М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Рассмотрим замедлитель в форме полупространства х ) О, который содержит плоский источник нейтронов, пусть в плоскости х хо. р!Ри известных упрошаюших предположениях процесс замедления нейтронов в этом замедлителе описывается дифферен- циальным уравнением дХ (х О) 6'Х (х, 6) + б (х — х ) Ь (6), дО дхо (16) где Π— символическяй возраст нейтронов, у(х, О) — плотность их эаыедлеиия, т.
е. число нейтронов на единицу объема и в единицу времени, а 6— импульсная функция '). Это уравнение нужно решить прн граничном условии (Х вЂ” у — „')( 0 (!6) где у — некоторая постоянная (зто соотношение физически выражает >словие равенства нулю полного потока нейтронов через плоскость х = О) и условии, что плотность замедлении стремится к нулю при х-ь оо: 1!гп )( (х, О) = 0 х-о о для всех О. Начальные условия (условня при О = О) отсутствуют, ибо уран. нонне содержит импульсную функцию.
Применяя преобразование Лапласа о О и используя соотношение 6(О) гм 1, мы приходим к операторному уравнению оРХ РХ = — + б(х — хо). г(х' (18) Наличие в уравнении импульсной функции приводит к тому, что его реше. иие, оставаясь непрерывным при х хь испытывает в этой точке разрыв ') Вывод уравнения (15) читатель может найти в книге Сиеддонв (1О), $27, 662 ГЛ. Н!. ОПЕРАЦИОИИЫП МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !Ев аб! $2. ПРИЛОЖЕННЯ ббз производной. В самом леле, интегрируя уравнение (18) по х вдоль отрезна (хх — й,хк + л) и пользуясь свойством интеграла от б-функции, мы находим: ,+л ,тХ !к,+ь р ) Хк)х= — ~ +1, х!х ~„ «О-ь откуда, пользуясь непрерывностью функции Х, в пределе прн 6-ьО получаем: (19) На основании сказанного общее решение уравнения (18) при х < хе можно взять в виде ,(е1к,;х) УР 1 Ве-1хк-х» р г при х ) х„с учетом условия (17), в виде Х Се — 1х-хр Ур где А, В и С вЂ” некоторые постоянные.
Условия (!8) и (!9), а также условия непрерывности решения при х = ха приводят к системе А(1+ у 1" р) ех'УР + В (1 — у 1' р) е х'! Р =О, 1' р ( — А + В + С) = 1, Л +  — С = О, вполне онределяюшей эти постоянные. Решая эту систему, после несложных преобразований ааходим операторное решение: — ! х-х, ! Г р — 1х+хп г~р -!х+кр Г а Х + . .
(20) 2)Гр 21 р ур+Ур Оригнналм первых двух слагаемых есть в таблице. Чтобы найти оригинал третьего слагаемого, обозначим е-аУР р(у ) ()Р+ 1 Р 1 Р -ар тогда будем иметь Р(р) = и по теореме запаздывания найдем ори- 1+ ()р г-а 1 р гинал 1 (!) = — е " т! (! — ц). Поэтому по следствию теоремы Эфроса О (форму!а (1!) п. 81) будем иметь; а ) е !! 4! Лт еа Г е — а 1~р Вр+1~Р Полученный интеграл легко в показателе степени полный выразить через функцию Вг1, если, выделив квадрат, положить =+ — = $; получиы 21~! 564 ГЛ. У1. ОНЕРЛЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 1за окончательно: о г Е Озэ .1 + о l а )Г1'т — оа б' Ег(~ +угу й ~2 Г ( У (21) Таким образом, мы находим оригинал решения (20) — окончательное выраокенне ") для плотности замедления нейтронов; 2)' лО (22) Приведем еше приближенное выражение для этой функции прв малых значениях у.
Пользуясь асимптотической формулой для функции Ег( х (формула (11) п. 76), мы можем пописать для больших х: е Ег1х ~ х У'л Поэтому для малых у последний член формулы (22) асимптотически равен ох+хор <х+хив 1 '12рО у ) и для малых у мы имеем: 1х-х,1' 1х+хор ) (к+м~)' 2)лО ' 26'и лО "о*о хо+*о 1 — е ж у э е Если еше считать х,х, малым в сравнении с О, получим: — х.хо = у(х,-(-х,), откуда ухо хо = у.
хо+ у 5) В линейной теории неустановнвшегося обтекания ирыльев самолета рассматривается следуюшая задача "). о) Разрывиость производной операторного решения в точке х х, при переходе к оригиналам исчезла. ') См., например, «Современное состонане аэродинамики больших скоростей» под редакцией Л. Хоуарта (ИЛ, 1966), т. 1, гл, )Х, $6. Для физических прилотиений важно уметь определять точку х = х„ в которой скорость замедления ранна нулю, так называемую экстраполированную концевую точку. На основании приближенного выражения (23) находим нз условия х(х„О) = 0 565. $2.
ПРИЛОЖЕНИЯ Вб) Функция двух переменных ((х, у) — приведенный потенцаал сверхзвукового потока, обтекающего крыло, — равна нулю при х < О, а при х ) 0 удовлетворяет диффереяциальноиу уравнению д'! д'! Ь' — — —, + с'! = О, (24) дх' дух где Ьх н сэ — положительные постоянные; и пулевым условием при х = 0: д! — =о, х= дх 1„о причех~ ((х, у) остается ограниченной при у -ь + оо. Из физнчесиих соображений считается известной функция а (т)- приведенный скос потоиа на поверхности крьща — и через эту функцию требуется выразить значения потенциала иа поверхности крыла ((х, 0), Задача изящно решается операционным методом.
Преобразование Лапласа по переменной х переводит )(х, у) в функцию Р(р, у), удовлетворяющую уравнению Р Са-ЬУЭгкх Э+ С ЕЬ1 Э'+Ь' а причем н нашей задаче С~ =О, нбо Р (р, у) должна оставаться ограниченной при у-и+ ео, Следовательно, — — СЬ Рр'+ Лз — А (р), др 1 ду где А (р) — изображение скоса потока а (х); отсюда Р(р, 0)=С А (р) ЬУрх+Л' ' Пользуясь теоремой умножения и формулой 26 таблицы, получаем решение задачи: )(х, 0) = — ~ о (х — В) га(ЛЬ) дй. 1 Г Ьд (26) о 6) Стержень длины ! находитси в состоянии покои н его конец х 0 закреплен, а к свободному концу х = ! приложена сила А ащ ыт, направленная по оси стержня.
Найти продольные колебания стержни. Уравнение колебаний стержня имеет вид д'и , д'и — и'— дН дхэ ' где и и(х, !)- продольное смещение и аз — постоянный коэффициент, зависящий от материала стержня. Начальные и граничяые условия сводятся к следующим: ди (, — — ! -о; д! 1г ди( А и(„о=О, — 1 — юпы(, (26).
дх~„„г Š— "" — Ь (р'+Л') Р=О, дуз с' где Л'= — — положительная постоиниая. Общее решение этого уравнении. Ь' имеет внд где Š— модуль упругости '), Операторное уравнение имеет вид , ааи рги=а' —; дхт ' его надо решить при условиях ди) А в и( Р о! = дх )х ! Е р'+вх Общее решение берем в виде и=с,сй — х+С,зй — х; Р Р а й х = О дает С, = О, подставляя х = 1, получаем Сз = Аав р ' Е' , где Ь= —,. Таким образом, операторное решение с1! — 1 а подстановка Ь р (р'+ в') имеет внд х зй — р Ь а и= (27) р(!' + ) 'сов и Для пахожления оригина.ла опять можно использовать вторую теорет!у раз;южсипя.
Функция и имеет один действительный полюс р = О и бесчисленное множество чисто мнимых полюсов, причем все оии попарно сопряжены. . иау 11 Полюсы, лежащие в верхней полуплоскости: р =!в, р =! — (й — — ) = «1(, 2) =йо«и!=1, 2, 3, ...) все первого порядка и различны, если вх чь в ни прн каком целом Ь (зто — условие отсутствия резонанса, мы предполагаем его выполненным).
!!а основании второй теоремы разложения получаем. В' ив) .уй в (р,) «! чч в « 2аЬ ч~~ «а з!ив«1 гбп — х — (-1) вз« вЂ” в «=! 1 . в з)п — х з)п в1+ вг а в! соз— й (28) 7) Два одинаковых сгерзкня длины 1 с одинаковой скоростью о! движутся .навстречу друг другу вдоль своих осей. Определим смещение точек стерн!ней после удара. Пусть удар происходит при 1 = О в начале координат. В силу симметрии достаточно рассмотреть смещение и(х,1) точек одного стержня, например правого. Задача сводится к решекию уравнения дти да дх' *) Ьйы воспользовались тем, что согласно закону Г>ка сала Х, действую!иая вдоль стержня, связана со смещением и соотношением дй Х =Š—.
дх ' :566 Гл. ш ОпеРАИНОнныи метОП и еГО ПРилОже!Гин !аз 5 2. ПРПЛОЖЕНИЯ 537 прв условиях (,,=О, ди 1 — 1 = — ом и)х =О, дг 11 Операторное уравнение запишется в виде дки рр о, — — — и = —.', дхк а' ар ' (29) а граничные условия перейдут в и(х -О, — ! =О. ди х=1 Решение уравнеяия (29) при этих условиях имеет впд к м-х -з —, -Р— е, о, е '+е 'р+ р р р р (30) зз1 )-1 Разлагая (1 + е " / 2р1 е ~ <1), получаелн в геометрнческую прогрессило (сходяшуюся, нбо И!+к 212+ П1-х -Р Е 1 пользУЯсгь далее, теоРемой запзздыванна, находим оРнгнпал ° Р. Р - ° ( — Р 2,' ~-~г ((~ — .~ *) Р ~~в л-о + (! 2 ир + 1) 1 — х '~ (! 2 (х+ 1) 1 — х )1 ~ (Зц Это решение пригодно лишь до тех пор, пока стерягни соприкасаются, т, е ди 1 ди ~ до тех пор, попа — ~ <О. Но из формулы (30) имеем дх дх 1» з ор р! ди ~ = — — 1Ь вЂ”, и по формуле (19) п.
80 — = — я(!), причем з этой ар а' ор 1 ди ~ формуле А = —, т = 2 —. Следовательно, — ~ <О лишь при 0<1 < а' а' дх 1» р 1 <2 —, а для этого участка в формуле (31) отлишы от 0 лишь трк члена, а' т. е. и (х !) — ор~ ! +(! ) П(! )+(! ) 2)(! ) ).
(32) 2! ди Отсюда видно, что пря ! -ь — имеем и (х, !) -ьо, — -ь ор, т, е. стержнн а д1 отскакивают друг от друга без вибрапди со скоростью ор, 568 ГЛ. Ч!. ОПЕРХННОННЫН МЕТОД Н ЕГО ПРНЛО!КЕННЯ [Вс 87. Расчет длинных линий. 11ы будем рассматривать двухпроводную длинную линию как систему равномерно распределенных сопротивлений, нндуктнвностей, емкостей и утечек; их величины, отнесенные к единице длины, мы обозначим соответственно )1, Ь, С н 0 (рис. 191). Фиксируем участок линни между точками х и х+Ьх, тогда для напряжения и и тока с будем иметь: и (х, С) — сс(х+ Ьх, 1) = Т, дх д,' + х лх.; с(х, 1) — с'(х+Лх, С)=Ссзх — "+6Лх и, дС и, перейдя к пределу прн Ах-РО, получим: ди. дС дС ди — — = !.
— + )тс, — — = С вЂ” + Си. дх дС ' дх дС (1) . Эта система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка легко сводится к одному уравнению; например, для тока получаем: у .сс дн дс' г ).С ., +(Сг+ и.) + ! Ряс. 19!. и точно такое же уравнение имеет место для напряжения.
Так как коэффициенты Ь и С неогрицательны, то уравнение (2) будет либо гиперболического, либо параболического типа, в зависимости от того, будет 1.С ) О или ЬС = О. Обозначим через У и ! соответственно изображения (по времени) напряжения и тока и через св н ив — значения последних при 1 = О; тогда системе (1) будет соответствовать следую!цая операторная системам (в-Р + вт) 1 =,с + с-св (СР+ !в) (С = д + Сс'в (З) дСС дг Исключая нз системы (3) операторный ток„получаем уравнение для (с — ,'"", — ри =(. и'„' — С((.р+ К) нсь (4) еде у = Р"((.р+ г)(ср+ О) (б) Обозначает так называемый коэффициент распространения волны. В случае нулевых начальных данных правая часть урав- ет1 й з.
прз1ложент1я нения (4) будет равна 0 и общее решение этого уравнения бу- дет иметь вид (/ = Ае тк + Вет'. (6) где А и В могут зависеть лишь от р, но не от х. Эти функции определяются из условий на концах линии. Для операторного тока получается уравнение, аналогичное уравнению (4), однако, зная (/, ток проще определить нз первого уравнения системы (3): (7) В случае нулевых начальных данных, используя решение (6), получаем; / — (Ае-т. Везк) 1 т (8) где / ьл+ зт Си+ а (9) / — е-тк А г (/ = Ае-тк (10) Физически наше условие означает, что мы пренебрегаем явлениями отражения волн от конца линии. Кроме того, иногда пренебрегают различными параметрами линни, или считают, что этн параметры связаны некоторыми соотношениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
