А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 44
Текст из файла (страница 44)
5, '9 4). Установим следующее соответствие точек действителыюй оси плоскости Е и вершин ~реу~ольника; Ат -э- ~ = О, Ла — Ф- г, = сх', А, ~=- — 1. Так как углы при верщинзх треугольникз соответственно рзвны лес,=О, песа= — пес и ппа=л(1+а), то искомый интеграл должен иметь впд =С ~ ~-'(1+~)" д~+С,. (7.98) *) Заметим, что вершины Аг и Ая находятся в бесконечности. 210 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ [гл. г Из соответствия точек Ао (а=!(г) и ~= — 1 с.тедует, что при ьо = — 1 получим г = С 1 — „г(Ч + [гь Г (1+о)» ь — ! (7.99) Чтобы определить постоянную С, замепом, что обходу точки ь=О в верхней полуплоскосп! по дуге полуокружности бесконечно малого радиуса р в направлении против часовой стрелки соответствует переход со стороны А, А, на сторону АдАо. При этом приращение е равно Ле = гу!.
С другой стороны, нз (7.99), положив ~ =рего и перейдя к пределу прн р -ь О, получим Ле = !С Ип! ~ (1 + рего)о о[[[о =- [лС. Р ОО Отсюда С = —, и окопчателыюе выражение для интеграла (7.99) Ь имеет вид ( +ъ) [во+[)) Тогда параметрические уравнения эквипотенциальной кривой и = о, = = сопв1 (О ио -- 1) принимают вид А х= — (1+ли+опалов е "), — 00 ( и ~ Со, у=-- (лео+гйплэо е""). л л функция [,=ел . осуществляет конформное отображение полосы 0» 1гп ы е 1 плоскости вана верхнюю полуплоскость ~.
Поэтому функция лм =-~- ~ "+~) 1~+я л — ! осуществляет конформное отображение полосы 0 (1гп ц'( 1 г[лоскости л~ па данную криволинейную полосу З плоскости г. При этом прямая [т те = 0 переходит в нижщою обкладку конденсатора АТАо а прямая )гп ге =- 1 — в верхнюю обкладку, представляющую собой ломаную А,ЛаЛ,. Из формулы (7.100) при о = [т в = сопя[ получим параметрические уравнения потенциальных кривых данного электростатического поля.
Например, в частном случае при [х = 1 нгпеграл (7.100) вычисляется в элементарных функциях: д е =- — (1+ лев+ е""). 5 21 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ А!ЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 211 В частности, УРавнение сРедней эквипотенпиальной линии ~оа = — 1 / 11 имеет вид А А у=--+ ЕА 2 л Эквипотенниальные линни, соотвегствующие различным знзчеииям о, 1' приведены на рнс.
7.5. При о„) — легко определяется значение 2 х,, по формуле А / 1 х,,„= --1и л 1 сояла,,'' -Х иэ.= з ия< Р ир>-„- 7/ / / / / / / и=/ Лз У / / Е=л йюах Рис. 7.5. Полученные результаты легко позволяют определить то расстояние от края конденсатора, изображенного па рис, 7.5, на котором поле конденсатора с заданной степенью точности можно считать плоским. Вообще, методы конформных отобрав'ений широко используются при расчете плоских электростати меняемых для фокусировки работы многих физических ческих и магнитостатических линз, прнэлектронных пучков, что необходимо для устронств.
ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Гпетоды операпионного исчисления представляют собоп своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь дифференциальных уравнений, получнвшип довольно широкое распрострзнение. В основе этих методов лежит идея интегральных преобразования, связанная с сопоставлением решению исходной задзчи, фупкпии уды) действнгельноИ переменной, некоторой функции е тр) комплексноп переменной так, что обыкновенное дифференпиальное уравнение для функции у"сг) переходит в алгебраическое уравнение для Е Ог). Аналогично уравнению в частных производных для функпни двух действительных переменных может быть сопоставлено обыкновенное дифферендиальное уравнение и т.
д. Это позволяег облегчить технику вычислений. Основную роль в операционном исчислении играет преобразование Лапласа, с изучения свойств которого мы и начнем изложение. ф 1. Основные свойства преобразования Лапласа 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции уП) действительной переменной т функпию Е1р) комплексной переменной р с помощью соотношения Р(р) =~ е лгУН)п'Е о Естественно, что не для всякой функпии Д1) этот интеграл имеет смысл.
поэтому мы начнем с определенна класса функций у11), для которых данное преобразование заведомо реализуемо. Будем рассматривать функции у 11), определенные для всех значении действительной переменной — оо (1( со и удовлетворяющие следующим условиям: 1.
При 1(О К(1)= — О. 2. Прп г =: О функция г"1г) па любом конечном участке оси 1 имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 213 3. 11ри 1-«со функция у(1) имеет ограниченную степень роста, г. е. для каждой функции рассматриваемо~о класса существуют ~акис положительные постоянные сИ и а, что для всех 1) 0 (8.1) / У(1) ', Лдеас Точная нижняя грань тех значений а, для которых имеет место неравенство (8.1), называется пол азателелс сслелени роста функции 1(1).
Легко, в частности, видеть, что показатель степени роста степенной функции у(1)=-1" ранен нулю. Огмепсм, что функция у(1) может быть комплексной функцией действительной переменной 1: с(1) =Л(1)+сса(1), где 1г(1) и 1а(1)— действительные функции. Введем основное определение. Преобразованием 3!асгласа заданной функции у(1) действпслельной лерелсенной 1 назьсвается преобразование, гтавялсее в соответствие фг нкцсссс у(1) фунлцпю р(р) колтлексной переменной р, определенную с лолсоисью интеграла (8.2) с (р)= ~ е Рсг'(1)с11. о Заметим, что интеграл (8.2) является несобственным интегралом, зависящим от переменной р как от параметра.
Очевидно, интеграл (8,2), вообще говоря, сходится не при всех значениях параметра р. Действительно, если функция у(1) стремится при 1 -« ОО К ОтлнчнамУ ог пуля пределу, а Кер ( О, то нгпеграл заведомо расходится. Поэгому естественно поставить вопрос об обласгн сходимости интеграла (8.2), а тем самым об области определения функции со(р). Теорема 8.1. Интеграл (8.2) сходсился в области Кер ) а, где а — показатель степени роста функиии 1(1), лричелс для любого хь) а интегра г (82) в области Кер =.-хь ) а сходится равномерно.
Кок аз а тельство. Всгя любого р=-х+су при х)а можно указать") такое Б)0, что х)а,=а+а, причем 'у(1)г<сИе'с. Тогда, воспользовавшись признаком сравнения сходимости несобст- ВЕННЫХ ИгпЕГРаЛОВ ь'"), ПОЛУ СИМ )р(р) = е Рсс'(1)б1 =сИ е лсеьпс(1= —, х)а,, (8.3) Аг ') Это позволяет рассматривать и неограниченные функции, показатель степени роста которых равен нулю.
"") Сгг. БЫгг. 2, стр. 367. 2!4 ОснОвные понятия ОпеРАциОннОГО исчисления [Гл. 3 что и дает основание сделать заключение о сходимости интеграла (8.2) при х~ а. Если х)хо ь а, то аналогичная оценка дает [Е(р) ' =М [) е [т-о ыс(с=в хь — о,' (8 4) что и доказывает в силу признака Вейерштрасса в) равномерную сходичость интеграла (3.2) по параметру р в области Еерхо)а, ) е с')(Г)й((М. д (8.
Ь) Тоадо для всех р, удовлетворяющих условию мер) Ке ре, сходится интеграл е Р~) (т) йс, (8.6) Ь До к аз а тел ь ство. Обозначим ф(Г)=е сйг(Г) и введем вспомогательную функцию Т (Г) = — ( ф [т) йт. Заметим, что р' (Г)=ф (г). Кроме того, в силу сходилюсти инте~раза (8.5), очевидно, для заданного е')О можно указать такое Т„что, Е(Г), (е' при Г Т,. т, РаССМОтриМ тЕПЕрЬ ИНтЕГраЛ ) Е С'[(Г) йт, ГдЕ Т, И Те — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ действительные числа, удовлетворяющие условию Те) Т„н представим его в виде т, т, т, е Рг) ([) йт= ~ е — ~о — лй ф [Г) д[ — '[ с ~Р— Ри гР~ [[) йт т, т', Вычисляя последний интеграл по частям, получаем т, ( е 'Я сы Р'(Г) й)= т', т, е — [о сь!тчс(т) е ~Р Рдт, г (т)+(р р) ( е — (с снгр (г)йг *) Сэь вып.
2, стр. 424. Приведенное доказательство существенно опиралось на условия 2 н 3 определения рассматриваемого класса функций ) [г) девствительной переменной г. Однако можно расшнрцть класс функций ) (г), допускающих преобразование Лапласа. Для этого предварительно докаэкем следующую лемму. Лемма.
Пусть функция ) (Г) действительной переменной Г определена для всех à — О, и пусть существует таксе комплексное число ре, что сходится ин- теграл 215 ОснОВные сВОнстВА пРеОБРА30ВАния лАпллсА й 11 Отсюда при Т,, 'Га) Т, н йе(р — ро) ) О получим ! г, ( -Но1О-О, г,,— Ною — О1Г,) + 7"~ +,, Р— Ро (,— не<о — о.1 г1 е — не~о — о,1 г,) ' йе(р-ро) ' <а ~2д Р Ро — нщо — о 1г йе (р — ро)) Очевидно, всегда можно так выбрать значение То, чтобы полученное выражение было меньше любого наперед заданного а ) О. Это на основании признака Коши ") и доказывает сходииость интеграла (8.6).
Можно доказать и равномерную по параметру р сходимость интеграла (8.6) в области йе р =: йе р, = йе ре На основании доказанной леммы можно в качестве основного класса функций ) (г) действительной переменной г, для которых строится преобразование Лапласа (8.2), рассматривать функции, удовлетворяющие условию (8.51.
Функпии, удовлетворяющие данному условию, будем называть принадлежащими классу А (ро). Итак, с гюмощью преобразования (8.2) фуикпия ге(р) комплексной переменной р определена в полуплоскости комплексной плоскости р правее прямой йер = а, параллельной мнимой осн. Заметим, гто из формулы (8.3) следует, по ~ е (р) ' г. О при йер- Оэ. Функпия ге(р), определенная через функцию Т"(1) с помощью преобразования (8.2), называется изображенгге.гг Лапласа функпии у(О.
Функпия Т(В) называется оригиналом функпии р(р). Связь функций г'(г) н ге(р) будем- символически обозначагь следующим образом е"): у(г) —,— ' Г (р) или го (р) =' у(у). (8.7) Отметим, что в практических приложениях часто по.тьзуются так называемым преобразование.и Хевисайд а: и (р) = р ) е огг (1) Ш, о (8.8) *) Признак Коши сходнмости несобственных интегралов см. вып. 2, стр. 364.
'") В литературе встречаются н другие символические обозначения, на- Пример: р (р) — ((1), р (р) —,/(г), Р (р),1 г (Г) и т. д, отличающимся от преобразования Лапласа дополнительным множителем р. Очевидно, область определения функции Р(р) га же, чго и для функции ге(р). В дальнейшем мы будем рассматривать только преобразование Лапласа (8.2). Свойства преобразования Хевисайда (8.8) легко могуг.
быть получены на основании рассматриваемых ниже свойств преобразования Лапласа 21б ОСБОВные Понятия ОпеРАциОНБОГО исчисления !Гл. а Как мы видели, наиболее важным классом функций комплекснои переменной являются аналитические функции. Выясним, является ли функция Е(р) аналитической. Теорема 8.2. Изображение Лапласа (8.2) функцтг г" (Г) яв,гнется аналитической функцией комплексной перелгенной р в обласпт Кер ь а, где а — показатель степени роста функции г (Г).
Л о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 8.1 несобственвыи иптегра.т (8.2) сходится в области Ке р ) а. Разобьем интервал интегрирования на отрезки 1гг, Гг 1) ПРоизвольнои конечной длины, причем Го=0, (л-ьсо при п-ьсо. Тогда функция р(р) при Кер) а представляет собой сумму сходящегося ряда л-1 Р(р)= У ~ е.ггг(1)аг! 5' и (р) л=о гл л=о (8.9) Заметим, что поскольку п-й остаток ряда (8.9) равен ~ е Р11(Г)Ш, л 1 то согласно теореме 8.1 ряд (8.9) сходигся равномерно в области Кер ко~а. Каждая из функций Л. 1 ил(р)= ~ Е Рг!ЯСГ1 л 18.10) Тогда г (1) — = Е (р) = ~ е '" 111 = —, 1 Ь *) Сы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
