А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 55
Текст из файла (страница 55)
8. Фока, где р(т . 11ри этом интегралы в правых частях соотношений (40) и (41), как несложно проверить, являются сходягцимися, причем для функции и (х) иыеег место оценка ~гг (х),(М2е'- при х- — оо. 275 МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА Перейдем теперь к рец~ению интегрального уравнения (38) или эквивалентного ему уравнения (42), для чего воспользуемся преобразованием Фурье.
С помощью формулы (9) преобразования свертки, в справедливости которой в рассматриваемом случае полубесконечного промежутка легко убедиться непосредсгвешю, получим из (42) (7„(й) + (7 (7 ) =. )У 2п Х (Е) Ег. (Д), Е (й) Ег, (/г) + Ег (Е) = О, Е (/г) = 1 — ) 2п АК(7г). или (47) где (48) где левая часть является аналитической в верхней полуплоскости 1гп 7г ) р, а правая — аналитической в нижней полуплоскосги 1ш/г(т„пРичем 1г(тн так что сУществУет общаЯ полоса аналитичности этих функций р (1ш /" ( г .. Тогда в силу единственности аналитического продолжения можно утверждагь, что супдествует единственная целая функция комплексной переменноЙ, совпадающая с левой частью (49) в верхней и правой частью (49) в нижней полуплоскости соответственно. Если при этом известно, чго функции, входящие в (49), растут на бесконечности не быстрее, чем конечная степень 7г", то в силу теоремы Лиувилля данная целая функция определяется с точностью до постоянных множителей.
В частности, в случае ограниченной на бесконечности функции получим (л) Ег„(7г) .= — Е (11) ЕГ (й) = сопя(. (бО) Отсюда функццги Е/(, (Ег) и (7 (л) определяются однозначно. Итзк, с помощью преобразования Фурье мы опять перешли от исходного интегрального уравнения к алгебраическому уравнению для преобразований.
Однако теперь в уравнение (47) входят уже две неизвестные функции, Вообпде говоря, из одного алгебраического уравнения нельзя однозначно определгпь две неизвестные функции. 9(егод Винера— У,(ггЕ Е,Я Хопфа позволяет решить эту зада ~у для определенного клзсса функций. Оц в пер- 7/7и= са вую очередь связан с изучением областей аналитгг|носпа входящих я уравнение функций и спецнзльным представлением этого уравнения.
Основная идея метода Винера — Хопфа заключается в следуюнгеаг. 1(7() Пусть удалось предстзвить уравне- ние (47) в виде углгг= т 276 пРилОЖение а Итак, применим данную схему к решению уравнения (47). Из проведенных выше рассмотрений следует, чго области аналитичности функший (/ (/г), (/ (/г) и / (/г) = — 1 — 1 2Л). И(/г) соответственно представляют собой верхиою полуплоскость 1ш /г )р, шшгнюю полуплоскость 1а /е ( тг и полосу т ( 1ш /г ( т . Тем самым это уравнение справедливо в полосе ') и ( !гп /г ( т, являющейся общей областью аналитичности всех входящих в это уравнение функция. Для преобразования уравнения (47) к виду (49) предположим, что возможно разложение фунщпин 1.
(/г): /. (/г)= +,>, (б1) /.Р(й)(/,(й) = — /. И) и (/е). (49) Из предыдущих рассмотрений следует, что опо определяег некоторую целую функцию комплексной переменной А. Так как ( е(/г) — ь0 при (/г: — ьоз, а /.г.(й) растут на бесконечности, как конечная степень /ггг, то данная целая функция может быль лишь полиномолг Р„,(/г) степени пе выше гг — 1. Если функции /, (/т) растут на бесконечности, лишь как первая степень переменной /г, то из соотношений (80) в силу теоремы Лпувилля следуе~, что соответствуюгцая целая функция есть постоянная С. Тогда для неизвестных (/е(/е) и У (/г) получим выражения (/ (/г) =, (/ (/т) = — —, С С / (л) ' / (/г) ' (б2) определяющие преобразования Фурье искомого решения с точностью до постоянного ьшожпгеля, который может быль найден хотя бы из условий нормировки.
В общем случае выражения (/э(й)= ", и (/е)=- —" / л (/г) рп (/г) = /. (й) — = /. (л) определяют преобразования Фурье искомого решения интегрального уравнения (38) с точностью до неопределенных постоянных, которые "] Мы для определенности по.чогннм р ) т . В противном случае общей областью аналитичности будет полоса т с1гпй<т,. где функции /. (/г) и /. (/г) являются аналитическими при !гп/е)р и !гп/е(те соответственно. Кроме того, предположим, что в областях своей аналитичности эти функции на бесконечности растут не бьюгрее, чем /г", где и†некоторое положительное целое число.
Разбиение (б1) аналитической функции /. (/г) обычно называется факторпзапггесу. Возможность факторизации заданной аналитической функции комплексной переменной будет обоснована ниже (слг. леммы 1 и 2 на стр. 279, 280), Итак, н результате факгоризацни исходное уравнение приведено к виду метод Винепл — хопФл можно найти пз дополнительных условий задачи. Само решение опре,теляется с помолцью обратного преобразования Фурье (31) и (35). Расслютрим пример применения изложенного метода. Пример '2.
Рассмотрим уравнение и (е) = Л ~ е-! л-'гг (з) гЬ, О (54) ядро которого имеет вид ОЯ) =е — !1'. Нанделл преобразование Фурье функции тлД): Ъ'(л)== 1 ФЯеы'г$= !'2л д ! 2л(ггл+1) (55) Функция )г(лг) (бо) является аналитическои функцией комплексной переменной й в полосе — 1<1ш гг< 1.
Представим выражение !. (л) = 1 — )Г 2п Х й'(/г) = г (56) в виде (51), где Ег (й) = ., 1. (7г) = л — г'. Лл — (2г. — 1) л+г (57) (о8) Отсюда (59) Функция Еь(гг) в (о7) является апалптнческои и отличной от пуля функцией А в области !шит)!ш1'2Х вЂ” 1. При 0<1< -- эта об! 2 ласть определяется условием !ш 7г ) 1' 1 — 2Х, причем 1гТ вЂ” 2Х == 1 =-- р < 1. При )л) — функция Е, (й) является аналитической и отличноя от нуля в области !тй)0. Функция Е Я, очевидно, представляет собой отличную от нуля аналитическую функпию в области 1 1ш л< 1.
Поэтому при 0<1< — обе функции удовлетворяют тре. 2 буемым условиям в полосе р< 1ш л< 1. ! Прн --< Х обгцей областью аналитичности функций Еэ(А) н Е (гг) является полоса 0 < 1гп л < 1. Таким образом, необходимая факторизация функции (56) произведена. Рассмолрлгы выражения Егд(!г) Егд(гг). Так как (Уз. (л)-л 0 прн !гг -л.оо, а Еге(й), согласно (о7), растут на бесконечности, как первая степень А, то целая функция Рл()г), совпадаюцгая с Ь', (л) Е (й) при !тА) 1л и с У (А) Е (1г) при !ш гг< 1, может быть лишь поли- номом нулевой степени. Поэтому 278 пииложеннц я и, согласно (31), «О-' С 0 />+ ! и,(х) = —, 3« «, „' е г«" с//г, 12п 3 — «О-> Гг (60) где р(т<1.
Лля вычисле>шя интеграла (60) можно применить методы гл, б. Замкнув ко>г>ур интегрирования при х) 0 дугой полуокружпостн в нижней полуплоскосгн и оцепив интеграл по этой дуге с помощью леммы Жордзпа, после элементарных вычислений получим и (х) = Р/соа )' 2Л вЂ” ! х+ мп !г 2Л вЂ” 1 х) 1 где Р— новая постоянная. При 0(Л( — это решение экспоненци- 2 1 ально возрастает с ростом х, прн - <Л< со — ограничено на бес- 2 конечности.
Итак, уже пример решения однородного интегрального уравнения (38) выявляет основную пдсю мегода Винера — Хопфа, закгпочающуюся в представлении с помощью факторизации исходного функционального уравнения (47) в виде целой функции (49). Ладим теперь обоснование возможпосгп факторизации аналигической функции комплексной перез>енпой, причем будем исходить из несколько более общего функционального уравнения, чем уравнение (47). 4. Общая схема метода Винера — Хопфа. В общем случае задача, решземая методом Винера — Хопфа, сводится к следующеи. Требуется определить функции Ч",(/г) и Ч' (й) комплексноп переменноя /г, анзлитические соотвегсгвешю в полуплоскостях !ш /г ) т и 1гп л(т«(т (т,), стремшциеся к нулю при>,/г',— ~.оэ в своих областях анзлитишости н удовлетворяющие в полосе (т (1ш/г(т,) 4>ун>сц»ональпо«>у упавнепшо (61) АЯЧ>(/)+В(/г)Ч' (К)+С(Д)=0.
(62) А (Ус) /. (/г) в ~р) = с †.' («! (63) где функции В.(Л) и Е (л) являются аналитическими и отличнымн от нуля соответственно в полуплоскостях !ш/г)т и !п>/г(т+, причем полосы т <!ш/><т и т' (!п>/г<т имеют общую часть. Тогда Здесь А(/г), В(/г), С(/г) — заданные фушкции котпглексноп перемспноп /г, аналитические в полосе т <!ш/г(т, причем А(/г) и В(л), отличны от нуля в этоп полосе. Основная идея решения этой задачи основана на возможности факторизации выражения А(/г)/В(/г), т. е. возможности представить его в виде 279 метод винеел — мопед с помощью (63) ураииеиие (62) можно переписать в виде /.,(й)Ч,(/)+С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
