А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Действительно, (6.62) определяет функцию » 7(а), связанную с функцией,т(т)=-.~(~ — аг)"» ' ... (ь ~— а„)"~ 'г(Б линейным преобразованием, представляющим собой преобразование подобного растяжения, повороча и параллельного переноса. Следовательно, если функцияг(т) отображает верхнюю полуплоскость !ш з )О на заданный многоугольник плоскости ттг, то фупкция г(е) отображает эту полуплоскость на многоугольник, подобный данному. При заданных зпа ~ениях сгг для того, чтобы и-звепная замкнутая ломаная, на которую отображается функцией,Р( ) действительная ось, предсгавляла бы собой многоугольник, подобный данному, досгагочно, чтобы п — 2 звена ягой ломаной были пропорциональны соответствующим сгоронам лшогоугольннка. (Два крайних звена полносгшо определгпотся заданием пх направлений.) (ем самым лпя имеем и — 3 уравнения относительно и постояпггых а» Если произвольно задать три из эгнх постоянных, то остальные из соогвегствующих уравнений определягся однозначно.
)(аппое обстоятельство является также след. сгнием теоремы Римана об одиозна шом определении функции, осуществля|ощей конфор»шое отображение одпосвязных областей, при задании соответствия трех точек границы одной об.части трем точкам гранины другой области. Заметим, кроме того, ыо положение заданного мпогоугольника (заданы длины сторон и величина углов прн вершинах) на плоскостя однозначно определяется положением трех его вершин.
За и е ч а и и е 2. Мы предполагали, что все числа ой в фор. муле (6.62) являются ноложительшями. При этом интеграл (6.62) сходигся прп всех значениях (ш г == О. Если какое-либо число гх» очрица тельно, то при . — » а» интеграл (6.62) расходится. Это означает, что соогвегсгг~ующая вершина Л» многоугольника Лт ... Л„лежит в бесконечно удаленной точке тв.= со. При этом величину угла при вершине Л» мы полагаем равной взятой со знаком минус величине угла между продолжением отрезков Л,А», и А„Л»„в конечной точке их пересечения. Как легко видеть, при таком определении угол при вершине Л» равен сг»ц(а»< О), и в силу условия (6.63) сумма внутренних углов полученного л-уголышка с вершиной А» в бесконечно удалешюй точке по-преж|гему равна (и — 2) п. Ланное залгечание осгаегся в силе и в том случае, когда несколько чисел а» отрицательны, 3 а м е ч а н и е 3.
1!ри исследовании формулы (6.62) мы предполагали, что все точки ен конечны. Легко освободгггься от этого КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 1гл. а условия. Введем новую комплексную переменную 0 связанную с соотношением г == ал— ! (6 66) (6.70) При этом точка а=а„переходиг в точку (=са. )сапное преобра- зование означает, что при отображении верхней полуплоскости !гпс) О на внутренносгь многоугольника Л„Ая А„плоскости ш бесконечно удаленная точка 1=-сО одображается на вершину А„.
На комплекс- ной плоскости 1 грункция (6.62) имеет вид 1 да - ~ / 1 да„д — 1 ' 1;~„-1г1т а -~ С:= Л ~ (т — и,')а — ' ... (т — и„,) — 'г(с+Си (6.69) Здесь использовано соотношение (6.63) и введены обозначения а;=(а„— и;) ', 1 аа — го ' А = С(а„— п„)ад ' ...
(и„— а„,)", .г — '(-- 1)аа Соотношение (6.69) означает, что в том случае, когда при конформ- ном отображении верхней полуплоскости на впутренносгь много- угольника А,Ав... А„ бесконечно удаленная точка 1 = со переходит в одну из вершин (Л„), это отображение осушествляется ингегралом Шварца — Кристоффеля (6.69), в подынтегральнои функции которого опушен множитель, соответствующий данной вершине (А„). Это оостоятельство часто используется на практике, поскольку, как мы о~метили выше (замечание 1), прн решении задач о посгроепии кон- формного отображения верхней полуплоскости 1ш г ) 0 на задаппып многоугольник плоскости ю приходится, в случае большого числа вершин многоугольника, определять большое число неизвестных. Рассмогрим некоторые простеипше примеры.
П р и и е р 1. Найти функцию, конформпо отображюощую верхнюю полуплоскос гь 1ш а ) О на сектор О < аге тп < ип, 0 < и < 2. Так как данный сектор представляет собой многоугольник с вер- шинами Лд(ш = О) и Л,(тв = со), то для решения задачи можно при- менить интеграл Шварца — Кристоффеля. Установим следуюцдее соот- ветствие точек действнтелыюй оси г вершинам данного многоугольника: ад(Е=О) — «Лд(и=О), аа (» = ОО) -~ А, (гп = со). Тогда согласно (6.69) отображающая функция принимает вид мд = г'(с) = С ~ 9" ' с(Б+ Сд.
м !В! ОТОБРЯЖЕНПЕ МНОГОУ ОЛЬННКОВ Положив а, = 0 и испольаовав (6.70), найдем, что постоянная С, раппа пулю. Огсюда г св= С ~ 9а 'г(9= а"'. (6.71) и о функция (6.71) определена с точностью до постоянного множителя, определяющего преобразование подобия. Данный произвол связан с тем, что условия (6.70) содержа~ гребовапие соответствия лишь двух грапи~шых гочек, а, как мы видели (см. замечание на сгр. 163), функция, осушесгиляюгцая копформное огображепие, однозначно определяется заданием соответствия трех граничных точек.
Потребовав, например, чтобы наряду с (6.70) имело место дополнительное соогветствие граничных точек = = 1 — ь та = 1 определим значение оставшейся в (6.71) произвольной постоянной С=- я. Итак, окончааельно, функция а (6.72) аг(д=1) — + Л,(ш=а), аа (з = — 1) -ь Аа (ш = — а). (6.73) осунцесгиляег конформное отображение верхней полуплоскосги !ш ) 0 на заданный сектор плоскости ю. При этоъг в силу указанного выше выбора ветвей в подынтегральной функнии интеграла Шварца— Кристоффеля (6.62) должна быть взята та ветвь многозначной функции (6.72), которая является непосредственным аналнгшгескнм продолжением действительной функции х" действительной положительной переменной х. П р и и е р 2.
Найти функцию, конформно отображающую верхнюю полуплоскосгь !гп а) 0 на прямоугольник А,АаА,Л, (рис. 6.!6). Пусть вершины прямоугольника на плоскости ш распочожены в точках Лт(ш=-а), Ая(ш= — а, В), Аа(ш= — а+В), Ла(ш= —.а). Положим, что с помощькг некоторой функции уг(а) произведено конформпое отображешге первого квадранта плоскости а (Ке а ) О, 1шх) О) на правую половину ОЛ,АяО' прямоугольника (рис.
6А5), нри котором положительная часть мнимой оси плоскосги перешла в отрезок 00'. Тогда на основании принципа симметрии (см. сгр. 159) фупкцяя, являющаяся аналитическим продолжением 7г( ) в область фе г(0, !ш в ) 0), осуществляет конформное отображение данной области на левую часть исходного прямоугольника. При этом в вершины Лд н А, переходят соответственно симметричные точки действительной оси а. То же имеет место для вершин Ая и Л,.
Поэтому можем установить следующее соответствие точек: 182 КОНФОРЫИОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ !Гл. а Кроме того, очевидно, долгкно иметь место соогветсгвпе з = О -ь ез = О. (6.74) Соотношения (6.73), (6.74) устанавливают соответствие трех граничных точек. Поэтому произвольно задать точку аа на действительной оси з, переходящую в вершину Лз прямоугольш!ка, уже нельзя. Положим, что в вершину Л, переходит точка а, действптельной 1 осн с, имеющая координзту —., зпзчение которои будет определено в дальнейшем. Очевидно, О(71(1.
Я вЂ” л=-7 Я=гг' 2=7 ив У Рис. 6.15. Итак, функция, осушестялягошая конформное отображение верхней полуплоскости на заданный прямоугольник, может быть представлена в виде Положив за=О и использовав соотношение (6.74), получим С,=О. Тогда те=С дб (6.76) !Л(1;и) (! )гг-г) Остается определить постоянные С и )г из соответствия точек а, и ая действительной осп вершинам Лг н Л,. Отметим, что интеграл (6.76) не выражается в элемегпарных функциях. Это так называемьги эллгглтггческггй пнтпеа)гил и) ! рода, который обычно обозначается 2 Тг(з, Уг) = дГ с К (1 — ЬЯ) (! — гг ь ) (6.77) *) См.
вып. 1, стр. 236. г ю=У( )=С' ~ (ь — 1)' 'Б — — -' ~+- ' (и+!)' 'Ь+ и, ', йг +С1 — — С 1, "ь:,=+ С1. (6.75) .1 !'(1 --.") (! — ЛАЯ г* !вз Отовяя/кение многохгольннков Условггя (6.73) дают (6.78) а=С . )Л(! — „-) (1 - Лг;Я! ' Ингеграл, стоящий справа, так называемый люлчый зллг/лт//чесьч//! сснтсграл 1 рода (6.79) )б(Ь) = ! ,1 )/(! ~я) (! /гар) ' является хорошо изученной и табулированной функцией.
Соответстане точек о, ( г = — ' Ая(ш = а+ /Ь) позволяет записать а// Ь в л 1 ! а+/6=С, + 1, ь, (680) ль дя откуда, учтя (6.78), получим 1 (6.81) 1 )' !ьв — 1) !! — /Щ) (/г - /! где через Г~ -, /а/ обозначен интеграл в формуле (6.81). Из (6.78) н (6.81) при заданных величинах а и Ь можелг, решив трансцендентное уравнение (6.82) определить значения постоянных /г и С. Тем самым фупкпия (6.76), осуществляющая конформное огображение верхней полуплоскостн 1ш г ) 0 на заданный прямоугольник плоскости ги, полностью определена. С другой стороны, если в формуле (6.76) заданы величины // и С, то эта функция осущесгвляет конформпое отображение верхней полуплоскости 1гп г ) 0 на прямоугольник плоскости ш, отношение сторон -~ которо~о определяется формулой (6.82), а абсолютная /'2а! ! Ь /( величина сторон — посгоянной С.
Произвольно изменяя значение эгих постоянных, можно полу /ить копформное отображение верхней полуплоскосги 1шг) О па любой прямоугольник плоскости тв. ГЛАВА 7 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАЙАЧ Мегоды теории функций комплексной переменной весьма широко и эффективно применяю гся для решения бо:эьшого числа ма тематических задач, возникающих в разлишых областях есгествознаняя. В частности, применение аналитических функшэй дает во многих случаях достаточно простые способы решения краевых задач для уравнения Лапласа, к которым приводятся различные задачи гидро- и аэродинамики, теории упругости, электростаюэки и т. д. Это определятся тесной связью, сущесгвуэощей между аналиэмэческими функциями комплексной переменной и гармоническими функциями днух дейспппельных переменных. В настоящей главе мы остановимся па некоторых общих вопросах применения апалптн'эеских функций к решению краевых зада э для уравнения Лапласа и приведем ряд примеров решения физических и механических задач.
В 1. Общие положения 1, Связь аналитических и гармонических функций. Пусть в области У комплексной плоскости з задана аналигическая функция г'(г) =-и(х, у)-',-1в(х, у). Тогда всюду в агой области функции и и и связаны условиями Коши — Римана: ди гди ди ди дх ду' ду дх' Так как аналитическая функция имеет в области эу производные всех порядков, то н действительные функции и(х, у) и п(х, у) имеют в соответствующей области плоскости х, у частные производные любого порядка. Ээо позволяет дифференцировать вьэражения (7.1) по переменным х, у лэобое число раз. Пролпфферепцировав первое пз равенств (7.1) по л, второе — по у и сложив, получэия ;., +д, =-О, х, Уе=-~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
