А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 45
Текст из файла (страница 45)
гл. ! стр, 52. '*) См. гл. 2 стр. 62. определена как интеграл, зависящий от параметра р, по отрезку конечной длины на комплексной плоскости б ~а основании общих свойств интегралов от функциИ двух комплексных переменных, зави- СЯЩИХ От ПаРаивтРа Л), ФУНКЦИИ ил(Р) ЯВЛЯЮГСЯ ЦЕЛЫМИ фУНКЦнгкин Р. Из проведенных рассуждении следуе~, что ряд (8.9) в обласыг Кер >а удовлетворяет всем условиям теоремы Вепершг расса "'), а значггп функция е (р) является аналитической в области Кер ) а и ее производные можно вычислять, дифференцируя' подынтегральпую функцию в (8.2) по параметру р.
2. Изображение элементарных функций. Пользуясь определением (8.2), найдем изобрзжение ряда элементарных функций действительной переменной. а) Единичная функция Хевисайда. Пусть 217 4 1! ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОВРАЗОВАННЯ ЛАПЛАСА причем функция гг(р), очевидно, определена в области Кер » О. Итак, )О!.=0.1 оа(г)=, —,— ' -, Кер-»0. '(1,!. О' (8.! !) Отметим, что если вместо преобразования Лапласа (8.2) пользоваться преобразованием Хевисайда (8.8), то изображением единичной функцпи аа(!) будет функция Р (р) = 1. Этим объясняется достаточно широкое применение преобразования Хевисайда. Однако в случае преобразования Хевисайда (8.8) усложняется ряд других формул, в частносп! формула обратного преобразования, формула изображения свертки (см.
ниже сгр. 223). Условимся всюду в ггальнейшеы, если это не оговорено особо, под функциеИ г'(!) понимать произведение гг(1) аа(!), т. е. функцию, тождественно равную нулю при г(0, не отмечая это специально в соответств>ющих формулах. б) 11оказательная функция у(г) = еаг Вычисляя интеграл (8.2), полу ~аеас (8. 12) с(Р):= е Р'с™г(1= —, Кер)Кегх; ! Р— и' е = —, Кер)Кеса. 1 Р— сг' (8.13) в) Степенная функция Д!) = — Р', и ) — !. В этом случае интеграл (8,2) пмеег вид (8.14) с (р) = ~ е-РггЯ г1! ~ е-Рг! Ш Кер.,»0 (8 15) Заметим, что при м(0 функция (8.14) уже не удовлетворяет условию 2 стр.
2!2 (точка с==О является точкой разрыва Вгорого рода этой функции) и тем самым не принадлежит основному рассматриваемому классу функции дейсгвительной переменной, для которых с>чцествует изображение Лапласа. Однако„как легко видеть, при т — ! эта функция принадлежит расширенному классу, введенному на стр. 214 (интеграл (8.! О) сходигся при Кер ) 0 и м) — 1). Г!Оэтоыу и в случае — ! <и< 0 изображение Лапласа функции (8 !4) в области Кер) О сущеспгуег и онределяегся формулой (8.!б), Лерейдем и вычислению интеграла (8.18). Начнем со случая, когда переменная Р принимает действительное значение р =х .» О. Сделав ОснОвные пОнятия ОпеРАциОннОГО исчисления |Гл.
а в интеграле (8,15) замену переменной интегрирования х(=з, получим ГдЕ Г (Ч+ 1) — ГаММа-фуПКцня 'з) ЭИЛЕра. ТаК КаК фуНКцИя С (р), определенная формулой (8.18), является аналитической в области Кар ) О, имевшей на положительной части действительной оси х ) 0 значение (8.16), то в силу единственности аналитического продолжения для функции с (р) в области .Кер)0 получим выражение Г(р) = ~ е Р'Гт|(! = (8.1 7) з При этом в случае дробных ч следует выбирать ту ветвь многознач- 1 ной функции —, которая является непосредстаенныч аналитическим р1 ! 1 продолжением в.
область цер) 0 действительной функции —,, действительной переменной х )О. Итзк, !Тсе ( +, ), Я) — 1, Кер)0. Г (ч+1) (8. 1'8) Вля целых я =и из формулы (8.18) получим , Г(и+1) и| — — йер) О. рз ! (8.19) с(р)= ~ а;гз(р)=- ~ сз|г|(Г), Кер)!пахан (8.20) ~=! ~ =! где ой — заданные постоянные числа (действительные или комплексные), а! — показагели степени роста функций !|(!). Ланиое свойство позволяет по найденным изображениям функций (8.13), (8,18), (8.19) иайта изображения многочлеиа, тригонометрических и гнпербо. лических функций.
') Определение и свойства гам!!а.функции см, вып. 2, стр. 434. Вычисляя интеграл (8.2), можно получить изображение еше ряда функций действительной переменной, однако во многих случаях для вычисления изображения заданной функции удобнее, оказывается, пользоваться обшими свойствами изображения Лапласа, к рассмотрению которых мы и перейдем. 8. Свойства изображения. а) Линейность изображения. В силу известных свойств определенных и>пегралов, имеет место Свойство 1.
Если с,(р)=С.Л(!), Кер ьа; (! 1, ..., и), то 2!9 $ Н ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Например, с помощью (8.!3) получим сов агт= — (сны+о 'ы') .. —,' —.+ —. 2 ' 2,р — гсо р+гы,' ре+ые' йер) 1шыь (8,21) Аналогично о1пагт — '.—,, Кер) 1шый ре ! юг (8.22) б) С в о й с т в о 2. Пусть гс (р) =-' г (Г), Ке р ) и, тогда --р -~ —" ф)(а!), а~О, йер)а. (8.23) Лействителшго, оо е ргу(а$)М= — ~ е " Г"(т)пгт= — „р' р',. !' О, ~ч 'т, т>О, .ут(!)=-! ~„ Тогда у.(г)='р.(р)=е "р(р). з(ействительно, рт (р) = ~ е "' гт (1) пг! = ~ е ж г" (! — т) Й.
(8.24) (8.2о) Сделаем в последнем иьпеграле замену переменной, положив 1 — т = Р. Тогда го (р) = ~ Е Рн '"тз Г'(р) ПГт = Е "тг'- (р), а что и доказывает свойство 3. В качестве первого примера рассмотрим изображение ступенчатой функции г'(г) = О, г(г, п(о, от= Г((п+ !) т, п=1, 2, ... (8.26) Представим Г (Г) с помошью единичной функпии Хевисайда по; ) (Г) = У г [по (à — т) -1- по (à — 2т) + " ).
Испачьзовав свойство линейности и теорему запаздывания, получим ((!) -=р(р)=(ое Рг +!ое ест . ! О о з о р ''' р ! е-Рт' (8.27) в) С в о й с т в о 3 (т е о р е м а з а и а з д ы в а н и я). Пусть Р (р) ф =Д(1), Йер ~а и задана функиия 220 основныв понятия опвякционного псчислвния (гл,з 1(1) Р(р)= ' 18-'. (8.29) Теорема запаздывания позволяет получзпь и довольно общую формулу для изображения периодической функции. Предварительно рассмотрим тот случай, когда функция 1(() действительной переменной т имеет вид ~р(т), О.=.т~т, ) (г)=- -( О, т=.='П (8.30) Обозначим изображения функции ср(1) ~1з(р) и гр(1+т).,— 'Фт(р). Перепишем (8.30) в виде (- О, О - т ~ т, ) (т) = ср (г) + — ~р (г — , 'т — т), 1.== т.
Воспользовавшись линейностью изображения и теоремой запаздывания, получим ) (1) -'. Е (р) .=- Ф (р) — е Рт Фт (р). (8.31) Пусть теперь функция гр()) является перноднческоп функцией т с периодом т, т. е. ф И+т) =(т (1). (8.32) Тогда Фт(р) —.— Ф(р), и формула (8.31) позволяет выразить изображение Ф(р) периодической функпии ф (т) через изображение Г (р) функции ((г), равной функции ср(с) на первом периоде 0==. (=.с н нулю вне его при г =: т: г (р) 1 — е Рт В качестве примера найдем изображение фуякпии с( (Г) =, з!п Оэт, со ° и. (8.34) Зта функция является периодической при 1 -.
0 с периодом --, Предварительно найдем изображение функции 0((-- --, и (8.35) С помощью формул (8331), (8.22) и равенства мп се, (+ -- = — мп Ы получим и) юу и т Отсюда по формуле (8.33) получим — л ю 1+а се рп ~яп юг — срй — '- рз+ы' и я рз+юз 2ю' 1 — е (8.36) Аналогично легко ((г) =( является функция показать, что пзображением периодической функции 2лт ==' Г ( (2п+ 1) 'г, л=О, 1, 2, ..., (8.28) — ро, (2п+1)с=с((2п+2)т з(п юй )(1) =з ~о, $ и ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАННЯ ЛАПЛАСА 221 г) Изображение производной. Сейчас будет доказано одно из основных свойств изображения, позволявшее ааменить дифференцирование оригинала умножением изображения на независимую переменную.
Свойство 4, Если функция т" (() удовлетворяет условия.а существования ггзображенггя и У(т)=гр(р), Кер, ~а, то )" (1) ='- рр (р) — г" (О), Ке р г а. Т(ействггтельно, интегрируя по частям, получаем ~'(г)=-'5 е «гу'(()агт=е «'У'(() +р$ е "1(1)й=рр(р) — У(0), о о о (8.37) Р 1«) (р) р ( ) ° что и доказывает данное свойство.
Аналогичгго можег бьгть доказано Свой ство 4'. Если функция Ухгн(Т) удав гетворяелг условияш существования изображения и у(Г)= — Е(р), Кер >а, то Утш (() =' р" )Е (р) — — — —, —... — (, Ке р ) а. (8.38) ( (О) ( (О) ( — (0)г Формула (8.38) особенно упрощается в том случае, когда )"(О) =- = у' (О) =, . = г — (о) = о: г'Шг(() ' рггр(р) (8.39) Полученный результат находит многочисленные применения. Рассмотрим, например, решение следующей задачи Коши для обык- новенного дифференциального уравнения, линейного с постоянными коэффициентами: а у'"'+ а,угл г'+ ..+ а у(() =У(1), (8.40) у(О)=у'(О) =...=у1 — г(О) =О, (8.41) где г"(1) — заданная прн 1=-0 функция Е Положив, что г'(Т)= — 0 при У~О, мы В том случае, если Г(т) удовлетворяет условиям существо- вания изображения, можем построигь изображение Е(р) функции г"(1). Предположим, что функпия у(Т), являющаяся решением задачи (8.40), (8.41), и все ее производные до л-го порядка удовлетворяют усло- виям сугнествования изображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
