А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть требуется нзйти распределение температуры в полубесконечном стержне 0(х(со, если начиная с момента времени 1=0 на его левом конце х=О поддерживается заданный температурный режим. 11ачальная температура стержня равна нулю. Яатетсатическая задача заключается в определении ограниченного для 0 = х ( со, 1)0 решения и(х, 1) уравнения и! — ази„, х»0, г >О„ (8.107) ОснОВные пОнятия Опеятн!ионнОГО исяисления !Гл. а изводные, входящие в уравнение (8.!07), удовлетворяют условиям существования преобразования Лапласа по 1, причем условия ограниченности степени роста но 1 функции и(х, !) и ее производных не ззвисят ог х. ! огда получим (., !) ееи(х, р), ,(х, !) —,' Р(7(х, р), „.
(Х, !) СЕ ия,(Х, Р). (8.1! 0) У(0, р)=Я(р), ! У(х, р),'(М. (8.111) Это — краевая задача для обыкновенного дпфференппальпого уравнения, в которой переменная р играет роль параметра, г'ак легко видеть, решение задачи (8.110), (8.111) имеет вид ГР У(х, р) =Я(р)е (8.1 1 2) Решение и(х, !) исходной зада !и может быть найдено по его изображению (8,! 12) с помощью формулы Меллина, однако в случае произвольной функции Я(р) вычисление соответствующего интеграла может принести к значптельныа! трудностям.
Поэтому естественно попытаться обойги прямое вычисление интеграла 31еллина для определения оршинала функции (8.1!2). Заа!етиы, что выше мы нашли оригинал для функции (см. пример 4, стр. 230) -- е '"" сь1 — Ф вЂ”,.= —,. ( е 'йг(г1. (8,113) Р Г2РГ1 )и а ат ! т'Р 1 -«1 Поэтому, представив У(х,р)=Я(р) р е1 ' !.— и учтя, что со- Р гласно (8.113) Р— е " =.' 1 — Ф!' ~. )=О(х, !), Р (2аУ! ) *) См. вып.
2, стр. 4!б. (8.114) Вторая из формул (8,!09) получена с учетом пулевого начального условия (8.108). После пшя из формул (8.109) имеет место в силу того, что сделанных предположений достаточно для вычисления производных иесобственпык интегралов, зависящих от параметра, путем дифференцирования по параметру подынтегральных функций в). Перекодя к изображениям, вместо задачи (8,107), (8,108) для функшп1 п(х, г) получаем краевую задачу для изображения Ь'(х, р): У,м (х, р) — -Р; У (х, р) = О, 4 31 Решение задач для лииеЙных ди ьФГРенцилльнсях уРдвнгниЙ 247 на основании теорем об пзобралсенип производной и свертки получим ! (7 (х, Р) —,- и (х, 1) = — сг (л, 1 — т) су (т) с(т.
д о' Подставив явное выражение (8.114) функции 0(х, 1) и произведя диффсренш!роваппе, получим вьсраженпе решения задачи е) (8.107), (8.108) в виде /) [ а са' С! — т1 стт 2а) л .) (с — т)" о (8Д(б) а(л;, 3. Краевая задача для уравнения в частных производных. Изложенный в предыдушем пункте метод может сыть формально перенесен и на решение краевой задачи для уравнения в частных производных бо.сее обшего вида. Рассмотрим уравнение Рл[п(х, 1)[ — )а [и(х, 1)]=у(х, 1), (8.116) где Р, [и] — линейный дгсфференциальный оператор с постоянными коэффициентами вида д'и , д" 'и ди сй!дсь+ азд— „, -т-... +а„с дс ' (.а[а] — линейный дифференциальный оператор иторого порядка ве) вида деи йз [и] = де (х), + дт (л) — + дз (х) и (х, 7), коэффициенты дс (х) которого являюгся функциями лишь одной незаиисимой переменной л", у'(х, 1) — заданная функция переменных х, 1, достаточно гладкая в области решешш задачи. будем пскагь решение п(х, 1) уравнения (8.! 16) в области """я) 1) О, а~х(д, уловлегворяюшее начальным п(х, 0).=-сре(х), .- (х, 0).=ср,(х),..., д „, (х, О) =срл,(х) ') Заметим, что данное выражение полученовпредположенип сушествования решения, тем самым проведенные рассмотрения являются фактически доказательством единственности решения данной задачи в рассматриваемом классе функций.
Есчи заранее не известно сзшествование решения поставленной задача, то псобходспю показать, чзо формально полученное выражение (8.115) действа- тельно представляет собои решение рассматриваемой задачи, ") Рассматриваемый метод пе зависит от порядка дифференциального операсора 1., так же как и Р, однако для большей наглядности изложения и вниду особой важности для приложений мы ограничисшя случаем оператора 1. второго порядка. *'*) Рассьсатриваеыьсй метод а!ожет быть применен и в том случас, когда и= — сс! или Ь= +со или одновременно а= — со, б =-+сть 248 ОснОВные понятия ОпеРАциОннОГО нсчисления !Гл. а и граничным условиям сог6 (а г)+рггг(а г) =фг(г), со 1- ((г, г)+!!((г, г) =фа (т). Будем предполагать, что начальные и граничные условия задачи, а также функция 7(х, !) таковы, что сугцествукт изображения Лапласа по ! функции а(х, 1) и всех ее производных, входягцих в уравнение (8.1!6): сч СО п(х, !)=,' (7(х, р)=~ е-л~и(х, г)г7(, —, =,' ~е-Р'--(х, г)г(! (8617) о о и т.
д., прнчел! Предположим, что услоггпя ограниченности степени роста по 1 функции и(х, !) и ее произволнык гге зависят от х, Тогда в си.лу равпомериой сяолимости по параметру х интеграла (8.117) получим н 'Р ( ) Р ГРг(х) —., — ф, (х) Ероме того, предположим, по существуют изображения по г функ- ций Дх, г), фг (т) и Чгя(г): Р(х, 1) =,' Р(х, р), гРг(7) =.чЧ',(р), фо(() сигея(р). Тогла, перейля и уравнении (8.116) к изображеппли, получим обык- новенное дифференциальное уравнение по независимой переменной х для функшш (7(х, р): — р.
(Р) (7(р)+ (. ((7(- Р)1 = — р(- р) — Р. ( Р) (8 ! !8) где л — 1 Ро(х Р) Ьг 7 «(Р) фь-А-г(х) А=О а полиномы Ра(р) опрелеляются формулой (8.93). Уравнение (8,118) надо решать с граничными условиями сот(7, (а, р) + ()г(7(а, р) =- Ч', (р), соя('лФ Р)+игФФ Р)= 12(Р). Краеггая аадача (8.1!8), (8.!19), в которой р играет роль параметра, решается обычными методами решения краевых задач для обыкно- венных дифференциальных уравнений ч). Обратггый переход от изо- бражения (7(х, р) к решению исходной задачи может быть произве- ден с помощью формулы обращения (8.67).
Я) См. выо. 3, стр. 159. ПРИЛОЖЕНИЕ ! МЕТОД ПЕРЕВАЛА Метод перевала широко применяегся для построения аснмптотических разложений в) некоторых контурных ив) ии~егралов ог функций комплексной переменной. Мы будем рассматривать интегралы аида 1 (Л) = 1 р(з)сиы>с(г, с где ср(а) и у (а) — функции комплексной переменной з, аналитические в некогорой области р, содержащей кривую С, которая может быгь и неограниченной; Л вЂ” большое положительное число.
Ьудем предполагать, что интеграл (1) су1цествуег, и поставим своей целью получить асимптотическое разложение функции Р ().) по обратным степеням парамегра ),. С интегралами типа (1) ч;сто приходится всгречаться при исследовании интегральных представлений ряда специальных функций, а также при решении многих задач математической физики и других разделов математики. 1. Вводные замечания.
!1ачнем с некогорых наводящих соображений. Рассмогрим интеграл, определяюший гамма-функцию Вилера евв) Г (р + 1) = $ хге-"с(х, о (2) и попробуем найти для него приближенное выражение при больших положительных значениях р. Заметим, что, представив хл=еию"', мы *) Напомним, что асимптотическим разложением функции 1(х) в окрест. и ности точки х, иазываетсв представление вида 1(х)= ~ аегрь(х)+о(тфм (х)) я=1 где а„— постоянные коэффициенты, в функции це (х) при к — хв удовлетворяют Условию чьтз (х) =о(сгь (х)) (подРобиее об асвмптотических РазложениЯх см.
вып. 2, стр. ббб). '*) Следуя установившейся термввологви, мы здесь под контуром интегрирования понимаем ие обязательно замкнутую кривую. **ч) См. вып. 2, стр. 434. пгиложеннг ! приведем рассматриваемый интеграл (2) к виду (1). Подынтегральная функция в (2) стремится к нулю при х — + О н х-ь со. Поэтому величина этого интеграла в основном определяегся значением подынтегральной функции в окрестности ее максимума.
Преобразуем нодынтегральную функциго к виду х"е '=еды"' — «=е!ОЕ (6) Максимальное значение функции,р(х) достигается нри х =р, причем У(р)=р!пр — р, У'(х)'„=„=О, Р" (х)'„=„= — —. (4) р Разложив функцию у(х) в 6-окресгности точки х=р в ряд Тейлора и, ограпичнвшись первыми членами разложения, получим Р- 6 ГХ вЂ” РР Г(р+ !) ~ е 'Р сгх=ряь-Я ~ е -" г(х Р— 6 р — 6 С Ы -РН рле-Р ~ е -'Р г(х, (о) Приближенные равенства имеют место вследсгвин того, что подынтегральная функция нри х — р )6 мала н бысгро стремится к пулю.
Сделаем в интеграле (5) замену переменной интегрирования, положив 1 -(х — р)=у. Тогда 2р Г(р+ !) )~' 2ррле — Р ( и л г(у = К'2чр Р 66) (6) Формула (6) и дает приближенное выражение интеграла (2) цри больших значениях р. 1Сак будет показано ниже, она представляет собой первый член асимнаотического разложения интеграла (2). Эта формула часто называется формулой Стирлинга. Прн выводе агой формулы мы не оценивали точность сделанных приближения, поэтому наши рассмотрения носят лишь иллюстративный характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
