А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда, умножив обе части уравне- шгя (8.40) на е «' и проиггтегрировав по Т ог 0 до со, в сгглу линейности изображения и начальных условий (8.40) получим )'(р) (а,р" + агр" '+... + а,) ==Е(р), где через У(р) = ~ е "'у(1) ггг обозначено изображение искомого решео ния задачи (8АО), (8,41).
Обозначив Р„(р) =аар" +агр" '+...+а„, получим 222 ОснОВные понятия ОпеРАцнонного исчисления 1гл. В ~ г"(т) гтт=.'- ~ у'(т)дт ~ е "'г(г= — ~ е лтДт)8т= — Р(р), 8 а т д Б что и доказывает формулу (8.43). Аналогичным образом может быть доказано Свойство б'.
Пусть у(т)= — Р(р), Кер)а; тогда с и л-т ~ г((т ~ г1(е... ~ д(У„)г(Е„=И-ЯР(р), Кер)а. о о а (8.44) Свойства 5 и 5' находят ьгногочисленные применения при вычислении изображений различных функцнИ. Например, найдем изображение пилообразной функции /(/), представляющей собой периодически повторяющийся равнобедрейный треугольник с основанием 2т и высотой г,т. Как -легко видеть, эта функция представляет собой интегозл от 0 до г от функции (8,28), изображение которой дается формулой (8.29). Поэтому гя тй Р'~ Лз 2' ") Возможность изменения порядка интегрирования следует из теоремы !0.9, вып. 2, выполнение условий которой в данном случае легка проверяется.
Формула (8.42) дает достаточно простое выражение изображения искомого решения у (1) через известные функции-полинам Р„(р), коэффициенты которого определяются уравнением (8.40), и изображение Р(р) заданной праной части уравнения. Тел1 самым, если мы сможем определить неизвестныИ оригинал у (т) по его извес~ному изображению 'т'(р), то задача (8.40), (8,41) будет решена. !!иже мы рассмотрим различные способы определения оригинала по заданному изображению, а сейчас продолжим рассмотрение еще ряда общих свойств изображения.
д) Изображение интеграла. Свойство б. Пусть у(г) —.— Г(р), Кер) а. Тогда ! тр(()= ~у'(т)г(т=' — Р(р), Кер)п. о Вействитально, легко проверить, что функция ф(у) удовлетворяет всем условиям существовышя изображения, причем гр(1) имеет тот же показатель степени роста, что н у (г). Вычислив изображение функцяи гр(() по формуле (8.2), получим ~ у (т) ~(т =- ~ Е Гл Г(1 ~ Г" (т) ~(т. о о а Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования ), полу- чаем 4 Н ОснОВные сВОпстВА пРеОВРАВОВАния лАплдсА 223 е) Изображение свер гки.
Свертной функций уд(г) и ув(д) называется функция ф(Г), определенная соотношением гр (г) = $Л(т) Л (( — т) 6т = ~ Л(( — т) Л(т) (т. о в (8.46) В справедливости последнего равенства в первом интеграле замену переменной Имеет место следующее С в о и с т в о 6. Если Уд (1) =' Ед (р), Ке)д о ад то гр(() — — ГУд(т)Х (1 — т) ' сЕ (р)Е (р) о легко убедиться, сделав интегрирования д — т=т'. Ке Р ) ав гд (г) =' св (Р), КеР)шах(ад, аядп (8.47) ! ~ г д (т) гв (à — т) Ыт — Л(дЛ4с ~ е"' еомд — О с(т = в о а,— ав' ) и,— и,, а = шах (и;, аД.
Степень роста свертки, очевидно, равна наибольшей степени роста функций Л(т) и гд(Г). Легко видеть, что гр(г) удовлетворяет и остальным условиям сушестповапия изображения. Для вычисления изображения свертки воспользуемся формулой (8.2) и изменим порядок интегрирования в): оо оо оо ') е Р'г(г г)уд(т)уд(г — т) г)т = ~ Уд(т)г(т ~ е Р',гд(д — т) г(д.
о в в Сделав замену переменных г — т=г" во внутреннем интеграле, окончательно получим ~ (д(т)~,(Ф вЂ” т) 6т.гь ~ е Рт Гд(т) г)т ~ е Реуя(1')г)У' =Е (Р)Ев(Р), в О о что и доказывает свойство 6. В приложениях формула (8.47) часто используется для определения оригинала по заданному изображению, когда заданное изображение удается разбить на сомножители, для которых оригиналы известны. Например, пусть требуется найти оригинал функции Д (Р) -. (ад+ ы')д ' *) О возможности изменения порвдка интегрирования см, ссылку на стр. 222.
Свертка функций уд(д) и уя(г) с ограниченной степенью роста также является функцией с ограниченной степенью роста. А(ействительно, 224 Основные пОнятия ОпеРАциОннОГО исчисления 1Гл, 5 Ранее мы нашли (см. формулы (8.2!) и (8.22)), что — .- — С05 208 — Мп ыт. й р2,22 ' ' р2+ ыэ Поэтому г (Р) = — 5!22 ест со5 ы (à — т) 82 = - яп Оэб 2 Рассмотрим епге ряд обицих своисгв изображении, ж) 11ифферепцирозаппе изображения. С н о й с т в о 7.
Пусть Р (р) — -'. Д(г), Ке р ) а. Тогда Р' (р) -"-. — 27'(1), Ке р ) а. (8.48) Деяствительно, вьппе мы отмечали, что производную аналити ~есной функции Р(р) в области ее определения Кер)а можно вычислять, дифференцируя подьштегральную функци2о в несобственном интеграле (8.2) гю параметру.
Проделав это, получим Р' (р) = — ~ е '" (Г (г) г)г =' — 17" Я, о что и доказыпает своисгво 7. Заметив, что умноэкение функции 7"(г) на любую степенную функцию Г" не меняет ее степени роста, получим Свойство 7'. Если р(р) =.— '.Г(г), Кер~а, то Р(а) (р) ' ( 1)л (пУ(У) (8.49) (8гбО) Обозначим !(р) = ~ е Р' — И. о (8,о!) По теореме 8.2 функция 1(р) является аналитической в области йер м а, причем в силу замечания на стр. 218 7(со) = О. найдем Формулы (848) и (8.49) могут быть применены для вычисления ИЗОбраэКЕНИя От ПрОИЗВЕдЕНИя Гн Па фуПКПИЮ Г'(1), дпя КОтОрОЯ изображение известно. В дальнейшем м22 получим общую формулу, выража2ощую изображение произведения через изображения сомножителей, а сейчас рассмотрим еще одно свойство изображений.
з) Интегрирование изображения. Свойств о 8. Если функция — удовлетворяет условиям суще- ) (1) ствования изображения и т"(Г) д— то(р), Кер ~а, то з Н ОсНОВные сВОистВА пРЯОБРА30ВАния лАплАсА производную функции !(р), дифференцируя интеграл (8.51) по параметру: ! (р) = — ~ е Р' р(1) г(1 = — Р (р). о Отсюда, учитывая условие !(ОО) =О, получаем Р О !(р)=!( ) — ~ Р(!) В1=(Р(БИЧ, СО и что и доказывает свойство 8. 1 В качестие примера напдем изображение функции — ап ыг. О« Так как а«п юг =.',, то Р'+гоэ ' (8,58) что и доказывает теорему смещения. Формула (8.54) может быть применена для определения изображения произ- ведения функции е'«' на функцию 1(1), для которой изображение известно. Так, с помощью этой формулы и уже полученных изображений можно найти 1 1еаг=,' —, Кер)йеа, ' (р-а)' глааг — ' и! (8.56) (р-а)"" е Отмпю1ВВ ...
Мер)'1щю! — кеа. (8.5У) ' О+а)'+ею Ке р ) Ке а и т. д. — з1п в«1-Д Ла ор = —;- — агс«8 —. (8.52) Л р'-1-ья 2 ь« ' С помощью свойства 5 нз выражения (8.52) получас«« Г а«п т , 1 ! п з«1= ~ — 8т .' — ' — агсгйр1. о Функция з«1 носит название интегрального синуса. и) Последнее свойство изображений, которое будет рассмотрено в данном параграфе, носит название т е о р е и ы с и е щ е н и я. С в о й от в о 9. Если у'(1) =' зс (р), Ке р ~ а, то для любого комп- лексного числа А, гс (р + ) ) -. 'ь- е «г ! (1), Ре р м а — Ке Л. (8.54) Лействительно, функция гр(1) =е «' !(1), очевидно, удовлетворяет усло- виям существования изображения, которое по формуле (8.2) определено н области Кер ьп — Ке)., но ~ и и'е «'у(1) Й=~ е ГР"'.«'у(1) г(1 =Р(р+)), о о 226 ОснОВные понят11я Опенлционпого исчисления 1гл.
8 Л л 1) ~ и;Г7(()='- ~~~и1Р1(Р), и;=сопл); 1 =- 1 7' =- 1 2) Г(и1)=Ч .-17,-- 7, и=,сопя(, и~О; 1 7р1 (О, т)й 3) Гт (1) = ~ )т (1) =:. е-Р' Р (Р); (7(- ), *==-й 5) 1 У(т) г)т ти — Р'(Р); о Р 6) ~ Л (т) Га (1 — т) г(т = — ~ ~1 (1 — т) 7; (т) г(т =-'- Рт (Р) Р'я ( Р); о о 7) р'"7(Р) ='( — 1)л1" У(т); 6) ~ р(Р) Гра((г"1 Р 9) 7ч (р+ ).) =7— - е 77 г" (1). 5.
Таблица изображений. 1) 1='.- —, Кер~О; Р' 2) Гг ='; —.', т ) — 1, Г (1+1) Р7 7 1 =ь —",,'„ Р 4) сч7 ='. —, Кер)Кеи; 77 — и ' 5) з1п ь71 — —, „Кер) , .1пз аз ~; 17 +ю~' 6) созю1=: —... Кер л 7!п11о~; 7) зплг =-'=,, Х 77а — Х 8) сй 72 ='-, Р .„Ке Р ~ ', Ке г.
~; 9) 1лечг = л Кер» Кеи. Кер. О; п — целое, Кер ) О; Кер) ~ ~Ке) В заключение данного параграфа приведем таблицу рассмотренных свойств изображении и таблицу изображении ряда элементарных и специальных функций, наиболее часто используемых В приложениях.
4. Таблица свойств изображений. 11усть 7"(1) = — ' и (р). Тогда ОПРЕДЕЛЕЬ!ИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 227 О) Гз!пв(=г — '," а,„Кер' 1гпв'; (Р'+ в')" 11) Г соз в( тг (Рг+в')г ' 12) еыз!пв1 —:-,,„Кер (Ке).+ !гав ); 13) схгсозв(= — ' РА,,„Кер)(Ке).+'1тв ); 14) -='-- — агс1и -Р-, Кер~!,!яв', 2 в' 1, 2(гт ( г ( (27г+ 1) т~ 15) 1 — 1, (2)г+1)т=-тс. (2(г+2)т! ' Р 2 ' (г=О, 1, 2, 10) 'з!пап'==' —,,сй -'., Кер)(!пав,'; Ра+ва 2в' — Р', 17) е — "" =.-'- !в 'ч етап 1 — Ф вЂ” Г-,!; 2,,2и,') ' !к) . 1 1'ч) ' У -(- ' — ач Уг 19) =='= — е Р 1 — Ф,— Улг ' УР г 'РРд 20) lа (гх() = у' па+ Ра ! 21) lа(2У'т) аэ — Е Р 22),г'„(г) —; — '- )' Ра 1 (л 23) я Г=,'= — ~-' —,— агс(~РН ''и (2 /' 24) Ф ()/гт() =,'- Р! Р+в 25)1 — Фг г:У вЂ” е" (2У( / Р Кар) !гп в ча 2.
Определение оригинала по изображению В этом параграфе мы рассмотрим методы определения оригинала по заданному изображепшо, а также приведем некоторые достаточные условия, при которых задингая функция 7г(Р) комплекснол пере- При деаствительных значеняях параметров, входяших в функции г(1) в формулах 17) — 25), изображения соотаетсгвукяцих функции заведомо определены в обласпи Ке р Р О. ггй основныв понятия опнплцнонного исчисления !гл,в р(О= —,, 1 еж р(р)с()>, х) а.
! (8.88) До к а аз тельство. По условию, теоремы функция у(1) существует и нам известна ее степень роста, !'ассмозрим вспомогательную функцию гу(1) = е -" у(1), х) а. Эта функция является кусочпогладкой, на любом ограниченном учаспзе оси 1 имеет конечное число точек разрыва первого рода п зкспопеншгально стремится к нулю прп 1-> со, Она может быть представлена с помощью интеграла Фурье ':") гр(1)= —, ~ ай ~ гр(В)е'и 'вбз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
