А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Внутри К(Й, а) ряд (12) абсолютно сходится, вне данного поликру~а — расходгпся, в любой замкнутой подобласти К(Й, а) ряд (12) сходится равномерно. Отметим, чго радиусы Й, и Й, определяются совместно и не могут быль, вообще говоря, определены каждый в отдельности. зо! окнкции многих комплексных переменных В качестве примера рассмотрим степенной ряд мз мз (л+ гл)5 )(г)= 7,7, — '-глг-5, л1лз! (! 5) и=-О 5п=о коэффициенты которого представляют собой бивомиальяые коэффициенты. Так как внутри своего поликруга сходямости ряд сходится абсолютно, то ряд с положительными членами со со '~~ (ла и)1, 5 =О и=О (16) является сходящимся а почикруге сходииостя рада (!5). сгруппировав члены ряха (16), у которых сумма степеней и+л1=5, получим ) ( г, !-1-', гл.)', (16') 5 =-О откуда следует, что радиусы йз я )15 поликруга сходимоств ряда (15) определяются яэ условия йз+!!55=1, т. е.
при уменьшении Й1 значение йэ увеличивается и наоборот. Рассмотрим ряд (12) вн>грн его поликруга схозимости К()7, а). Воспользоващпись абсолкз1ноп сходпмостью ряда, сгруппируем те его члены, у которых сумма сзепеиеп п-',-т = з, ! (г) = ! (г15 гя) = ~ пэ (гл, га). э=о (17) Так как функции пэ(ги г,) являются аналитическими по кажзои переменной и ряд сходится равномерно вн>три полнкруга К()с, а), то в силу теоремы Веперштрасса (теорема 2.3) функция у'(г) также ягляется аналитическоп но кажпои переменной внутри К(тс, а), причем ее '!астныс проивводные можно вычислить путем почлспного пифференцирования ряда (17). Как легко видеть, прн игом радиус сходил!ости полученного ряда равен радиусу сходимости ряда (!2), и частные произволные — и — непрерывны внутри К(К а).
Отсюда д! д! дгл дал следует, что внутри полсскруга сходплгоппи степенной рнд (12) сходатсп к аналпт1иегкой функции многих комплексных переменных. Так же как и в слу1ас одной комплексной перемвмной, легко устзновить, что коэффициенты степенного ряда (12) выражаются через Выражение (17) дает представление исходного ряда в вице ряда озпородных полипомон относительно переменных гл =- гл — а,, г, = =- гг — аа и (гл гг) Х Сл -мгле, л (18) Л вЂ” -О ПРИЛОЖЕНИЕ 3 значения частных производных его суммы в центре поликруга сходн- мости — точке а = (аь аа) — по формулам д«е «1 ~л=л (19) 5. Ряд Тейлора. Покажем теперь, что функции, аналитической в некотором поликруге К(й, а), может быть сопоставлен степенной ряд, сходящийся к данноИ фущсции внутри К(й, а).
Имеет место Теорема 3. Функция г(«), аналитическая внугпрп по.гикруга К(й, а), единщпвенным образо.гг представляется вндалун К(й, а) в ваде сулг,1гы абсолютно сходящегося степенного ряда г («) = ~ ~~ С„,„(«1 — аг)л («а — аОУ«. «=О 1«=О Доказательство. Возьмем произвольную точку «в= К(й, а). По формуле (9) имеем с; с' (20) где С; и Са — окружности с центрами в точках а, н а, радиусов й1 и йт, удовлетворяющих условиям ',г,— а,'(й;(й, и, -.,— а,'( (й (йь Из предыдущих рассуждениИ следует, что рациональная 1 дробь „„может быть разложена в абсолютно и рзвномерно сходящиЙся относительно ьт и ьа сгепенноИ ряд 1 жт тЬ«(г, — айл (г, — ал)«1 (Ь1 — «1) (ЬЛ вЂ” ) ~Е ~Е (Ь вЂ” ас)л" (Ьл — а ) (21) л=а а=а «=О««=О где через Сл обозначены вырзжения С 1 Г, (' )(ь! (1) л «1 Опт д ~ 1 (Г а)л«1( а,)л 1 ьа' (23) что в силу (11) можно переписать в ниде 1 дл~ г (г) «1ю1 дглдг'л ~ «= а' 1 Л (24) Подставляя разложение (21) в (20) и повторно производя почлепное интегрирование соответствуюпгих равномерно сходящихся рядов, получаем г(«)= ~ )~~ Сл и(«,— ат)л(«я — аа)'", (22) зоз ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Так как '« — произвольная точка К(й, а), то чиз формулы (22) и следует разложимость функция, аналитической в поликруге К(Я, а), в сходяпычйся степенпоп ряд.
Сопоставление формул (24) и (19) приводит к заключению об единствешчосчи разложения. Теорема доказана. По аналогии с результатами, полученными для функппн одной комплексноп переменной(см, теорему 2.6), разложение (22) естественно иазвагь рядом Тейлора функции у («). В заклчоченне заметим, по радиус сходимости гсо ряда (22) может оказач.ься болыпе радиуса ьз полнкруга К(К, а). В этом случае сумма этого ряда будет представлять собой функцию, аналитическую в поли- круге К(тхче, а) и совпадающую с исходной аналитической фушашей у(«) в поликруге К~Я, а) меньшего радиуса.
Проведенные рассмотрения непосредственно переносятся и на случая многих комплексных переме:шых. 6. Аналитическое продолжение. Представление анзлитической функпни многих комплексных переменных с помочцыо степенного ряда позволяет, так же как и в случае одцоя комплексной переменной, выяснить вопрос об единственности определения анзлитическоп функции (см. теорему 2.8). Так, если в области 0 заданы две аналитические функции гз(»з, «а) и гз(«з, «е), совпаданнцие в подобласти 0' области О, то легко показать, что гз(»,, »т) = — А («и «г) прп «=(.-м «г) ~ О.
На основании этого положения можно в следующей форз|е ввести Принцип пналнглячееного продолженггя. Пусть в облзсгях 0'з' и 0чзч, имеющих общую подоб,часть 0'"-", заданы аналитические функции уз(«) н А(«), совпадакнпне в Оьз'. Тогда этн функции являются аналитическим продолжением одна другоб, т. е. н области 0= 0"'+ 6пп сугпепвует едипсгвенпая аналитическая функция Г'(«), совпадающая с Уз(«) в 0'зЧ и Дг(«) в 0'з'. Так же как н в случае одной комплекспоя переменной, ыозкно строить аналитическое продолячение первоначально заданной в некотороя области 0пн аналпп|ческоп фупквчи г';(«) вдоль нсевозможиых выходящих из области 0гы цепочек областей, пмщощпх попарно обгчыче части.
Такое анзлнтнчсское продолн<енве можно, например, полу ппь, разлагая фч нкнню > (г) н стснюиой ряд Тьблора (22) в окрестности различных точек г ' ье б '. Если радиус полнкруга схознмостн какого-либо нз зтнх рззлохгеннй окажется больше расстояния точки гп до гранины области фхь чо мы и получим аналнпчческос продолзкенне г(г) на большую область 6, содержащую б" ч Прп этом мы приходим к попятнчо полпоя аизлччгпческой функппп Г(») и ее естесгвенпоп обласги существования О, илп, как говоряг, области аналитичности (или, как иногда говорят, области голоморфносгп). Вообзпче говоря, аналппшескос про:юлжепне чччозкет прннесчи и к ьпюгозначной функции, областью аналитичности когороп ПРИЛОЖЕ!П!Е 2 является некоторое неолполистное многообразие, получавшееся путем введения так называемых областей наложения в).
В приложениях теории функций многих комплексных переменных, в частносгп в квантовой теории поля, существенным оказывае!ся вопрос, является ли заданная область 0 областью аналитичности, г(руг!!- ми словами, найдется ли такая функция 1(»), аналитическая в О, для которой область 0 является естественной областью сучпеспювания. Если область 0 не является областью аналипшпосгп, то всякая аиз тптпческая в 0 функция 1(«) может быгь аналитически прололжсна па большую область 0'", содержашу!о обласгь О. !(ак лгы видели (см. пример 4 ьч И гл.
3), в случае олпой комилекс- ноИ переменной единичный круг ' " (1 является огм!зсгью аналппшиосгц. Пользуясь теоремой !'омана о возможности конфорьшого отображения произвольной области па единичный круг, легко показать, что в случае одной ко.нплексной переменной всякая обласн!ь есть область аналпптчностп. В случае многих комплексных перемеш!ых данное утверждение уже не !н!еет места, Чтобы это доказать, покажем, что уже в С' область !» («1«2)! (~»~ (!«1 +, 2 ) (О! ф(»)=ф(»',»2)=, 1,. ' ' йэг.
1 ! ! (:1, « ) ,,' = 1 ' (23) Функция гр(«) прелставляет собой ипгеграл, зависящий от переменных «1 и»2 как от параметров. Полооласть ( ! Ьг = 4, ' »2 (3! принадлежит 0 (см. рис. 1). Поэтому функция !р («) являегся авали пшсскоИ по каждой переменной «, и «2 в полпкруге К:1, «, 4,'=,,'(3!!. Легко видеть, что частные производные функции гр («) при этом пепрерь!вны, Отсюда слелует, что в полпкруге К:('«, (4; '«,) (3!! грункция гр(«) является аналигическоИ функцией аиух комплексных переменных :, и »2 В частности, !р(») является аналитической и в замкну- ') Подробнее еч. В.
С. Вл ад им пров, Методы георвв функции многих комплексных переменных, «Наука», !964. »») Данный пример являетея незначительной модификацией примера, рассмотренного в кинге С. Бохнера и У. Т. Мартина «Фуи!«цин многих комплексных перемеииых», НЛ, 1951, См. гакже В, С. В л ад !! ив р о в, Методы теории функции многих комплексных переменных, Наука, !«ИБ4. не является оолзсгью аналитичности ': з). !!ля этого ласта гочно доказать, что всякая функция, аналитическая в О, может быть аналитически продолжена в большу!о область 0'3 содержа!цу!о О, например в шар /» , '( о.
Итак, пусть г(») — произвольная функция, анзлпп!ческая в О. Рассмотрим фупкшпо ФУНКЦШ! МНОГИХ КОЕ|ПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЪ|Х 305 — — бы=!"(» -). 1йб) у10! Ег) йл| гСг1=! Отсюда следует, что в О' аналитические фуикпии г'(г) н гр(е) совпала|от. Теь! самым в расширенной области Оа (!паре ', г '(б), содержащей исходную область О, определена аналитическая функция ! ! ), равная у'(е) в О и |е(а) ! в )С, являкчцаяся ана.гипшеским продолжением у!К) в О':. Что н треоовалось доказать.
ИтаК, В СЛУггаЕ ГипагПХ Ка.тгдсаеных перелгенных не всякая обласгль неллетсл обласлгею аналигпп гнослгп. Этот лпчаег теор|но функп|ш шюш|х комплексных функций одной комплексной переменной. 4 5 /е,/ Рнс. !. факг существенно отпеременных от теории той области Ог':~ ',: '(-1, 1» еа =-Згг, прш|адлежашсй одновременно поликруту К и ис:,одной области О, В силу формулы Коши (1б9) в О' имеет нес|о равеисгво ПРИЛОЖВР1ИВ Я МЕТОД ВАТСОНА Метод Ватсонз применяется глазным образом при суммировании и асими готп ~нском анализе рядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
