А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 57
Текст из файла (страница 57)
2 — ! (91) На основании (89), (90) и (91) уравнение баланса запив!ется в виде ру" (х + о!х, р) гг'р — р у(х, р) огр = ! Я ' ггоу(х, р) г1р ггх+ — 'сгр г(х Дх, р') гур'. (92) Разделим обе части равенства на вгртк и перейдем к пределу при ггх -ь О. Учтя (88), получим уравнение для функипи распределения нейтронов в виде р Ял,у'(х, р)+, р(х). (98) Это уравнение часто называется уравнением переноса или транспортным уравнением. Опо справедливо не только в случае рассмотренной конкретной физической задачи, но и для многих других физических проиессов, связанных с переносом вещества или излучения а), Лля дальнейшего удобно переписать уравнение (93) в несколько ином виде, введя безразмерную пространственную координату ') Подробяый вывод уравнения переноса для более общих случаев см., например, Морс и Фе ш ба х, Методы теоретической физики, т. 1, ИЛ, 1988.
определяется разносгыо между числом нейтронов, приобретших скорость в заданном направлении (р, р + огр) в результате рассеяния на частипах вещества в данном слое, и числом нейтронов, имевпгих скорость в заданном направлении и изменивших это направление после рассеяния. Мы будем считать, что рассеяние нейтронов па часюшах вещества является изотрогшым, т. е. оно равновероятно во всех направлениях, и вероятность рассеяния нейтрона на одной частипе характеризуется эффективным сечением рассеяния Я. Тогда число нейтронов, имевших заданное направление скорости (р, р+ггр) и рассеянных в данном слое, очевидно, равно Г" (х, р) гКр Ялеггх, (90) 285 метод ВинеРА — хопФА 1 связанную с х соотношением х=)8, где ) = — — средняя длина поа свободного пробега, Тогда уравнение переносз примет вид а) д( 1 1" д~~ 1 2 Р (94) Функция г($, (л) должна быть подчинена граничным условиям, вытекающим из физической постановки задачи. Будем считать, что поток нейтронов из внешнего полупрослранства $(0 равен нул!о, а при 8 — лсо имеется постоянный поток нейтронов единичной мошности в отрицательном нзправленни осп $ (т.
е. при $-ь со отсутстнуют нейтроны, напрзаление скорости которых составляет с отрицзтельным направлением осн $ острый угол, отличный от нуля). Тогда граничные условия для функции уя, 1л) запишутся в виде у(о, р) = о, р .- о, Г'(со, р)=0, — 1е.,р< О. (9б) Установим вамсные следствия уравнешш (94) и условий (9о), для чего сначала проинтегрируел! (94) по р; 1 1 ! дь ~У(ь'1 1 1 ~У(~'1 1 2 — '1 — 1 -! = — Р(ь)+Р Д) = О. (98) 1 Так как интеграл /(с)= ~ у($, р) р !т(л равен потоку нейтронов через дзнное сечение, то уравнение (96) дает -1-=0 или /Я)= сопя(.
д1 (97) к(Б) =к(о)+~, (98) где в силу (99) К(О) = ( У(О, Р) рз др. (99) *) Мы сохранили для функции ((а, р) старое обозначение. В силу условий нормировки (прн $-лсо) получим У(8)= — 1 (ЕДИНИЧНЫЙ ПОТОК ПРИ 8-н+ОО НаПРаВЛЕН В ОтРНЦатЕЛЬНОЛ1 НаПРанленпн осн 8). Теперь умножил! (94) на )л и снова проинтегрируем от — 1 до 1. ! Введя обозначение КЯ)= ~ т'($, р)1ла!(и, получим — 1 286 пРилОжение а Уравнение (94) является интегро-дифференпизльным, так как неизвестные функции р(8) и у(с, р) связаны интегральным соотношением (88).
Однако легко получить интегральное уравнение для функции рЯ). Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (94) относительно функции 1"Я, р), в силу (9б) получим ч — а )е ' Р())(1 о со ч — а — ~е" Р(Ч)"1 $ !г'и О, 2!с 1 (100) р < О. Проинтегрировав (100) по р от — 1 до 1, получим интегральное уравнение для функции р Я): 1 со 1» — ч' Р(8) =-2 ~ ~ Р(Ч)' о о (101) Как видим, это есть интегральное уравнение в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности: !1 — ч~ — Ф о(с — т!)=- ~ е 2 о (108) Уравнение (102) обычно называется уравнением Милна, который впервые получил это уравнение прн исследовании процессов переноса излучения в звездной атмосфере.
Отметим, что во многих случаях удобным оказывается несколько иное представление ядра, получаюп!ееся при замене в интеграле ~г! с" — — он 1 Х(1)= т е и — '- переменной интегрирования р= =, Тогда гс т о Х(1)= ~ е 1 (104) Интеграл (104) часто называется функцией Хопфа. Интегрированием по частям легко может быть получено его асимптотическое разложение при больших положительных значениях 1: е'~ 1, 2! 3! Х(1)=-' — 1! — — + ..
— -Е+...1, гя Изменив в (101) порядок интегрированна, получим окончательное уравнение для плотности нейтронов в сечении 8: Р 6) = ~ (8 — Ч) Р (Ч) (Ч. о 297 МЕТОД ВИНЕРА в ХОПА>А СО ОО ч 1'(О, р)= — — — 1 еи р(11) й)= — 1 е «и'р(>«)й), рс-О. (106) 2р « 2, «з,,« Вак легко видеть, в силу (29) последний интеграл есть не что иное, кзк одностороннее преобразование Фурье функции р(11) прн й= —,г.
е. у(0, ц)= — )> 2пй,« — ), (107) 2 р Тем самым в указанных задачах достаточно найти не само решение интегрального уравнения (102), а лишь его преобразование Фурье. Согласно обшей схеме метода Винера — Хопфа для решения последней задачи следует найти преобразование Фурье ядра интегрального уравнения, а затем произвести факторизацию (б1) функции 1. (>г) = = 1 — «с2пХ)г(/г). В нашем случае Х=1 и ( о 1 еса" а>.т ~ си — + г '--ар ОО о )г (ь) смл и ( «.),.~ т )'2п,) 2 1:2л ОО к 1 + ~ е«А" а>.е ~ е и .«"! =— о о «>1 12п „ 1 агс!9 к ) 2п = = — 1п .
(108) 1 1 1«-й ~/~~ 2!Я 1 — й ' Поэтому 1. («т) = 1 — «>с2п Х)>(а) = (109) Функция 1. («г), очевидно, является аналитическов в полосе — 1 (1ш >г ~ ( 1, стремяшейся к нулю в этой полосе при /«1!-~со. Точка 1«=0 является пулем второго порядка этой функции. Последнее обстоятель- сгво несколько затрудняет факторизацию функции ь(11). ') Подробнее см., вапример, широко известную работу Хопфа> Нор 1, Ма!Ьета1!са« РгоЫешз о1 Кад!а!>нте ЕЧШ!!Ьбшп, СатЬг!дае, 1934. 5.2. Исследование решения уравнения Милна, Уравнение (102) принадлежит к >илу уравнении, рассмотренных в и.
3, н для его решения может бьшь применен общин алгоритм метода Винера— Хопфа. Мы не будем проводить здесь подробного решения этого уравнения и исследования его физического смысла"), а ограничимся лишь рядом замечания. Во многих пракгических задачах основнои интерес представляет определение лишь функции распределения нейтронов, выходя1цих из данной среды, т, е. фушщии у'(О, р) при р<-'О. Согласно (100) эта функция определется выражением 288 гп иложение а функция Е (гг), являющаяся числителем в формуле факторизации (о1) функции Е ()г): ( ) 1.,(/г) Е (л)' может быть выбрана в виде )гг Е,(!) =, еф гю. я+С (1 1 1) Фунгцгия Е (й) является аналитической в верхней полуплоскости !щ)г)т и при !)ги-нсо растет, как первая степень гг, поскольку в силу сходимоспг интеграла (110') Ф ()г) ограничена при ~,л(-Фоп.
Поэтому функция )тсс (гг) определяется по формуле (82): (Е) А йг-г со Е, (сг) ' яс (112) Отсгода следует, что для определения функции распределения нептронов, выходящих гиз полупространства х ) О, неооходимо найти Ф ()г). Это может быть сделано с помощью формулы (110').
Лля вычисленггя этого интеграла положим т =0 и приведем его к следующему виду: СО о СО Ф ссс- —. ! Фссс —,ус =- -. ( ( Фсг'с ' -'; ! Фсо — ~. — ОΠ— СО о (118) Воспользовавшись четносгью функции Ф(к) и сделав в первом интеграле замену переменной интегрирования В' = — Ь, окончательно получим Ф. (!.)=-'., ~ Фд),,"'„. (114) о Последний интеграл может быть легко табулирован, что и позволяет найти г(0, р) при р с 0 с точностью до постоянного множи- Соглзсно замечанию 2 (стр. 281) построим вспомогательную фупкйг+ 1 цию —., Е(гг), удовлетаоряюгпую всем условиям леммы 2, н рассмотрим функцнкс с)О()г) — )п~~'"' 1 Е()))1 — )ггпу~"' 1 (! ' ~~)г~~] (110) когорую легко представить в виде Ф(А) =Ф ()г)+Фс (я), где функции Ф (!г) н Ф ()г) являются ана.оптическими соответственно в нижней !щгг(т (1 и верхней !гп/г)т ) — 1 по,туплоскостях.
При этом -с- гт. Ф. ( ) =,'„-,. ~ Ф Я) —,"„, (110') 289 нютой В>!пенн — хопФл тетя А. Вля определения последнего воспользуемся условием нормировки (97) п следуюп>папи сообра>кепияыи. Умпожим урзвпеппе (94), справедливое прп $ ) О, на †, ейс и проинтегрируем его по " от !' 2п 0 до со. Пусть /г — коыплексная величина с малой положительной мнимой частью. Тогда, применив формулу интегрирования по частяы о» вЂ” т е! Е-.-т/й= — — т.
/(О, р) — //тЕ„((, р), (116) 1 Г нп д/ - 1 1/ 2л ° ст 17 2н пли Р (/и и)=~ !' /'(О, р)+ — Й,(/т)~ .„. (117) Результат интегрирования (117) по р от — 1 до 1 в силу очевидного соотношения /с (/>)= 1 Рт(/т, 1!)г/!т и условия (9о) дает -! — о Так как 1 дй 1 1+й агс!й/г — — 1п —. 2 1 — й!с 2й 1 — й Л вЂ” 1 (119) то окончательно получим о ! / агс!а/г',— ' Г /(О, и) /с, (/т) = —., 1 — ! тд — ', Р н>1!. !>2н! " / о ! — !ай — 1 (120) Разложим правую часть (120) в ряд Лорана в окрестности точки /с=О.
Воспользовавшись равенством ') ~ /'(О, Р) р >Хи = ~ ./(О, )т) р ь>ы =/ (0) = — 1 (121) и введенныы ранее обозначением (99), получим К„(/г) = — =„-„- (1+/К(0) /с+...). (122) *! Равенство (!2!) имеет место в силу (95) и условия нормировки (97). получим †!/г!г/>, (/т, р) — ,!..,/(О, р) = — Ет(/г, р) + — /т' (/с), (116) 1 2 ПРИЛОЖЕНИЕ Я 290 С другой стороны, можно найти первые члены разложения в ряд Лорана в окрестности точки !с=0 функщш, стоящей в правой части формулы (112).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
