М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Рассмотрим несколько примеров. 1) бесконечно длиннал линия без андуктаеноста а утечки (кабель) *), — / г здесь А=6=0, у=)/)тСр, 2=1/ —, следовательно, уравнения (10) — ~/ Ср» принимают впд Г/ Де-З/ЯСР Л / Л т Р -Зтнсаз 111) )т к ') В подземном плн подводном кабеле вследствие близости проводов можно пренебречь самонидукцией, а при хорошей изоляции и утечкой. — так называемое характеристическое сопротивление линии. В общем случае исследование уравнений длинной линии представляет значительные трудности и обычно делаются какие-либо упрощающие предположения. Одним нз таких предположений является предположение о том, что длина линии бесконечна. Обычно такую бесконечно длинную линию представляют простирающейся от точки х = 0 в бесконечность вдоль положительной оси х. Условие ограниченности (/ и / на бесконечности приводит тогда к тому, что в уравнениях (6) и (8) коэффициент В = 0 (мы считаем Веу ) 0), и эти уравнения принимают, следовательно, внд В личина А находится из условий включения кабеля.
Нзприллер, если на левом конце включается постоянаая з.д,с., то нз первого уравяенвя (!!) прн х = 0 получим А ()л/р, и тогда по формулам 42 и 8 таблицы изображений (в которых считаем а = 3ЯС х) сразу находите напряжение и ток: лсх и (х,!) (т Ег(! —, дт — ), л (х, !) =(7 1à — ' е . (12) Заметим, что задача опредеченвя напряжения вполне аналогична задаче определения температуры в примере 1) предыдущего пункта (достаточлло 1 лишь положить а= ~ . Незлому но формуле (Н) п.
86 при включении =1„с', кабеля на произвольную в. д.с., закон изменения которой задан функцией ((!), получим; 2) Устпноенелннйсл режим в кабеле удобнее находить непосредственно с помощью формулы обращения Лапласа, используя метод деформации контура, изложенный в конце п. 78. Для примера найдем установившийся ток при вклю ленин кабеля на з.д. с. и(Г) = (lл з!пел!. Из уравнений (11) имеем: (тою -е СР -Удое к р'+ы' г' Л и по формуле обращения Ль.» ! (х !) ~~~ю С ) Р е-Улсахел! й Г 2п! )( ~ р'+ ю' Х Гел (14) Деформируя прямую интегрирования в контур ь, указанный на рпс. 174, по методу п. 78 находим: Г лен !(х, !) =и,17 —" е "' з1п( г+ —" — хд,~ ") где первый член представляет собой сумму вычетов падынтегральной функ.
ции (14) в ее особых точках р = ш !ю (Ур означает ветвь корня, определяемую условием — л ( агя р ( н), а под знаком интеграла стоит та же функция, что и в (14). Заменив р! = ф найдем: рт -х)l — +ч , !л(,( !'+„л) 870 гл. щ. опнрлииовнып метод и нго пниложнмия 1аг 4 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ат] 57 Ро где Е' — контур того же вида, что и Е, Отсюда видно, чта при 1 — ь оо инте- грал стремится к нулю, следовательно, установившийся ток равен / ясм т,т (х, 1) = Уо ~/ — е *1п (юг+ — — х й — ). (15) В частности, положив х=О, находим установившийся ток в начале лиани /Сы, 7 н! Уо )/ о1п '(ы1 + ).
уст — )/ У -атя У вЂ” 1 О У вЂ” отр ('+~/Х) )))) 1' Р'8 где и =х)' )7С. По формуле 42 таблицы и формуле(21) предыдущего пункта находим оригинал: х — 461 и(х,() =У~Ег( ~ — ~/ — ) — У,е ' Ег1 ~ — )/ — + У()1). (18) '1 2 '12 )/ По формуле (11) операторный так следовательно 1(х, 1) = — ' е Н' ЕН~ — ~/ — ' +)/(11). (!9) 4) Бесконечно длинная линия без потерь ()с = С = 0). Согласно фор— Р мулам (5) и (9) коэффициент распространения волны равен у=)7ЕС р 3) Включение кабеля через' илнеданн.
Пусть на левом конце кабеля через импеданц Ео включается э. д. с. ио (1). Как известна, приложенная э. д. с. складывается из 11аденяя напряжения на импедэнце и э. д. с. вначале линии У,(Р) =2,1 („,+У)., (16) Для кабеля из системы (11) находим У) о — — А, 1(х а — — 1/ — А, следо/Ср вательно, условие (16) принимает вид Уо(р) = А (1 + Ео'~/ — ), (17) откуда и находится А. Например, при включении кабеля па постоянную э. д. с. Уо через сопро- У. )7 тивление йо имеем А = , где 5= —, Отсюда по форму- (.~'-')' лзм (11) операторное нзпряженне равна '$72 ГЛ. УК ОПЕРЛНИОННЬНЧ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 1ат 1 где и = — — скорость распространения волны, а характеристическое УХс / Б сопротивление 2 = а/ — следовательно, с' р о р /'С вЂ”,к 1= 1/ — Ае (20) Здесь А =У)х е, и если липея включается на произвольную э.д.
с. 7 (1), то юо теореме запаздывания получаем: и (х,)) =)(7 — — ), 1(х, 1) = т/ — 1 ~7 — — ). (21) о Б ~ и)' р+а р+а ~С вЂ” » У =Ае ', т'=1/ — Ае Б (22) Если такая линия включается на произвольную э. д. с. ) (1), то о а — — х х' ~С ох ( х1 и(х,() е ' ) 7 — — ), 1(х,г)=1/ — е ' )(1 — — 1. (23) о! Это означает, что в такой линии волны наприжения и тока распространяются с постоянной скоростью о без изменения формы и с постоянным аатуханием. 6) Бесконечно длинная линия с потерями, но без утечки (о = О). В этом случае у= — т ро+ 2ар, где о =, а = — и 2=1/ — — ф р'+ 2ар, )/ХС 2Ь С р следовательно, — —" х У р'+тор У Ае /7 С Аре (24) 1 Уроф2ар Если такзи линия включается на постоянную э.
д. с. Уо, то Ар Уо и х — У1р+а1~-а* / С е / С ) = Уо1/— = Уо ~/ — Р (Р + а), Б У(р+ а)' — ат 1 — т р'-а' где р(р) = / е " . По формуле 35 таблицы (эта формула Урт бУдет выведена в п. 99 о)) находим оРигииал 7 (1) = т) (1 — — 1)о ( а 1/ то — 1о а) См. формулу (19) п. 99; здесь т = х(о и вместо а стоит (а. Это означает, что вдоль такой линии волны напряжения и тока распрост- раняются с постоянной скоростью о без изменения формы. 5) Бесконечно длинная линия без искажений. Так называют линию, )т б параметры которой удовлетворяют условию — = — =б (при б=0 полу- Ь С р+б 1 /Б чаем предыдущий пример).
Здесь у — где о== 2 а/ — и, о =)/ —, ° следовательно, вт! $2. ПРИЛОЖЕНИЯ 573 где 1, — цилиндрическая функция нулевого порядка мнимого аргумента, а по теореме смещения 1(х, 1) Уз ~,' — е 12(о у 12 — — )И(1 — — ), и' 1 ( о 1' (28) 7) Установившийся ток е лилии предыдущего примера, включенной на э. д. с Уве е1. Имеем А У/ о . и по формуле обращения Ьиг У, из второй формулы (24) находим: (х, В=У, — )/ т+' — УР'<-тии +Р1 и йр. 2п! й (р — !а) )' рв+2ар тип Асимптотическое выражение этого интеграла было найдено в п.78 методом деформации контура интегрирования (см. (!Б) и 78).
Подстаиляя это выра- игение, получаем: к !а и 1„,„=У, — е С 1э1- т еа!а-э' (28) В )Х2а1а — аи 8) Лилия конечной длины ! включается на постоянную э. д. с. Уе, правый конец разомкнут. Формулы (Б) и (8) дают У=Ае "к+Вет", 1= — (Ае ™ — Ве™), (27) =г постоянные А и В находим из условий иа концах Уе Ае тг — Вет' У)„о А+ в —, 1~„! =о, следовательно. сБ у (1 — х) Уи з(в у (1 — к) (28) рсиу1 ' К р сй 21 2 Для линии с потерями, но без утечки, где у= — р и'+2ар, знаменатель операторного напряхсения имеет бесчисленное множество нулей, определяе- мых уравнением сйу1=0, 21=(2п+ !) — 1 (я=О, щ!, -~-2, ...).
В пло- 2 скости р им соответствует бесчисленное множество полюсов функции У, определяемых уравнением ! тт и'ие рт+ 2ар+ (п + — ) — О, 2~ 1' откуда ! )2 пгот Р= — а Щгаи, гДе а„=!У (и+ — ! —,— а' Пользуясь второй теоремой разложения, находим: Х (а з!пел!+ ел сов еи1) ~.
(29) 674 ГЛ. Ч! ОПЕРХЦИО!!НЫЛ МЕТОД П ГГО ПРПЛОЖЕППЯ рв 88. Другие интегральные преобразования. Преобразование Лапласа, которое каждому оригиналу 1(!) ставит в соответствие' изображение Р(р) по формуле Р(р) = ) 1(1) е-а!е(1 0 и каждому изображени>о Р(р) оригияал 1(У) по формуле обращения а+1 1 (Г) = — „, ) Р(р) еа'а>р, (2) а ! является частным случаем интегральных преобразований вида Р(р) = ~ 1(т) ~ (г, р) г1(, о где К(1, р) — ядро интегрального преобразования — известная функция переменной ! и параметра р. Такого рода преобразования применяются при решении дифференциальных уравнений и в других задачах анализа.
В заключении главы мы укажем важнейшие из этих преобразований и приведем несколько примеров их применения. 1) П р ео бр азова н не Фурье. Так как в формуле обращения Лапласа (2) интегрирование производится по прямой Кер = а, то в этой формуле можно положить р = а+ !а и Она примет внд 2 Г Р (а + СО) Е!а С(О, Введем еще новые обозначения ) (1) е-а! = Ю (Т), = Р (а + !О) = 0 (О); р'ж в этих обозначениях последняя формула перепишется в виде а (() = ~ 0 (а) ° е'а! !(а.
1 УГл буб й 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ае! Формулу (1) для прямого преобразования Лапласа можно записать в виде Г (а + го) = )Г ! (!) е его-!о' Й, е или, в новых обозначениях, в виде 6 (о) = ) д (!) е-" с(! ! ~''2п о (6) ') »тля прнл~еннмостя преобразования Фурье достаточно, кроме условия абсолютной ннтегрнруемостн функции д(!), потребовать еше, чтобы эта функция была кусочно-непрерывной н имела ограннченное изменение на каждом конечном отрезке оен Г; доназательство см., например, С и яр нов, т. !!. Формулы (5) и (6) называются формулами обращения Фурье, а переход от функции д(!) к 0(о) — преобразованием Фурье.
Таким образом, преобразование Лапласа, связывающее функции 1(!) и г(р), является преобразованием Фурье, связываюшнм функции й(т)=)(!)е-" и 6(о)==то(а+(о), где ! 1' 2п а — произвольное действительное число, большее показателя роста функции )(!). Область применимости преобразования Фурье значительно уже области применимости преобразования Лапласа. Это связано с тем, что для сходимости несобственного интеграла (6) функция д(!) должна удовлетворять довольно стеснительному условию на бесконечности, например условию абсолютной интегрируемости*), т. е.
сходимости интеграла ~(д(!))й. НаМ личие в интеграле Лапласа (!) дополнительного множителя е — ", «гасящего» значения )(!) для больших значений аргумента, расширяет класс оригиналов до функций, растущих на бесконечности не быстрее некоторой показательной функции, а это условие практически вовсе не является стеснительным. Если, в частности, показатель роста функции !'(!) равен О н в формуле обрашения Лапласа можно принять а = О, то преобразование Лапласа (1) — (2) отличается от преобразования Фурье (6) — (5) только несущественными множителями перед интегралами. В этом смысле можно говорить, что преобразо- 676 гл, т!, ОпеРАционнын метОд и его пРПЛОженпя (ра ванне Фурье является частным случаем преобразования Лап- ласа *). Преобразование Фурье с точки зрения физики является бо- лее естественным, чем преобразование Лат!>часа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
