А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Пусть скорость потока на бесконечности равна ч и направлена параллельно оси ж, а циркуляция отсутствует, Г = О. 91ы должны найти комплексный потенциал, разложение которого в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид а 21 ПРИЛОЭКЕИГ!и К ЗАДАЧАМ А!ГХАИИКИ И ФИЗИКИ 199 в нуль в двух критических точках: в точке г =- — Й, в которой линия тока у = 0 разветвляегся на две линии тока, совпадающие с верхней и нижней полуокружностями , 'а , '= Й, н в точке г = Й, в которой эти линии тока сходятся опять в прямую у = О, Эти точки называются точкой разветвлешш и точкой схода соответственно.
Заметим, что если скорость погокз на бесконечности не параллельна оси х, а имеет вид те е н г'ч, то с номоп1ью преобразования Ь = «е ачн мы приходна! к уже рассмотренной задаче на плоскости с. Тогда для решения исходной задачи получпэ! выражение ы Й' Дх) = я'саад, а 17.67) Найдем кргпические точки течения, в которых скорость течения обращается в нуль. Согласно формуле 17.36) имеем Да те =-7" (а) е ц ' 1 — — . + —.
= О, ьах /' 2 лип Отсюда Г за+ —,з — Й'=0 ' 2."пч с7.69) /г г-' г. г =! — -4- ~ Й' — —.. ва 4:г, ~/ 16лач! 17.70) ~ г При Й~ — ' подкоренное выражение в 17.70) положительно. По- ~ 4лч, этому Г-' Йа ~I " 16л'т" + 16лваэ т. е. обе критические гочки находятся на окружносги !,=Й обтекаемого цилиндра, причем при Г )0 тч '= 0) обе точки лежат на верхней, а при Г (О 1ч '-»0) — на нижней полуокруяаности. Тем самым наличие циркуляции сближает точки разветвления и схода ли- Пусть теперь циркуляция Г не равна нулю.
Как мы виделп выше (см. пример в) на гтр. 195), линии тока у течения с комплекснь!м потенциалом са1па га — действительное число) представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат. Поэтому комплексный потенциал течения, обтекающего круговой цилиндр радиуса Й с заданной скоростью на бесконечности ч и заданной циркуляцией Г , имеет вид Йа: Г +2 пРименение лнллитических Функции 1гл, г ~ г ний тока трис. 7.1). При — = Й обе критические точки совпа- ~ 4пк дают 1с точкой з=!Я при Г„)0 или точкоп з= — Я при Г - с О). Г Накипев, при — )Я в области з, 'Рй остается лишь одна 4пт критическая точка, лежащая на мнимой оси у. 1Еак следует из урав- нения 17.69), произведение корней этого уравнения равно — Яв, по- этолгу вторая критическая точка лежит внутри окружности 'з(=-й.) Через эту точку проходнг линна.гока, отделяющая замкнутые линии тока течения от незамкнутых 1рис.
7.2), 1'яс. П2. Рвс. 7.1. Полученные результаты позвочяют в принципе решпгь задачу обтекания произвольного замкнутого контура С. действительно, пусть функция Ь=гр( ) осуществляет конформпое отображение области Э комплексной плоскости х, внешней контуру С, на область Х плоскости Ь, внсшнюю единнЧИОй Окружности ь =1, так чго гр1оо) .=- =- сю. '1гогда, очевидно, рассматриваемая задача оказывается эквивалентной задаче обгекащчя кругового цилиндра единичного радиуса.
При этом скорость потока на бесконечности, которая, вообще говоря', изменится, может бьнь легко определена. 14омплексныи потенциал Г(а) исходного течения при данном конформном преобразовании переидег в функцию Р(Ь) — г"[агь)). Поэтому по формуле 17.36) наидем гтр 1 ггт 1 ла ~ — Па В силу формул 17.67) и 17.68) решение преобразованной задачи имеет внд 'яг Г с 1г,) = У г". + — „+ —. 1п Ь.
201 ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ З г! Отсюда для решения исходной задачи получим выражение аг Х!г)=РБО)=~ЪП ~, 2(г)+ '<,', +,—:„.! ф1г) (7.71) В качестве примера рассмотрим бесциркуляпнонное обтекание бесконечной пластинки плоским потоком жидкости. Пусть плоскость х, у пересекает пластинку по отрезку — а ~ х =., а, а вектор скорости потока лежи! в плоскости х, у и на бесконечности имеет заданное зпачеш1е и .
Как следует из рассмотрения свопсгв функции Жуковского (см. гл. 6, стр. 173), функция г= 2,с+ 1=ф!Ь) осуществляет конформное отобрзжепие внеппюстн единичного круга плоскости Ь на плоскость г, разрезанную по отрезку — а==-х=.='а. аг а При этом !р(со) = оо и —, =, Поэтому рассматриваел1ая заПь г=-со 2 ' дача эквивалентна задаче обтекания без циркуляции кругового цилиндра единичного радиуса на плоскости ~ потоком, имеющим на бесконечности комплекспуго скорость )й' = — и . )лоиплексный по- 2 тенциал последней задзчи имеет вид 1 Подставим сюда вместо и и пзидещп,1е нз (7.72) величины г+1 гг — а М == (Иг) +1(н„), Тогда для комплексного потенциала нсходиои задачи получнл! окончательное вырзжение У(г) = (иг) г — 1 (иг) )~' гг — ал.
(7.73) В закл1очение найдем силу, действующую со стороны потока на обтекаемое им тело. Сила давления, деисгвующая па алел!е1п ага дуги контура С, пропорциональна гидродппамнческому давлению р в данной точке потока и направлена по направлению внутренней нормали — а1п= — 111уд ) дх. Поэгому для компонент силы„действуюшеи па контур С, получим выражения й.= — У)рг1у, К,,=~р 7х. с С 1 г — )гл — аг а Здесь 1гг'-' — аз~О при г=х)а. Разобьем гв на действительную и мнимую части: 202 пнименение аналитических Функпин 1гл, г Определив гидродинамическое давление р из интеграла Бернулли: Рчв р=А —-- 2 ' где А — постоянная, а р — плотность жидкости, и введя комплексную величину й = й, + 1йл, получим й= — — т ча(бх — (ау) = — — т уаг7 .
нс . . Рг — 2,') с с (7.74) (Интеграл от постоянной А по замкнутому контуру С, очевидно, рзвеи нулю.) Преобразуем интеграл (7.74). Так как в точках контура С скорость направлена по касательной к контуру, то комплексная скорость течения ев связана с величиной физической скоросп1 ч соотношением и~ =-- уе'ч, где гр — угол между касательной к когпуру и осью х.
тогда формула (7.36) дает Уе ге= г'(г). С другой стороны, <З=сйе "г, Поэтому уаг(2 =чае 'авазегч=- г'адг, н форму,ча (7.74) примет вид (7.76) Это так называемая фор.1гула Чаплыг1гна, выражающая силу, действующую со стороны потока на обтекаемое им те.чо, через производную комплексного потенпиала. Из выражения (7.63) для комплексного потенциала вне обтекаемого тела получим 2л) г ги в=2 в 2 Следовательно, ') у" 2 (г) СГг = 2 аз Г, с йл = р (их) Г, й, = — р (нл) Г . (7.76) Отсюда ~й,=р ч-~ Г (7.77) Форз1ула (7.77) представляет собой теорему Жуковского о подъемной силе: сила давленил безвихревого потока, ишеющего на бесконечности скорость в и обтекающего контур С с циркулпцией Подставив это выражение в формулу (7.76) н отде.тив действительную и мнимую части, найдем з 2! ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ РВЗ го(Е= — —-- ! дй с дУ д!» В = 4.
р, д! В = О, В=еЕ, В=рН. В случае стационарного электромагнитного поля уравнения Максвелла для вектора Е напряженности электрического поля в однородной среде принимзют вид го! Е = О, г) !» Е = -'! р, 4л (7.78) е где е — диэлектрическая постоянная среды, а р — плотность статических зарядов, создающих данное поле. В дальнейшем будем считать е = 1 и будем расслгатривать плоскую задачу, когда заряды, создающие поле, распределены в пространстве так, по плотность их распределения не зависит от одной из координат (например, от координаты «), а является функцией лишь двух других координат, т.
е. р = р(л, у). *) Сль И. Е. Т в мы, Основы теории электричества, «Наука», !966. Г, аыдажаеллгп фод.иУглой !й =Р'» ', 'Г и НапРавление этой силы получается поворотом вектора» на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции. Использование аппарата аналитических функций комплексной переменной позволило Г!.
Е. Жуковскому и С. Д. Чаплыгину развить методы решения задач гидро- и аэродинамики, послуживших теоретической основой для практики звиасгроения. '!'ем самым методы теории функций комплексного переменного сыграли огромную роль в развитии современной авллации. 2. Плоское электростатическое поле. Методы теории функций комплексной переменной, использованные в предыдущем пункте для изучения плоского потенциального течения идеальной жидкоспл, могут быть столь же успешно применены и при исследовании любого плоского векторного поля иной физической природы. В этом пункте мы рассмотрим применение данных методов к решению некоторых задач электростатики.
Задачи электростатики заключаются в определении стационарного электрического поля, создаваемого в среде- заданным распределением зарядов. В заиисимости от постановки конкретной фиаической задачи задаются или плотность распределения зарядов как функция координат, или полный заряд, распределенный на поверхности идеального проводника. В последнем случае основная цель исследования заключается в определении плотности распределения зарядов на поверхности проводника. Чтобы получить основные уравнения для вектора напряженности электростзтического поля, будем исходить из общей систеыы уравнений Максвеллз в) в изотропной среде: ! д0 4т,, с д! с ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 1гл 7 Очевидно, при этом вектор Е имеет лишь две отличные от нуля компоненты, которые также являются функциями лишь координат х,у: Е(х, у) =1Ех(х, у) — ,'-)Ет(х, у). (7.79) В силу первого пз уравнений (7.78) поле Е является потенциальным: Е(х, у)= — игадо(х, у), Ех= —.—, Е,= —.
-, (7.80) де . до дх' х др' причелг па основании второго нз уравнений (7.78) функция о(х, у) удовлетворяет уравнению Ло=--4пр(х, у) (7.81) Из (7.81) следует, что в области, свободной от зарядов, потенциаль- ная функция о(х, у) является гармонической. Поэтому в этой области можно построить аналитическую функцию комплексной переменной г (х) — — и (х, у)+ го(х, у), (7.82) для которой потенциальная функция п(х, у) данного электростати- ческого поля является мнимой часгью. Функция (7.82) называется колггглексньгм лошенцпалом электро- сгиагпггчесного логи. Линии уровня п(х, у)=С называется эквипо- тенциальными линиями данного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
