А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 39
Текст из файла (страница 39)
дха дуа % ц ОЬШИЕ ПОЛОЖЕНИЯ диалогичцо иродиффереицировав первое из равеиспг (7.1) ио у, второе — по х и вьигя одно яз дру~о~о, получим (7.3) огкуга следует, что с(гуцкццц п(х, у) и о(х, р) явлюотся гармонигесгцпги в дашгой обласгя плоскости х, у. Пгак, действительная и мнимая части фуикцяи 7( ), аналитической в области У, являются гармоническими фушсцяямя в соответсгвуюцгей области плоскости х, гс. Пря этом данные гармошшескяе функция связаны условиями (7.1). С друтой стороны, если в области У плоскости х, у заданы две гармонические фуикцяя и (х, у) я о(х, у), удовлетворяюгцяе в этой области условиям (7.1), то функция !'(з) =- и(х,у)+го(х, у) комплексной переменной з = х+гу является аналитической в соогветствуюгцей области плоскости е.
Тем самым необходилсым и доетаточнвглг г елоагселг аналитгяности функигггг 7(л) = и(х, у)+Ро(х, у) в облипли о' являетея требование, чтобы функигггг и(х, у) и в(х, у) были еаржоничеекижи и удоалепгаоряли условггя.гг (7,1) в гоответсгпвуюигей области плоеьотпи х, у. В гл. 1 (см. стр. 34) было показагю, что заданием лишь одцоИ действительцоИ (яли одной мця- моИ) части аналитической функции комилекспой церемеицоИ иоследияя определяется с точностью до постоянного слагаемого. Огсгода следует, что все аналитические функции комилексцоИ переменной, для которых заданная гармоническая функция двух действигельиых перелгепыых является деиспгягельнои (иля мцимои) частью, различаются только гга аддятивцую постоянную. Установленная связь между аналитическими я гармоцяческямя функциями позволяет использовать для изучения различных свойств гармонических функции свойства аналитических фуцкцки, Так, напРимер, пз форлгулы среднего значения аналитической функция (см.
гл. 1, стр. 4о) непосредственно иолу гается формула среднего значения для гармоияческой функция 1 и (хв Усг) = г! сг (И г)) с)5 2вг1о л я где точка хи у„является цекгром круга Ся„радиуса йсг, целиком лежащего в обласги гармоничности функция и(х, у). 2. Сохранение оператора Лапласа при копформиом отображеиии. Пусгь в области У плоскости х, у задана гармоническая функция и(х, у); т. е.
(7.5) С цомогцью цеяырождециого преобразования Независимых цереме шых я.= Й (х, у), т! = г) (х, у), (7.(г) -О, х у~У, (7.7) сг(х, у) пи!!меч!щи!с лнллнтс!'сссюсх Фу!скцпн !!'л. ! (7.6) Подставив зги выражения в (7.5), получим следующее уравнение для функции (7($, т!); дЧ/ ... д'ГС дсСС вЂ” (йхч+Схч)+2д" д (Я»Ч» ! ЯзЧл)+, с(Ч»ч+Чсс)+ дУ дСС + дй Яхх+ яс т) + .д„(Чхх+ Чхх) = О.
(7.9) Лля того чтобы зто уравнение было уравнением Лапласа, должны выполняться следующие соотношения: $хх+ й!д = 0 Чхх+ Чхд = 0 (7.10) ~.Ч.+~дЧ, =0" (7.11) ь1+ Ы = ЧГа+ Чи 0 (7.12) Соотноцсеиия (7.10) означают, что функции $(х, у) и ч! (х, у) должны быть гармоническими в области К Перепишем (7.1!) в виде "= — — =р(х,у), (7.13) Чх Ч» где р(х, у) — некоторая, пока неизвеспсая функция, ! огда соогпошение (7.12) дает $»ч+ ьу = !г' (ч!хч+ ЧЛ = Чхч+ Чй -;-.- 0. Отсюда р'(х, у): — 1 при х, у ~ К Таким образом, неизвестная функция р(х, у) определена: р =:г- !.
Г!ри р = 1 соотношения (7.13) дают ' =Ч,, Ь= — Ч" отобразим область У нлоскосж! х, у па новую область У плоскости $, Ч. Заметим, что задание двух дейстшпельпых функций (7.6), двух дейсгвительных переменцык х, у, эксшвалепспо заданию в области 6 комплексной плоскости г одной функции ~ — 7(з)=$(х, у)+сг!(х,у) комплексной переменной а =х.',-су. !Три этом функпия 7'(а) осусцестяляет отображение области У комплексной плоскости а на область х' комплексной плоскости и. В силу условия (7.7) уравнения (7.6) однозначно разрешимы относительно старых перемепныгп и .сем самым и области Э', плоскости Ц, Ч определена функция (I(й, ч!) =сс !х(а, Ч), уЯ, Ч)), Выясним, при каких условиях на преобразование (7.6) функция УЯ, ч!) будет гармонической функцией перемеоиык й, г!.
Г!редпола~ая, что функции (7.6) дважды непрерывно дифференцируеъсы в об!асти У, выразим частные производные второго порядка ог функции п(х, у) по старым переменным через производные ог функции У(ь, ч!) по новым переменным: дси сМСС я, гисг дхсг а дСС, дсг дхс = — ддс-Ях)'+' д— ,дс! 1»Ч»+-д Чх (~)х)'+ дх ах»+ д Чхх, д'и дсСС дь!I д'У я, дгС дИ „ д!ис с~~~ (ьу) + д3 дп хуЧ!'+ дпя ( !т) ' д~ хт!'+ дп 1.'я' !В7 Ь О ОВЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ т. е. гармонические в области й функции й и т! должны удовлетворягь в эгон области условиям Коши — Римана.
Это означает, что функция Д(е)=й(х, у)+гт)(х, у) должна быть аналитической функцией и области х< комплексной плоскости . Заметим, что из (7.7) и (7.12) следует, что отображение области Ю па з' должно быть взаимно одиозна шым, а производная функции у ( ) должна удовлетворять условию г" (а) -'-. О всюду в области Ул '!'ем самым отображение ооласти ~9 плоскости на область й' плоскости ~, осуществляемое функцией 7"(а), должно быгь конформным.
При р =- — 1 соотношения (7.13) дают $. = — т!у, Ь, = т)' Как легко видеть, в этом случае функция 7(е) =ь(х, у) — <Ч(х, у) должна быть аналитической, а отображение, осущесгвляемое функцией „г(е)=й(х, у)+гг)(х, у), доли<но быть ко<и(юрмным отображением И рода. Итак, мы получили окончательный ответ на вопрос, поставленный в начале этого пункта. 7)рп отображении области й пгоскастгг а на область 3' плоскостг< ь, ос«гцесгггвляемо.н функцией Д(е) = = й(х, у)+ г»! (х, у), уравнен<ге .7ипласа для функции и (х у) перейдет в уривненпе суапласа для функции (7(й, <1) = и (х (й, г!), у(й, Ч)) лить в тож случае, если данное ап<ображенне явлпется конфорщны.п отпбраженпел< 1 плп 1! рода, Заметим, чго при данных отображениях операгор Лапласа Л„„переходит в операгор г'(е) 'Л;„= 1 ,„.
!г»!» еч' —, Л, где а = <р (ь) — обратная функция, осуществляющая конформпое отображение области 3' на область У. Тем самым даже простейшее уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами Ли+ си = О, с = сопа1 о'- О, при конформном отображешш перейдет, вообще ~оворя, в уравнение с переменным коэффициентом Л;ч (7-!-с ', <р' (~)» (/=.О. 3. Задача Дирихле. Полученные в предьщупшм пункте результаты позволяют примешть метод конформных преобразований к решени<о краевых задач для гармони <ескнх функций. Рассмотрим осповну<о иле<о этого метода па примере решения задачи 7(нрихле. !()<сгггь требуетс»г найти функцию и(х, а), удовлетворяющую < ривненг<ю о)ипласа Ли=О в облитпп 3, непрерывную в за <гкнулгой области,х = 3+ Г и лрпнпжающуею заданные значения на границе Г: п (Р) 'г = <ь (Р), (7.14) где <х(Р) — заданная непрерывная фуш<щ<я точки Р контура Г.
Как известно'"), решение этой задаш методом разделения переменных ') См. Л. Н, Т и х о и о гь Л. Л. Са и а р с к н й, Уравнения матоматн. веской физики, <Наука», !972. пРименение Анллитических Функций 1гл. 7 г — г„егч' =). — "., г — - егч' (7.15) г —— го где посгояниая ) выбираегся из условия, чгобь1 граиичиые точки г = аегч заданного круга перешли в граничные точки, и ~ =-. 1 едиа иичиого кРУга плоскости ыч ПРи этом ,,'),,=, а аге)е опРеДелЯю"о ший поворот круга ~тв((1 вокруг его центра ш=-О, может быть выбран произвольным. В результате произведенного преобразования искомая функция п(г, ср) перепдег в функцию (/(р, ф).=п(г((ь ф), гр(р, ф)(, где р, ф — полярные коордииазы на плоскости ык связанные с координагами г, гр соотношением (7.15). При агом заданная граничная функция сс(ер) перейдет в функцию А(ф)=и(гр(1, зр)).
Так как функция Г7(р, ф) является гармонической функциея своих переменных, то ее значение в центре круга может быть найдено по формуле среднего значения (7.4), о!куда Из (7.16) мы получим явное выра~кение решения задачи Лирихле для круга, если выразим функшпо Л (ф) через первоначально заданную функцию сг(гр). Заметим, что для соответствия граничных точек круга ~г! а и круга /тв~(1 формула (7.15) дает ег" =— а ае "г — гее "г' аечг — -- е'чь ге (7.17) откуда аг -1- г! — 2ага соз (1Р— гге) может быть получеио лишь для ограниченного класса областеи У с достаточно простой границей Г. Метод конформных преобразовании дает достаточно упиверсальиь1й алгоритм решения задачи Лирихле для плоских областей.
Начнем с решешш задачи Лирихле для круга радиуса а. Введем полярную систему координат г, гр с началом в центре круга. Тогда функция се(Р) будет функцией лишь переменной гр. Постараемся выразить значение иеизвесгнои 1(1уикции и(г, гр) в произвольной внутренней точке (гм гр,) круга через ее граничные значения а (гр) Лля этого построим конформиое отображеиие заданного круга на единичный круг ,'ш '~« 1 ПЛОСКОС1И 777, ПРИ КОГОРОМ тОЧКа Гч, 1Р„ НЕРЕИДЕт В ЦситР ти =- О. Ре1иение этой задачи легко полу~пггь с помо1пью дробно-линейиой функции, рассмотренная в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
