А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В дзльнейшем будет проведена оценка точности формулы (6), а сейчзс сделаем еще несколько заме~анин, позволяющих легче понял основную идею метода неревала. <1аормула (6) выражает приближенное зиа ~ение интеграла (2) через значение подынтегральной функции в точке ее максимума (рлс-Р) и некоторый дополнительный множитель, соответствующий длине гого огрезка инте~рирования, на котором значение нодыгисгральной функшш достаточно близко к максимальному.
Обратимся теперь к интегралу (!), в котором нодынтегральная функция является аналитической з обласги ч комплексной плоскости Этот интеграл также может быть приближенно вычислен через максимальное значение модуля ~одынгегралшюй функции с поправкой на быстро~у ее убывания нз контуре интегрирования.
Если путь 251 метод перевала интегрирования, соединяюпсий точки ., и , таков, что на небольшом его учасске абсолкссссая велсс~ссссса подынтегральпоя функции достигает напболыпего зпа сепия, а чатем быстро спадает, го естественно предположить, что найденная величина даег хорошее приближение. Так как функция г(г) является аналитической в обласги »«, со в силу теоремы Коши значение интеграла (1) определяется лишь заданием начальной с, и коне шов ., точек пути интегрирования, а не видом кривой С. Огсюда следует, что для заданного интеграла (1) возможцоссь его приближенного вычисления с помощью рассыатриваемых методов связана с возможностью выбора такого контура пнгегрирования, чтобы он удовлетворял указанным выше требованиям.
Нас шпересуют значения интеграла (1) прн оольшпх положительных значениях параметра )ч сгоюцего в показателе у экспоненты. Поэтому естественно ожидать. «то основной вклад в значение интеграла дадут те участки пути интегрирования, па косорых функция сс(х, у) — действительная часть функции 7(е)=сс(х, у)+св(х, у)— достигает наибольших значений. Прв этом следует иметь в виду, что функция и(х, у), являясь гармонической в области 3, не может достигать абсолсогного максимума ва внутренних точках этой области, т. е. внутри области У нег точек, в которых функшш и(х, у) возрастала бы или убьсвала по всем направлениям.
Поверхность функпии и(х, у) можег пиес ь лнсиь седловые лсо«ки "). Пусть точкз хь=-хь+суь явссяется единственной седловой точкой поверхности и(х, у) в обласси х. Рассмотрим линии постоянных значений и(х, у) =и(х„, ув)=сопз1 функции и(х, у), проходящие через эту точку. В силу принципа максимума для гармонических функций "") эти линии не могут оссразовывать замкнутых кривых (мы не рассматриваем тривиальный случай 7'= сопз1 в»), т. е. они либо упираются в границу области 3, лиоо уходят на беско>сечность в случае неограниченной области. Кривые и(х, у)=и(х„, у,) разбивают область -" иа секторы, ни)при которых зпаченсля функции и(х, у) соответственно илн меныпе, или больше значения и(хь, уь).
Первые секторы будем называть осирссс1асссельньс.сссс, вторые — ссолооксстельньс.сссс. Еслсс граничные точки гс и а» кривой интегрирования лежа~ в одном секторе и функция и(х, у) приссимаег в этих точках различные значения, то, очевидно, можно так деформировать контур, чтобы на нем функция и(х, у) изменялась монотонно. При этом основной вклад в значение интеграла дает окрестность той граничной точки, в когорой значение функции сс(х, у) наибольшее. То же положение имеет место и в том случае, когда тоски «с и ее лежат одна в поло»кительном, а другая в отрицательном секторах. Метод перевала применяется в том случае, когда точки гс и гз лежат в различных отри- ') Определение седловой точки поверхпости см.
вып. 2. стр. 137. **) См. А. Н. Тихонов, А. А. Сама р с к и й, Уравнения математической фвзики, «Наука», 1972. 252 ПРИЛОЖЕНИЕ ! (7) 1(охаза тельство. Оценим при р)1 иптегралеэ) а» ГА ~ е»хг-тс(х = е — '! ~ е.-' (у+ А)Р-' г(у ( е — '4 ~~ (2А)Р те-тг(у+ А о о + ~ (2у)Р-ге-лагу) = е-'! 1(2А)Р-! (1 — е — 4) + 2Р-тГ (р)'. (8) о Отсюда при А" ~ел' и следует (7). В дальнейшем большую роль будут играть пигегралы вида а Ф())= ~ гр(()е-'"аг, О(а(со. Имеет месго следующая лемма.
») символ О (г») или, более общо, О (га) в разложеиии вида гр (г) = а — ! ~Л ~гата+0(та) означает, что при ~ Г,' б имеет место равномерная оценка а=о а †! !Р(г) — ~ сага цС г ", где С вЂ” лостояииая. 4=О *") При О < р 1 ~ е алл-гсГх ~ ~е "ал=е 4, А ца!ельиых секторах, что дает возможиость выбрать такой контур интегрирования, проходя!пни через седловую точку хо, у„, иа котором значение функции л(х, у) является максимальным в точке х„, у, и быстро спадает по иаправлеиию к граничным точкам. Очевидно, в этом случае осиовиоп вклад в значение интеграла (1) будет давагь малый участок в окрестности седловой точки, причем последний можно выбрать тем меньше, чем быстрее спадзют значения функции п(х, у) вдоль кривой интегрирования.
Метод перевала также иногда называется методом наибыстрейшего спуска. Эта аальпинистская» термииология, очевидно, связана с топографией поверхности функции и(х,у) в окрестности ее седловой гочки. Мы ограничимся здесь этими вводными замечаниями, а сейчас проведем оценку точности метода, прп помощи которо~о была получена асимпготическая формула (6).
При этом будет установлен ряд положений, лежащих в основе метода перевала. 2. Метод Лапласа. Докажем ряд вспомогательных положений, лелгаших в основе так называемого мегода Лапласса асимптотической оценки иигегралов от функций деиствительпоп перемеипоп. Лемма У. 77ргг р > О и А -г- со н,чеегл место аснмлтотнческая фор.нула ") А А ', ~ хл те»г(х = Г(р)+ О !е о метод пеРеВАлА Лемма 2. Пусть прп ~ У1 6 функция гр (У) молсет быть представлена в ваде гр (У) = с„+ гтУ+ О(Уа) и для некоторого Ла ) О сходится интеграл а ', гр(У) ~ е — х" ЕИ а 'М вЂ” а (1О) Тогда для Л) Л, имеет лгесто агп.иппготпчегкая формула а Ф (Л) = ~ гр (У) е-"о гИ = г„1ф —.
+ О (А — а'г). (11) Ф(Л)= ~ гр(У)е хогИ+ ~ гр(У)е — хогУУ+)ггр(У)е — "*гИ, (12) где 6 ) 0 — некоторое фиксировапиое число. Оцепим последнее сла- гаемое: ~ Гр(У)Š— Ха ГИ а- Š— ГХ вЂ” У'Уса ~ ' Гр(У)! Š— АМ*ГУУ а а -=: Ме'оа" е — Аь' = О (е — "а'). (13) Здесь мы воспользовались условием (10) и очевидиым иеравеиствоъг ЛУа = Лба+ Л(Уа — ба) ) Лб'+Ля(Уа — ба) =(Л вЂ” Ла) 6'+ ЛаУа, имекицим место при Л >Ли У) 6.
Аналогично оцепивается и первое слагаемое в (12). Отсюда следует, что при достагочио больших Л осповиой вклад в зпачеиие интеграла Ф (Л) дает второе слагаемое, в то время как крайние сггагаеьгые в (12) экспоиеициальио сгремят.ся к нулю при Л-ь со. Ухо казательство. Главный член формулы (11) легко может быть получен из следу1опгих иавохясцих соображений. Если фуикция гр (У) ограничена при ' У > а, то естественно ожидагь, что зиачепие интеграла (11) изменится иезиачительпо, если замеиить пределы интегрироваиия — а и а па — со, со соответственно.
Тогда первый член разложения (9) даег главиыи члеп формуль1 (1!), ипгеграл ог второго члена в силу нечетное ги гюдыитегральпой фупкпии равен пулго и остается оцепить остаточиыя член. Эта оценка и возможность указанная замены пределов иитегрироваиия и составлякат основное содержание леммы.
Перейдем к ее строгому доказательству. Разобьем иигеграл Ф(Л) иа три слагаемых: 254 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Перейдем к рассмотрению главного члена в (12). Подставив вместо функции ф (т) ее разложение (9), получим 6 Фа(Л)= 1 ф(т)е — ""Й= — 6 6 6 6 =та ~ е —" г(г+гд ~ е — "*(л'1+ ~ 0(22)е — 22'г(1. (14) -'6 — '6 — 6 Второи интеграл в (!4) в силу нечетпости подынгегральпои функции рзвен нулю. 1тля оценки первого интеграла сделаем в нем замену переменной тпггегрирования, положив Л(а=т. Получим 6 — =А 1 е — хм й = 2 ~ е — '"" т(г = = 1 т -'е — '22т. (15) — 6 Ъ Но в силу леммы 1 при Л-2-са имеет место аспмптотическая формула Ь6' 26'1 / 2.6*1 2Š— тс(т=2 — ~1+0 Е 2 ! =)/П+О'Е 2 ) ° (18) Л/ 2.6' Так как при любом фиксированном 6 функция е 2 при Л вЂ” Рсо стремится к пулю быстрее, чем Л вЂ” 2-', то можем загнлсать с, ~ е-"и й = га)/ .-+О'Л вЂ” 6 )/ (1?) Остается оценить последнее слагаемое в (14): 6 6 6 0(12) е хит)1(С ~ (зе — 2п 211 2С ~ (яе — 2н И вЂ” 6 — 6 6 (18) В интеграле (18) опять сделаем замену переменной интегрирования, положив Л22 =т.
Тогда получим 6 66' 2) ПЛ= — ~ — С. 1 1322 о (19) ,(3) Р(- ( 66*, 0(12)е — "'г((=С вЂ” ','+О~е ','=01Л 27'. (29) Лам -'6 Формулы (13), (17) и (20) после подстановки их в (12) и доказывают лемму. Сделаем ряд замечаний к доказанной лемме. Интеграл (19) также удовлетворяет условиям леммы 1, Поэтому окопчателыю получим 255 метОд пепевллл За м е ча н и е 1. Повторяя проведенные рассуждения, можно доказал, по если фуикппя ср(!) при !', =6 разлагается и строку Тейлора Л вЂ” ! р(1) =- 1 сь!"+ 0(!"), се=%в „ (21) с,=о то имеет место асимптотическое разложение гн — с1 ! Г тсс+, ! ( ь+г, Ф()с) = ~ ср(1)е — тл'сИ= т гя ', '+О',Л з ), (22) ьс-- — а пс =- О Л ср (Г) =- с„+ с,1+ О (!Я), р (!) = г,рс+ 0 (г'), (9) (26) и т0сгпь прп Л-ьоэ функция 6(Л).- 6„удовлетлворяегп условия,и ь) Лбе () ),.
оо Лба (),) и 0 (24) Тогда пра Л вЂ” ьсо плсеегм меся!о асплспшотачесьая форлгула бгь! 3! 1(Л) = !с) ср(!) е'! — и+и!с!1 с)! = се 1' +О!Л вЂ” а р — дсы Д о к а з а г е л ь с т в о. Как ле~ко видеть, при выполнении условий (9), (23) и (24) па отрезке ,'Г, =-6(Л) имеет место равенство ср (!) ет и с'! = с„+ с,т -)- сьсьЛГа+ 0 (!т)+ О (Ле)е) + 0 (Л)т), (26) *) как легко видеть, например, функция 5 (л) = л ттб удовлетворяет условиям (24).
!и — 1! где символ г! —,~ означает наиболшиее целое число, меньшее нли и — ! равное — . 2 Б частности, при и = 1, когда разложение функпии ср (!) имеет внд с! (г)=ге+0(1), остаточный член в формуле (22) имеет порядок Л ", поскольку при опенке остатка главную роль играет интеграл б б б 0(!) е — вист! С ~ ! Г е — лс*с(1 =2С~ !е — "*сРЛ вЂ” б — 'б о 3 а м е ч а и и е 2. Лез!ма остаегся справедливой й в том случае, когда ингегРиРовапие пРоводитсЯ по огРезкУ (ат, ае), где ат(0, ае) 0 и — а„' аа Следующее замечание настолько существенно для далысейшего, что мы сформулируем его в виде самостоятельной леммы.
Лемма 3. Пусть ни опсрезке !г',=-6, функции ср(г) и р(г) предгтпавплсы в виде пяиложенив > Тогда, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 2, получим, что прн подстановке разложения (26) в формулу (25) первое слагаемое в силу условия (24) даст главный член правой части (23); второй и трегий члены полученного вь(ражепня обратятся в нуль в силу нечеткости поды>жегральных фупкний; последние три слагаемых имеют одинаковый порядок малосп> О(Л-аз). Лемма доказана. Локазапные леммы позволяют доказать следующую теорему, являющуюся основной в методе Лапласа асимптотического разложения интегралов от фупкмий действительной переменной. Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
