А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ладим выражение этих величин через ггозгплексный потенцизл .!ечения. Рассмогрнм кусочно-гладкую плоскую кривую С (рззомкнутую или замкнутую) и наедем па ней векторы дифференциалов дуги дз и нормали !Гп с помощью соотношений дз =1 их+ )с(у, (7.37) г(п = 1 г(ч — 1 г(х. (7.38) Имеет место очевидное соогношение п дз = с!п, где п — единичная нормаль к кривой С, а с!э †дифференци длины дуги этой кривой. 11ри положи!ельнот! обходе замкнутой кривой С формула (7.38) дает направление внешней нормали. Потоком вектора скорости ч через кривую С (разомкнутую или замкнутую) называется криволинейный интеграл от нормальной составляющей скорости (7.39) Дгс=~(ч п)дз. с Очевидно, этот интеграл определяет количество жидкости, протекающей через кривую С за единицу времени.
Интеграл (7.39) запишем в виде .Чс — ~ ч пп = ~ ч„ду — чт пх = ~ д — ду — д-. 1х = ~ -- г(х+ ау Г ди ди Г дн ди (7.40) При определении подъемной силы, действующей со стороны потока жидкости на обтекаемое им !ело, большое значение имеет сгепень завнхрепности потока, которая характеризуется значением циркуляции. Пиркуляцией вектора скорости вдоль кривой С называется криволинейный интеграл от касательной составляющей вектора скорости: Гс = ~ ч ° г(з.
с Выражая скорость ч через колшлексный потенциал, получим 1, = ~ чс(а= ~ члФх+чгду= ~ —.Ых+ — Ыу = - с(х — -- г(у. с с с (7.42) Рассмотрим на комплексной плоскости интеграл вдоль кривой С от производной комплексно~о поте!щизла: =-'2 -2 ~: 2 7"'(а)Ыз =- ~ - с!х — — г(у+! ~ -с(х+ — Ыу. (7.43) с с 194 нянь!с!!ение лнллнтичесгснх Фугчкцггг! 1гл. г Сравнение (7АО), (7.42) и (7.43) приводи~ к формуле ~ У' (») а» = г с -(- 1г'ч'с. (7А4) с Эта формула, дающая выражение циркуляции и потока вектора скорости через производную комплексного потенциала, находит многочисленные применения в гидродинамике. Заметим, что если облзсть о, в которой рассматривается движение, является односвязной, то интеграл (7Л4) по любой замкну гой кривой С, целиком лежащей в У, равен нулю в силу теоремы 1(оши. В случае движения в многосвязной области У интеграл по замкнутой кривой С, целиком лежащей в У, может бьжь отличен от нуля.
Это будет иметь место, когда внугри кривой С содержигся область У', не принадлежащая К в которой находятся источники и вихревые точки рассматриваемого течения. В этой области, очевидно, нарушаю гся уравнения (7.30) и (7.31). В часпюм случае область У' может состоять из отдельных точек, которые при эгом являются изолированными особыми точками аналитической функпии 7( ) — комплексного потенциала течения.
Итак, всякое плоское попгенциальное течение в облав!пи, в которой отсутствуют иппо !ники и вихревые точки, может быгпь описано с полгоигью комплексного погпенциала, являюигегося аналигиической функцией кол!алев»ной переменной, Тем самым для изучения данного класса течений может быть использован весь аппарат теории аналитических функций. рассмотрим ряд примеров простейших течен ий, описываемых элементарными функциями комплексной переменной. а) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид Д(») = а», (7.46) где а= ах+!аз — заданное комплексное число.
Тогда и (х, у) = агх — азу, и (х, у) = — агх+ а,у и линии тока о (х, у) = С представлягот собой прямые, угол наклона аг которых к оси х определяешься выражением 13 а = — — '-. фора! мула (7.36) дает (7.46) иг = ч„+ гч„= 7' (») = а = а, — (а„ откуда следует, что скорость течения постоянна и направление вектора скорости совпадает с прямыми и(х, у) =С.
Итак функция (7.43) определяет плоскопараллельное течение. б) Пугпь комплексный потенциал течения имеет вид 7 (») = а1п», (7.47) где а — действительное число. Тогда, перейдя к показательной форме записи» = гегч, получим выражение потенциала и функции тока 195 Э г! ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ в полярных координатах: и (г, гр) = а 1п г, и (г, гр) = агр. !а! ,'а! 1=!.г ( )!= г~ г (7.48) а вектор скорости направлен по лучу гр =сопя(. Из (7.48) следует, что в начале координат скорость обращаегся в бесконечность.
Точка =О, особая точка функции У(г), в агом случае являсгся источником течения (положительным источником при а)0, когда скорость направлена от начала координат, и отрицательным источником или стоком при а(0, ко~да скорость направлена к началу координат). Взяв произвольный замкнутый контур С, содержащий точку г = 0 внутри, по формуле (7.44) получим 7'(г)г( = ~ — г(г=г2па=Гс+гАгс Отсюда Агс=2па. Тем самым в рассмзтриваемом случае поток жидкости через любой замкнутый ко|иур, содержагций внутри источник, постоянен и равен 2па. Эту величину называют мощностью источника. в) Пусть комплексный по1енциал имеет вид у" (г) = !а 1п г, (7.49) где а — действительное число.
В этом случае линии тока представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Из формулы (7.44), гак же как и в предыдущем случае, получим Агс= О, Гс =. — 2па. Точка г= О в этом случае называется вихревой ~очков течения. г) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид г (г) = а! и (г + 1г) — а ! и (г — Iг), ('7.80) где а — положигельное действительное число, а й — некоторая комплексная постоянная. Согласно предыдущему э|ог потенциал определяет течение с положитеггьныяг источником в гочке = — и и стоком в точке г=+ (г, причем мощность источника и стока одинакова и равна 2па.
Перепишем (7.80) в виде 1п(г+А) — 1и(.— Д) 2А и перейдем к пределу при !г-ьО, полагая, что мощность источника и стока при этом возрастает так, что величина гл = а21г остается Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, выходящие нз начзла координат, а эквнпотенциальные линии — окружности с центром в начале координа~. Абсолютная величина скорости при эгон равна ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 1ГЛ. 7 постоянной.
В результате получим Та(х)=" х (7аб!) функция (7.51) представляет собой комплексный потенциал дпполя мощности т, находящегося в начале координат, Линии тока дпполя, очевидно, определяются уравнениями —, =С ТЛД ха+уз или С (х'+у') + лгу = О, (7.52) т. е. представляют собой окружности с центрами на оси у, касанащиеся оси х в начале координат. При этом абсолютная веашчина скорости, равная та! )— (7.53) ! г 1' ха+уа ' стремится к нулю на бесконечности.
д) рассмотрим течение, комплексный потенциал которого имеет вяд Г"(г)=ч з+ —,, (7 54) Щ~ ч у— (7.5о) Значению С=О соогветствует линия тока, уравнение которой имеет внд — =О х +у Она распадается на прямую у=О и окружность ха+у'=па, где ГЛ аа = —, Так как Чаа (7 56) то на бесконечности скорость течения равна ч„и направлена вдоль осп х. В точках окружности х'+у'=-аа, являюсцейся линней тока, скорость направлена по касательной к этой окружности. Лля абсолютной величины скоросги в точках окружности я = ае7Ф из фор- где ч и т — положительные действительные числа, Очевидно, это течение представляет собой суперпозицию плоскопараллельного течения со скоростью, параллельной оси х и равной ч, и течещ7я, создаваемого диполеы мощности щ, находящимся в начале координат. Линии тока этого течения определяются уравнениями 197 а 21 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ мул (7.36) и (7хбб) получим ',ыС,, я='7'(г),, „=ч ~~1 — еягч~ =2ч, ~З1пгр~.
(7сб7) В рассмотренных примерах мы по заданному комплексному потенциалу определяли гидродинамические характерисгикн .|ечепия. Перейдем теперь к решению в определеннох| смысле обратной задачи, задачи об определентг когмплексного нотенцаа,|а лгеченип па его гпдроднна.||||чески.и характерпстакал|. Заметив, что поскольку физическая. скоросп, течения выраи|ается через производную комплексного погенциала (см. формулу (7.66)), то сам коыплекс|гый потенциал для заданного течения определяется неоднозначно, Однако его производная является однозпачнод аналигической функцией. Это означает, что в окрестности любав правильной точки течения имеет место раз- ложение (7.58) а в окрестности изолированной особой точки — разложение Г(г)= Х д (г — га)" (7 69) Из (7,69) для комплексного потенциала в окрестности особой точки г, получим разложение г (г) = Ь, 1и (г — г,) + г' с„(г — г,)".
(7.60) В частносп|, если бесконечно удаленная точка г принадлежит области течения и комплексная скорость течения в этои точке ограничена, то разложение комплексного потенциала в окрестности точки г имеет вид аг)=мт +Ь баг+ Х (7.61) в=я Отсюда получим ~ 7 ' (г) с(г = 2лгд т, с,'| (7.62) где Сл — окружность |г =77 достаточно большого радиуса й, вне которой нет особых точек функции Дг), за исключением точки г . С другой стороны, в силу формулы (7.44) ингеграл (7.62) определяет погок и циркуляцию вектора скорости через кривую Сл. Так как 198 1гл.
7 ппнмпнвннв аналитических екнкцип скорость в точке в ограничена, то эта точка не является источником, поэтому поток вектора скорости через кривую Сп равен нулю, и формула (7.62) дает 2п1Ь, = Г„. Выпишем окончательное разложение комплексного потенциала в окрестности бесконечно удаленной точки, являющейся правильной точкой течения: Х( ) = а~в+, .1 + ~ (7.63) ь=а Рассмотрим теперь задачу обглеканин залгкнутого контурп плоскопараллельны.и погпоколг. Пусть поток, имеющий на бесконечности заданную скорость п' и циркуляцию Г, обтекает тело 8, ограппчегшое замкнутым контуром С. Требуется определить скорость в любой точке потока по заданным гидродинамическим характеристикам на бесконечности при условии, что в точках контура С скорость течения направлена по касагельпой к контуру С.
Последнее условие означае~, что кривая С представляет собой линию тока рассматриваемого тече. ння, т. е. мнимая часгь комплексного потенциала, описывающего данное течение, должна сохранять постоянное значение на кривой С о(х, у) 'с = сопзб (7.64) у(г)с м а+ ~ -"„- (7.65) п=я и мнимая часть которого обращается в нуль при ', а ~ =Я. Комплексный потенциал такого типа был нами уже рассмотрен в примере д) на стр. 196.
Поэтому решение данной задачи имеет вид йв)=-'. 1~а+ -У!. Ря' а (7.66) При этом скорость в точках, лежагцих па обтекаемом цилиндре, определяется формулой (7.о7), откуда следует, что она обращается Задача сводится к определению вне контура С на комплексной плоскости аналитической функции г(а), в разложении (7.63) которой заданы значения пч, и Г , а па контуре С выполняется условие (7.64). Так как комплексный потенциал определен с точносгью до постоянного слагаемого, то значение постоянной в условии (7.64) можно положить равным нулю. Начнем с задачи обтекания кругового цилиндра радиуса )х с центром в начале координа~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
