А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Туу7си>ь функция Д1), заданная на отрезке (а, Ь), догтигае>п своего абсолютного максимума е неко>7>арой внутренней точке 1„, причем у" (1>7)ч'О, и пусть сущегтвует >покое Ь„-» О, что пРи ,'1 — 1ь (бь имев>н место пРедстае гение У(1) =.7 (1 )+ 2" (1 — 1)'->-Р(1). (27) (р(1) = с,+с,(1 — 1,)+О((1 — 1,)'), р( (1) = гз (1 — 14)'+ О И1 — 14)'!, (9) (23) то имеет мег>по агилттотпческая форлгула ь 7 3> Ч'(Л)= ~ гр(1)еь>(>д1=ех>("> (ф — „' (р(14)+О,Л '-',~, (28) Л1" ((о) если выполнены следующие дополнительные условия: а) для данного б„одноере.пенно выполняютгя соотношения )(() ( 4 ( — о), 1" ((ь) У(1ь)-Я) ==1»0; ири ,,'1 — 1ь'(б, "Ри > 1 — 1о ~ -> бь (29) б) для некоторого Ль)0 сходил>ся ин>пвграл ь $ ' (р (1) ', еь >И> й ( Я.
(30) Лак аз а тельство. Разобьем интеграл в (28) на сумму следующих слагаемых: ь г~ — ьп г, — ь (7,> Ч' (Л) = ~ (р (1) еь> ( > й = $ (р (1) е>7( > й+ $ гр (1) ех>( > й+ ч Я ью >о, ь(х> > -~-ы ь + ~ (р(1) е"1('> й+ ~ (р(1) ех>И> й+ ) ср(1) еь>ий й, (31) г,— ь(ы (,+ь(ю (~+бе Тогда, егли функцщ> (р(1) и р(1) при ~1 — 1ь> (бь удовлетворяют условиям лелглгы 3, и>.
е. метод переиллл где функция 6(7.) удовлетворяег условиям (24) леммы 3. Ерайние интегралы в (31) оцениваюгся так же, ьак и в лемме 2. Действительно, используя очевидное неравенство 7 [Ио) — Ф)1 =() — Зов(1о) — Х(1)! де)о У(1о) — Х(1)! «» 1) () )о) ~о ( ((о) г от(1) (32) пмеюгиее место при а.=1- 1о — 6о и ),)),„получаем ) (,— б„ ( — б, (р(1) ег) Н'(11 ( е)1") '); (р(1) е — '11(") — Г()1 (11 ( (,— б, <" е() )")1(() б() лн ~ ' (р (1) еь(Я б(1 » Р ( Л1е)1(( )" (ь )" )1 е '"" = егг(')0(е 'б). (ЗЗ) Поэтому, повторив выкладки, проведенные прп выводе формулы (33), получим ( — баб (р (1) е"1(') (11 =- е)1(' ) 0 (е — С) б'())), С ) О. (Зб) По в силу условия (24) величина в правая части (36) также имеет экспоненциальпый порядок малое) и о), Аналогичным образог( оценивается и четвертый интеграл.
Переядем к рассмотрению основного интеграла формулы (31): (,—,' б().) „(1),),(п),11 (36) (, — б ().) В силу условия (27) этот интеграл можем переписать в виде ( -(-б(7) . (1" н ) Ч"о(Л) = е'1(') ~ (р(1) е ( г .~ с(1. (37) (,— б(ь) Приведем интеграл (37) к виду (25), сделав замену переменной — — (1 — 1)а=т'. как легко видеть, полученнын прп этом интег- 7" (го) я г 2 рал удовлетворяет всем условиям леммы 3.
Поэтому окончательно получим Что()„) =ем(( ) (17 —," (р(1 )+ 0(1 — згг)~ Г ) 1 (38) *) Пря Ь (Х)=) ' получиь( О(е С" '), — сг)(о Так же оценивается и интеграл по отрезку [1о+6о, Ь!. Для оценки второго интеграла воспользуемся условиями (27), (29), в салу которых при 1,— бе==1 .=1,— 6()) имеет место неравенство У(1о) — У(1) ) — ( о) (1 — 1,)г =- — ( ') бо ().). ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Поскольку Ч'а().) отличается от оцениваемого интегралз на величину экспоненциального порядка малости, формула (38) и доказывает теорему. 3 а меч а н и е 1. Теорема остается справедливой н в том случае, когда один или ооа предела интегрирования равны бесконечности, поскольку оценка интеграла (33) остается справедливой и прн а =— 3 а м е ч а н н е 2. Мы получили лишь первый член асимптогического разложения интеграла (28).
Лналогнчныч образом можно получить выражение и для последующих членов асимптотического разложеняя, однако мы на этом останавливаться не будем. 3 а м е ч а н и е 3. Проведенное доказательство может быль перенесено и па тот случай, когда максимальное значение функции у(1) достигается в какой-либо из граничных точек отрезка [а, Ь[. При 1 этом в формуле (28) появляется дополнительный множитель —, 2' 3 а меч ание 4.
В том случае, когда функция Д1) внутри отрезка [а, Ь) имеет несколько максимумов, рваных по величине, асимптотическое разложение интеграла (28) по обратным степеням большого параметра ). можно получить, оценивая интегралы типа (36) по бокрестности каждой из точек максимума н суммируя результаты. Рассмотрим пример применения доказанной теоремы. П р им е р 1. Получить асимптотическое разложение гамна-функции Эйлера Г(р+1) = ~ хяе "Их. о (2) Это интеграл типа (28) с ср(1)= — 1 и у"(1)=[п( — б функция Д() достигает своего максимального значения при Г =1, причем Поэтому по формуле (28) получаем Г(р+1)э В Р~1Уà — +0(р Щ)ря т='[/2пр(Р— 1 11+0~ — 1.(41) Тем самым мы получили асимптотическую оценку точности полученной ранее из наводящих соображений формулы (6).
Как было указано выше, рассмотренные методы позволяют получить и последующие Представим подынтегральную функцию в виде хяе лэ вяы' — л и сделаем замену переменной, положив х=рб Тогда интеграл (2) преобразуется к виду Г(р+1)=рР' ~ ег1ыг — О с(б (39) о МЕТОД ПЕРЕВАЛА 259 члены асимптотического разложения. Приведем без вывода несколько первых членов формулы Стирлинга: 3. Метод перевала. Перейдем теперь к рзссмотрению самого метода перевала получения аснмптотических разложений интегралов вида (1): ге (Х) = ~ гр (з) ехйм огз. с В силу наводящих рассмотрений пункта 1 естественно предположить, что если контур С таков, что па неболыпом его участке знзчения действительной части п(х, у) функции г(з)=гг(х, у)+ев(х, у) достигают наибольшей величины и затем быстро спадают, а мнимая часть е(х, у) остается постоянной (чтобы обеспечить отсутствие нежелательных быстрых осцилляций подгантегральпой функции), то основной вклад в величину интеграла (1) и дает интегрирование по данному участку контура С.
Поэтому для приближенного вычисления интеграла (1) следует деформировать контур С так, чтобы подыптегральпая функция па пслг обладала указанными свойсгвами. При этом, как было установлено нашими предыдущими рассмотрениями, необходимая деформацяя контура С определяется в первую очередь топографией поверхности уровня функции и(х, у). В частности, контур интегрирования 'должен проходить через седловую точку поверхности функции и(х, у) в направлении наибыстрейшего изменения этой функции. Остановимся подробнее на топографии поверхности гармонической функции п(х, у) в окрестности ее седловой точки М,(х„ у,). Определим направления наибыстрейшего изменения этой функции, проходящие через точку М Зги направления, как известно, определякотся направлением вектора егаб и. Пусть егад и ~ О.
Так как для аналитической функции 7гг 7в = О (см. стр. 34), то направление вектора егаб и определяет кривую е(х, у) = сопя(. Итак, если на кривой в (х, у) = сопя(, егад сс ~'= О, то функция п(х, у) изменяется вдоль этой кривой наиболее бысгро. Однако в самой седловой точке М,(х„у,) поверхности функции и(х, у) вектор егаб и(М,) =О. Рассмотрим подробнее поведение функций и(х, у) и в(х, у) в окрестности этой точки. Очевидно, в точке Мо производные функций и(х,у) и п(х, у) по направлению 1 касательной к кривой в(х, у)=сопя(, проходящей через точку М,, равны нулю: ди до (хо, у,) — О, -(хо, у,)=-О.
Так как производная аналитической функции не зависит от направления, то отсюда следует, что г (ео) = О. (44) 260 ПРИЛОЖЕНИЕ ! Следовательно, разло;кение функции г(з) в окрестности точки имеет впд Х(з)=,Г(з)+( — -')Р(г +г (з — - )+."Ь (48) Запишем уравнения кривых сс(х, у)=сопя! и п(х, у)=сопа1, проходяших через точку зм с помо!цью введенных обозначений.
Имеем (7(р, гр)=гасоз(ргр+8„)+рг,соз((р+1)ф+81]+...=-О, (47) )г (р, гр) = га зги (рф+ 8„) + ргт з!п ((р+ 1) гр+ 81) +... = О. (48) Здесь п(х, у) — п(х,, у,)=РР(7(р, гр), п(х У) — п(хо У0) РР('(Р ф). Так как функция соз(рф+ 80) при изменении гр от 0 до 2п лгеняет знак 2р раз, то из формулы (47) следует, что окрестность точки л0 разбивается па 2р криволинейных секторов, внутри которых функция (7(р, гр) сохраняет знак. Гранины этих секторов определяготся из решения уравнения (47). Секторы, в когорых Ь'(о, гр)(0, будем по-прежнему называть отрнцагельнымп, а секторы, в ко1орых (7(р, гр))0,— положительными.
Направления наибыстрейшего убывания (наибысгрейшего спуска) функции и(х, у), очевидно, лежат в отрицательных секгорах и определяюгся теми значениями угла гр, при которых в окрестности точки (хо, уа) 1'(Р, гр) =" и (7(Р гг)(0. т. е. соз(ргр+8„) =---1. Зги значения равны ГР0~ + 00 201 -!-! и, т=О, 1, ...,р — 1. Р ' Р (49) Отметим, что направления наибыстрейшего спуска совпадают с биссектрисами отрицательных секторов. В дальнейцгем мы будем рассматривать лишь случай р= 2, когда г" (за) О. При этом г0= —.
У'(за) и 8„=агд Г(га). В этом случае 1 пмеются лишь два отрицательных сектора, внутри которых проходит линия наибыстрейшего спуска функции и(х, у). Направление касательной к эгой линии в точке «0 согласно формуле (49) определяется углами — 00+ ч — за+ Зп %0 2 и Р1 2 гйат~' (80) Очевидно, выбор угла гра или гр, определяется заданием направления интегрирования вдоль линии наибыстрейшего спуска. Перейдем теперь к доказательству основной теоремы метода перевала.
где рва 2 и г,же О. Положив с„=тле!аж л=О, 1,..., з —,=рег", получим У(з) г (зо) — Р 1г001<РЧ.~-~! +Ргтаг!104 Нч, "1л ) (46) 261 метод пеРеВАлА Теорема 2. Пусть функции гр(г) и >(г)=п(х, у)>->о(х, у) являются аналпп>ическплси в области,У и удовлетворяют следующилс условиялк 1) Поверхность функция и(х, у) и.иеет внутри У единственную седловую точьу гч=ха+>уь, лрпчелг >'"(гь) ~ О. 2) Сущеспгвует о>акое 6) О, что на лпнпп й постоянного значения функции о(х, у)= — о(хм у,), проходящей через точку г„, в обоих отрицательных секторах этой точки функция п(х, у) вне 5-окрестности тоти г, удовлетворяет условию (б1) и(ха, у,) — и(х, у).— 6)О.
3) Прп некоторо.и значении Ль ) 0 сходшпся криволинейный интеграл ~! с»(г) > ел ьы, э>бв --тИ, (о2) с Р (Л) = т гр (г) ею ы> с(» — ею ыо> 1 т ' >р (г ) е>в ь л ()() — зп)~ (Р > П.(»)/ о с (б3) где срм= "+тп(т=О, 1) и Оь=-агд~" (г,). Выбор зпачеиия тр 2 определяет знак в формуле (53) и, естественно, зависи~ от иаправлеиия интегрирования вдоль контура С. 1(о к аз а тельс тв о. Интеграл (53) ие изменит своего значения, если деформировать кривую иитегрироваиия С в кривую Г =- ь+ ут+ уа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
