М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 99
Текст из файла (страница 99)
По по теореме о среднем На (6>п к)=п ) Е(>) И>=е(йп), о где й„ш(0,1/и) и, следовательно, 1пп (6„,!р)=Ч:(0). Таким образом, в и-+: смысле обобщенных функций нгп 6„(>) существует и равен 6-фуакшщ (ср. стр. 529). 2) Точно так же предел последовательности обычных функций, графвки которых изображены на рис. 184, в гмысле обобщенных функцш! существует и равен 6'. Замечательно, что в теории обобщенных функций любу>о сходяи!у>ося последовательность или ряд можно почленно диффе/>енин/>овать. Это свойство получается сразу из определения: если 1„- /, то (/„', й>) = — (/„, >р') стремится к — (/,>р') =(/',ср) для любой гренМ, а это и означает, что /„'- Г.
Таким образом, в теории обобщенных функций снимаются все классические предосторожности, связанные с дифференцированием последовательностей и рядов. Наша дальнейшая цель — определить преобразование Лапласа обобщенных функций. Для обычных функций /(/) интеграл Лапласа >о (р) = ~ ) (!) е и! й! = (/, е-и>) ГЛ Рс ОПЕРйпно!ППЯП МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ хочется рассматривать как значение функционала 1 на функцию е-Р'. Но последняя не принадлежит классу яг основных ф)нкцпй, и мы должны расширить этот класс, заменив условие равенства его функций нулю вне конечного отрезка менее стеснительным условием.
Тик как в теории преобразования Лапласа рассматриваются функции с носителями на полуоси 1) О, то па поведение основных функций при !' — оо мы нс будем накладывать никаких ограничений, Однако мы потребуем, чтобы прн (- +оо они стремились к нулю вместе со всеми производными быстрее любой степени 1ггй Ипыаи словами, мы введем новый класс основных функций Я, состоящий из всех бесконечно диффсренцируемых на оси 1 функций гр(1), для каждой из которых !Пп г'!р~ ~(() =О при с.к о любых целых 1, пт > О.
Последовательность функций грл ее Я будем называть сходящейся к нулго, если для любых целых 1, т) 0 последовательность уггр~„'н'(~) стремится к нулю при и- оо равномерно на любом отрезке (а, со). Функционалы, линейные и непрерывные на пространстве Я (т, с, обладаюгцее свойствами 1' и 2' стр. 532 с новым определением сходимости гр„- 0) мы будем называть обобщенныл!и функциями класса Я*. Так как Я ~ ги, то, очевидно, Я' с:,Ф*, но обратное неверно — не все обобщенные функции класса .е." продолжаются на основные функции нз Я и, следовательно, прииадле>кат Я*.
Теперь можно сформулировать основные определения. Будем называть обобщенную функцию ~~бв' с носителем на полуоси г ) 0 обоби(енныуи оригиналом, если существ)ет действительное число зо такое, что при всех а ) зо обобщенная функция е-е!)' ~ Я'. Озобраясенаем такого оригинала называется функция комплексного переменного р = з + го Г(р) =((, Е-Р'), (30) которая определена в полуплоскости гсс р ) зв и понимается следующим образом.
Для фиксированного р, для которого Ке р = э ) зо, выбирается число зь зо ( з! ( з, и тогда (30') (), Е-Р') =(Е а!( Е !а-*!'); так как )е-гв в" ~=е-!'-'!' быстро стремится к нулю при г- +со, то е-!Р-'!'яЯ, а по условию е '!)'ееЯ', поэтому правая часть (30') определена (она, очевидно, не зависит от выбора з,). П римеры. !) Любой оригинал 1(Г) в смысле и. 79 является н обобшенг!но! оРигнналои, ибо е "~1(0 пРн ег ) а, ЯвлЯетсЯ иитегРиРУеиой фУнк. й г. ог:новныг. понятия и мнтоды 537 аз1 цнй, а длп пнх, как иы условились на стр. 533, (е "г) е Г«з)г)= ~ 1(т) «глт т е.
совпадает с нптегралоп Лапласа. 3) Любая обобщеппан функция класса зз с о г р а н и ч е н н ы и н о с ит е л е и принадлежит н классу зг*, нбо повеление основных функцнй на бескопе гггостг1 здесь несущественно. 1!озтопу длн всех нашнх обобщенных фупкцпй прсобразованпе Лапласа определено. В частпостн, (6, е « ) = е «г )г — — 1, (6', е «г) = (6, ре Ы) = и, н вообще -«т) и (ср. с фориулой (24)).
Преобразование Лапласа обобщенных функций обладает мнопгми свойствами классического преобразования; мы перечислим некоторые из них. Изобрагкение Р(р) обобщенного оригинала 1 оказывается аналитической функцией в полуплоскости Ке р ) зо, и остается справедливым свойство 117: ( — 1)" Г") =. Ры (р). Свойство 1П дифференцирования оригинала следует сразу из определения производной обобщенной функции: ()', е «т) =р(7, е «г) Заметим, что если, в частности, 1 — обычная функция, непрерывная при 1) О, то эта формула приводит к формуле (6) п, 80.
В самом деле, согласно примеру 2) на стр. 534, Г =1,л(1) +1(0) б, где 1(0) — правое предельное значение 1(1) при 1 — О (левое равно нулю), и поэтому ()', е «') = — ((„'л, е «') — ) (0) (б, е «') = р (1, е-«') — ) (0). Свойство ЧП (теорема запаздьгвания) в общем случае не сохраняется, потому что функция 1(1 — т) не имеет смысла. Но, например, для 6-функцни она справедлива п имеет вид б,—.— 'е «' (т)0), где Ь, — функция Дирака с носителем в точке т (в обозначениях раздела 7) б, = б(1 — т). В заключение приведем следующую теорему Л. Шварца. Для того чтобы аналитическая в полуплоскости )сер ) эо функция Е(р) была преобразованием Лапласа некоторой обобщенной функции 1" с носителем на полуоси () О, необходимо и достаточно, стобы )Г(р) ) в этой полуплоскости не превосходил некоторой степени (р)п.
!вв № н(н Изображение Оригинал 1 (83,!) (803 ) Ел(а> — !) -лс е е -ЛЕ(е 4 (80.3) 5 (80.4) (80.12) з|п ФЕ сов ФЕ Е" в(п ФЕ 7 (80.12) Еи сов о)Е е Е в!п (ФЕ + а) е (сов(ФЕ+а) (,(Ца|ыа (р+Л) соз а — ы з)п а (р + Л)'+ ы' 65 ы| ел) р — а (п р — 5 1 Ур+ а е -и) и' =е р Ег!( — ) Р Р рт 1 — яеу'Г =е УпЕ -и'Р е !5 е -нур и' и Уе' 18 (81.
10) Ур ') П сксбкак пан порядковыми номерами указаны пункт н номер формулы в тексте; à — гамма функция (пп. 7(, 69); ег( н пг1-функции вероятности ошибок (п. 76); а(, 6(, С( и Е( — интегральные функции (пп. 70. 76); 3 н С-интегралы Френеля (н. ВВ); Ел, Е У, Н(„), Ьсг, Ье(-цилнндриясскпе функции (и. 96). 8 (80.22) 9 (80.22) 10 (80.4) 11 (ВОА) 12 (80.15) 13 (83 го') ГЛ ВН ОПГРДПИОННЫИ МЕОД И ВГО ИРИЛОжПНИЯ Тиблнци оригниилои и нк нзобриукений*) Г (о + 1) и+) 1 р+Л Г (а + 1) (Р+ Л)"+' ря + ыа Р ,в|,т , (п) (р + Еа) л+' т ! с)л+( , )(е (Р+ Еа)"~' (Етт 1 т)л+) ы сов а+ (р+Л) з!па 540 Еродолжение таблицы М и'и Ор:тппвг Изпбражепяе 35 (99.
!9) т 1'р'+а' 7, (а )г Г' — ') г! (à — т) е-ТР -т 1 р'+а' уг (а)г Гг — т') Ч(1-т) )тгг т г ат 2 1и (р )- )г'рг -1- 1) и г'р 4-! ! 21 1и (р-1-!' Ргц- 1) 37 «'е (1) Н," "(1) 38 )1Рг лг. 1 и )г"рг -(- 1 )гр +м +Р Р +пег )г рг+ егг !гг Р'+ ег' р)г р+ а 1 -и гтр — е Р 1 Р+)г» 1 1+ )тр )г 2 Ьег в! 39 40 У2 Ьег а! ег1 (У а1 ) Ег( ( — ) ег Ег1()г Г) 41 (83,8) 42 (В!.13) 43 (83.6) 44 (83,7) = — е' Ег! () ГГ ) Уиг 45 (83,9) г'и+а Р— е о' + )г а ег1 (Гта1 ) гт г 46 (80.
16) 47 (83.14) егсс1Е р Р 1 1 — 1и )л ~'+1 а!1 48 (83.12) )г Ур'+1 — Р 5 (г) г Гг ,.* *е ~ е. 49 (83,11) С (1) тг' е — !и (1 + р) 1 р 50 (83.15) — Ег ( — г) ГЛ. Ч1. ОПЕРАЕ0101011ЯП МЕТОД И ЕГО ПРИЛОХ1ЕИИЯ [83 2 2. ПРИЛОЖЕНИЯ В 41 Достаточность условия доказывается просто: можно считать зо - О, и в полуплоскости Ке р ) зо Функция „ ., = 6 (р) с 1р) р удовлетворяет достаточному условию для изображения классического оригинала д(1) (тсорема 4 п.
79). Но тогда г" (р) будет изображением (и+-2)-й производной д(1) в смысле обобщенных функций, которая всегда сушествует. На доказательстве необходимости мы не останавливаемся. Для удобства читателя мы приводим сводку всех полученных операционных соотношений, а также некоторых соотношений, которые получаются аналогичными приемами. Большой сборник операционных соотношений читатель может найти в справочнике В. А. Диткина н П. И.
Кузнецова [10). й 2. Приложения Гиы рассмотрвн здесь приложения операционного метода к решению задан, связанных с лнневными дифференциальными уравнениями. Некоторые приложения операпионного метода к спепиальным функциям мы рассмотрим в следующей глане. 84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Операционный метод особенно просто применяется к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Пусть дано дифференциальное уравнение 7.[х)=ао — + а, „, + ... +а„,— +а„х=((т) (1) и начальные условия х (О) = х, х'(О) = хн ..., х1"-'1(0) = х„н (2) Будем считать, что а, Ф О, а функция 1(() и решение х(г) вместе с его производными до и-го порядка являются оригиналами; обозначим Х(р)=.' х(г), г(Р) ='1(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
