0(А)е-гтмгИ, 1 'г 2п (16) получим и (х) =г" (х)+Л ~,е(х — з)3(з) Ым (16) П р и м е р 1.
Решить интегральное уравнение и (х) = Х ~ в (х — з) и (з) г(а + у (х), (1 8) где о (!) = е — ч,г~, сг ) 6, (19) Найдем функцию е(!), для чего вычислим Ъ' (Уе) = —, ! е " ' е'~' г(! = —, 'к~ 2п 1 Р 2л гге+Ае Тогда по формуле (16) 0(,!) Р(л) ! 2а ! — Ц'2п !г(Л) )'2п Ле+ае — 2аХ' (26) (21) откуда л(!)= —, ~ 0(Л)е-гаге!'я=-- ~, ганг. ! 1 !' ое ы !'2п,) и,) ля+а'-2аХ (22) Такнм образом, для определения решения исходного интегрального уравнения (1) достаточно найти фупквпо д(г), определенную фора!улой (16). Фупяцня е(Г) ПрЕдСтаВЛяст СОбОИ РЕП!ЕНИЕ ураапсиия (1) Прн СПЕ- циальном виде функции у(х) )(ействительно, из формул (1!) и (1б) следует, что при Е/(/е)=0(А) фушкция Р(!е) равна Ъ'(А).
Это озна-чает, что решением уравнения (1) прп у(х) — = о(х) являегся функция и(х)— = д(х), т. е. резольиента уравнения (1) удовлетворяет интегральному уравнению д (х) =- ~ о (х — з) е (а) г(з+ ц (х). 271 МЕТОД ВИНЕРА в ХОП'ЬА Положим, что ),< — . Тогда иитеграл (22) имеет смысл и легко 2 ' может быль вычислен с помощью теории вычетов путем применения леммы Жордаиа. После простых выкладок иаидем — Г,тгя — Р Х а(() =а' —, 1' аа — йй (23) и, окончательно, и (х) у( ) ( ит. ~ — ' — ~т'чт:ти2у(5) г( (21) 1' и' — 2иа и(х) .=)г ~ ц(х — 5) «(5) г75+7 (х). (25) Однако для этого пам понадобятся пекогорые аналитические свойства преобразования Фурье, в частности определепие областей апалитичности преобразования Фурье функции деисгвительнои переме~гиои, как убываюгцих, так и возрастающих па бесконечности.
2. Аналитические свойства преобразования Фурье. Пусть функция 7'(х) определена при всех значениях — ОО<х - ОО, Рассмотрин преобразование Фурье этой функции Р (2) = —, ~ у'(х) ег"л г(х. 1' 2л (26) При агом будем считать, что парамегр 7г, входящий в преобразование (26), вообще говоря, моткег принимать и комплексные значения. Поставим вопрос о свойствах функции Р(7г), рассматриваемой как функция комплексной переъгеииои 7г. Лля этого представим функцию 7"(х) в виде У"(Х) =7",. (Х)+7" (Х), (27) где функции 7' (х) и К,(х) соответственно равны ( ДХ), Х< 0, ( О, Х<0, У-(х) — 1 о, .)О, У() — 1П.),.-,О, Итак, применение рассмотренного метода, сводящего решение исходного интегрального уравиения (1) к решению алгебраического уравнения, было связано с возможностью применения преобразования Фурье к входящим в это уравнение функциям и использовация формулы свертки.
1-1ашеп ближайшей целшо является перенесение рассматриваемых методов иа решение интегральных уравнений с ядром, зависюним от разности аргумецгов, в случае полубеагоиечиого проме кутка ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Преобразование Фурье /г(/г) функции Г(х) прп этом, очевидно, равно сумме преобрадовапий Фурье Гь(/г), /г (/1) функций Г,(х) и /' (х). Мы выяошм апалитические свойства фупкцип Г (й), устаповпв аналитические свояс1ва ф>'пкцпй Гь(/1) п Р' Я. Итак, рассмотрим функцию < О, ( О, < Г(х), х) О. (28) Ее преобразоваиием Фурье является функция ! Г~(/.) = —, 1 у,(Х) Еымв1Х.
1 2и,' 3 (29) Повторяя рассуждевпгя теорем 8.1 и 8.2, легко показать, что если функция Гэ(х) удовлетворяет условию :/' (х) ', « 'Мег —" при х — -со, (30) где интегрировзпие производится по любой прямой 1гп /г == т ) т, параллельной действительной оси па комплексной плоскости Й. При т ~ О (т, е, для убываюгцих иа бескопсчпости функций у(х)) область аналитичности фупкпии Г, (/г) содержит действительную ось и в формуле (31) можио проводить ицгегрироваипе вдоль дейсгвительной оси.
Если т )О (т. е. функция Г (х) растет па бескопечности, по ие быстрее, чем экспопеига с лгп1ейнытг показателем), то область аналитичности фупкпии й (/г) лежит пад дебствительиой осью комплексной плоскости /г (прп этом иа депсгвигельиой оск /г и!петрил (29) может расходиться). /гцалогигв, если фупкцпя У (х) = Г(х), х «" О, х (32) удовлетворяет условию Г (х)( Ме'«" при х — ~ — со, (33) то ее преобразование Фурье, ф>икция о Г (/1)= —, (~ Г (х)е'ьмг(х, ! (г2л (3.1) то функция Г (/г), определенная формулой (29), являегся аналитической функциеп коа!плекспои переменной /а=о+ге в области 1ю/ ) ьт, причем- в этой области Г, (/г) — -0 при '/г' — сж. С помовцюо рассуждепии, аналогичных проведенным и !еореме 8.5, можно показать, что функции Г (х) и Г (/г) связаны ооратпым соогио!пеи1геаг: с« — '!т Гч(х) = — —... ~ Г (/г)е-гллг//г, Ел — х-~-Л 273 метод ВинеРА — хопел является аналитической функцией комплексной переменной л в областгг 1гпл(т,.
Функция у (х) выражаегся через функцию Г (х) с помощью соотношения .г" (х) = —, 1 Е (й)е гм'г!л, 1 ! 2л — ~~+ и (Зо) где 1ш/г=т(т . Если т, О, то область анатггтпчностн функции Р (/г) солержпт действительную ось. Очевидно, при т ( т функция Р (/г), определенная по формуле (26), является аналитической функцией комплексной переменной /г в полосе т (1ш /г(т,. Прп этом функции /'(х) и Е(/г) связаны ооратишгм преобразованием Фурье: со+ и / (х) ~ /7 (/г) е — гах г//г 1 ! 2п (36) гле интегрирование производгпся по ггкгбой прямой, параллельной действительной осп комплексной плоскости /г, лежащей в полосе т ( 1ш/г=т(т,. В частности, прн т ( О и т ) О функция Е(/г) является аналитической в полосе, содержащей действительную ось комплексной плоскости я.
Тзк, функция 1/(х) =-е-" ' при и ) О обладает преооразоганием Фурье 1 2м 1/ (/г) = —. ! 2л гг' т.аг (37) п(д) = ) ~ о(х — а) п(з) а'з, о (38) ядро когорого, функция о(х — а), зависиг ог разности х — а= — ~ и определено для всех значений своего аргуьгента — со (8( оо.
решение этого уравнения, очевидно, находится с точпосгью до произвольного мномгителя; он может быть найден из дополнительных условий задачи, например условий гюрмпровки. Будем считать, чго уравнение (38) определяет функцию сс(х) для всех значений переменной х, как положительных, так и отрицательных. Введем являющимся аналитической функцией комплексной переменной /г в полосе — и(!ш/г(и, солержапий действительную ось.
Перейдем теперь к ггзгго>кеиию основной идеи метода Впнера— Хопфа. Мы продетгонстрируеы ее снача.ча ца примере решения ипгегральпого уравнения специального типа. 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов. Начнем с рассмотрения олпородпого пнтегрзльного уравнения вида 274 ПРИ.ЧОЖЕНИЕ 2 функции и и ггь: )' п(х), х<0, ) О, х<0, сс (х) =- и.. (х) = ' (39) О, х >О, ! сс(х), х)0.
Очевидно, сс(х)= — п,(х)+и (х), и уравнение (38) можно переписать в виде ггь(х)=) ~ о(х —.5)и„(5)г(5, х)0, о (40) и (х)=а~ о(х — 5)п.(5)А, х(0. о (41) То есть функция ггь(х) определяется из решения интегрального уравнения (40), а функция и (х) выражается через функции и,(х) и о(х) с помошью квадратурной формулы (41). При этом имеет место соотношение гг, (х)+и (х) = г. ) о(х — 5) и (5) г(5, о (42) эквивалентное исходному уравнению (38). Пусть функция оД) удовлетворяет условиям ~ФЯ)'(Л4ег-' при $-ьоо и (43) ~ о Я); < Л4ет-Ь при $ -+ — оо, где т (О, т„.о О.
Тогда функция !'(77) == ! о(й)е' 177$, Р2за является аналитической в полосе т <!те<т.. Будем искать решение уравнения (38), удовлетворяюшее условию а) (и (Х),'(ть!2ЕР» ПРИ Л -ЬОО, (4о) (44) (46) Из условий (43) и (46) следует, чго преобразование Фурье (7 (А) и (7 (л) функций сг (х) н сс (х) являются аналитическими функциями комплексной переменной /г прн !из ус) р и 1гп й(ть соответственно (на 'рис. 1 для определенности положено !г)т ). ь) зйы не остааавлнваемся на доказательстве существования решения уравнения (40), обладаюнгего указанным свойством. Подробаее см., например, цитированную выше статью В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
