М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Это объяс- няется тем, что формулы (5) †(6) аналогичны формулам раз- ложения функции д(!) в ряд Фурье: г д (!) ~ О еглч! Г,' д (!) е- !ча! с(! >" и о (Т вЂ” период функции д(!); ср. формулы (20) — (21) п. 70), В самом деле, формулу (5) можно рассматривать как разложе- ние функции йг(!) в непрерывный спектр простых гармоническим колебаний >х(о)е>о>, частоты которых меняются не скачками, как в случае рядов Фурье, а сплошным образом. Функцию б(о), определяемую формулой (6), можно рассматривать кан аналог коэффициентов Фурье с>„т.
е. как комплексную ампли- туду колебания с частотой о. Величина (6(о) ) показывает, ка- кова доля этого колебания в спектре колебания д(1), поэтому функцию (>(о) называют спект(>а,тьмой функцией, На основании сказанного легко понять, что применение пре- образования Фурье во многом аналогично применению преоб- разования Лапласа. В качестве примерз рзссмотрпч в общих чертах задачу о безвихревых дви>ксянях идеальной неожи»земой жидкости, происходящих под действием силы тяжести. Для простоты огрвнпчнмся случаем плоских волн в жидкости бесконечной глубины, 1!зпрзвич ась х горизонтально и перпендикулярно гребням волн, а ось у — вертвкальпо вверх и предположим, что равновесное положение свободной поверхности жидкости совпадает с плоскостью у = О, з тзк>ке, что в начальный момент свободизя поверхность занимает рзвио.
весное поло>кение. Квк известно из гидродинзтп>ки **), потенциал и = п(х, у, !) скорости движения жилкостн в этой задаче уловлетворяет урзвнеюпо Лапласа Дзи д'и —. + — = О дхк дут (7) и слсдуюпшч грзничныч и пячзльпыч условиям: дк 1 Д'и — — — — при у=о, (8) ду у д!2 и=>р(х), — О при у О н (=О ди д! (9) ') Заметим, что в теории преобразования Фурье обычно не предполвгвют, что у(!) равна нулю длн отрицательных 1 н поэтому в формуле (6) нижним пределом интеграла берут — сч, а не нуль.
В теории преобрззоввння Лапласа иногда также отказываются от этого предположении и тогда приводят к тзп яззывземому двухстороннему преобразованию Лапласа (см., нэпример, В а н дер Поль и Бремер. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1968). *') См., например, К о ч и н, К н б е д ь и Р о з е, Теоретическая гндромехаянкз, Гостехиздэт, !948, т. 1, стр. 399. $2. ПРИЛОЖГНИЯ 677 (второе условие (9) определяется нашим предположением, что при 1 = 0 свободвая поверхность занимает положение у = 0). Введем изображение по Фурье потенциала скоростей ") ЕУ (о, у, () = ~ и (х, у, 1) е 'о" дх; )' 2м дл тогда, в предположении что —. и и стремятся к нулю при (х(-»со, мы дх д'н получим, что изображением —.
служит — оэ(У ч"], и следовательно, вместо дх (8) получим уравнение ддт(7 — — и=о. дуэ решение этого уравнения, стремяшееся к нулю при у-» — еа, имеет вяд и =- С (о, Г) э( о1у, (10) где с(о, г) = (7(э=е с другой стороны, умножая уравнение (8) на ! = с-гох и интегрируя по х от — со до +со, мы получим: )72 —,, ' 1 д'С )о)С= —— у дН' откуда с (о, 1) = с1 (о) ег т я1е1 г + сэ (о) е г1 "1о' г. Но при у = 0 и ( = 0 лбы имеем: д(г дс г1 к(о)(с~(о)сэ(о)) дГ дт и поэтому на осцонании второго условия (9) получаем. что сг(о) = сз(о) = =с(о).
Но тогда на основании первого условия (9) при у = 0 и Г =- 0 мы будем иметь: У = С (а, О) = 2с (о) = Ф (о), где Ф(о) — иэображение по Фурье функцин гр(х). Таким образом, из (11) мы получаем, что С =Ф(о) соэ Уу ! о ~1, и по (10) окончательно находим изображение решения (7=-Ф(о) соэ)' у)о~ (е1 *) См. сноску *) на стр. 676. **) В самом деле, интегрируя по частям, мы найдем, что в пашем предположении изображение первой производной имеет вид ( дгз - гсх 1 гак) = — е с(х= ие ~ + ~ ие дх= (о(7, уо )' 2 )'2Л ~ )'2л аналогично вторая производная — вид (го) э(7. 578 гл. и!.
операционным метод н его ппиложення !за чтобы найти само решение, достаточно воспользоваться формулой обращения Фурье (5) и (х, у. !) = = Ф (о) сов 'ггд 1 о 1 Ге! ! з+ 'ех по. Узп (12) В общем случае вычисление этого интеграла затруднительно. Предположим для упрощения, что ф(х) = Аб(х), где 6 — импульсная функция (физически это означает, что волны возникают под действием импульса, приложенного в начале координат). Тогда по свойствам интеграла от импульсной 1 функции мы находим, что Ф(а) = — А и из формулы (12) получаем )г 2п при у=о: ьь ьэ и (х, О, !) = — а! соз Уд 1 о 1 !е ох с(о = — а! соз 1' од ! соз ох нп 2п и (мы отделили действительную часть и воспользовались четностью соз ох).
После некоторых преобразований (мы на них не останавлинаемся) этот интеграл выражается через интегралы Френеля (см. п, 73 пример 6) в (х, О, !) = — ~~ — (соз тС (с) + и!и тб (т)); А Г2с (13) х)' и дгг здесь т = —. 4х 2) Преобразование Мелл и на. Заменим в формулах двухстороннего преобразования Лапласа* ) (1) н (2) переменные р на — р и ! на т = е'! эти формулы примут вид з+! Г ( — р) = ~ ! (1п т) ея !от — 1 (!п т) — ~ г ( — р) е Р !» т с(р дт 1 т ' 2ги о з-! ~ Если еще положить ((1пт) = д(т) и Р( — р) = сг(р), то мы придем к так называемым формулам обращения Меллина*з): О $+ !00 П(р)=~ а(!)1' 'б!! 0(р) й б(!) = —.
! 2л! (14) (мы снова пишем ! вместо т). *) Двухстороннее преобразование Лапласа отличается от обычного тем, что в формуле (1) интегрирование ведется от — со до оо, а ие от О до ео; сч. сноску на стр. 576. "') Для применимости этих формул достаточна аналитичность 6(р) в полосе з~ ( з ~ зь абсолютная сходимость интеграла ) 0(з+ (о) пп ьэ для всех з из этой полосы к равномервая сходимость б(з+!а) к нулю при (о)- оь в любой более узкой полосе з~ — 6 (з ( за+6, 6) О; прямая интегрирования во второй формуле должна принадлежать этой полосе (см., ез) й 2. ПРИЛОЖЕНИЯ (17) например, К ур а и т н Гил ьбер т [2[ нз литературы к гл.
ЧИ, т. 1, стр. 95). Можно формулнронать условия применимости и в терминах функции п(Г): достаточна потребовать, чтобы зта функция была кусочно-непрерывной и имела ограниченное изменение на каждом отрезке полуоси Г ) О и существовали бы две постоянные зг и зз, зг < зм тание, что интегралы Е (Г) Г ' ' ч) и ~ я (Г) Г * г)Г абсолютно сходятся; прямая интегриро. о ванна во второй фориуле также должна принадлежать полосе зг < з < зз (см., например, Т н т ч и а р ш [9), стр. 65). Иногда комбинируют зги типы условий н выбирают, например, з, из условия сходимости первого из написанных выше интегралов, а зг — как абсциссу ближайшей справа к прямой з = зг особой точки функции 0(р).
') Доказательство получается сразу интегрированием по частям иь а (бее ~ а'(() ( 'г(г=я(г) г '~ — (р — ц ~ и(цг ш = о о о =-(р- ц а(р- ц. Элементарно доказывается, что преобразование Меллииа обладает рядом свойств, аналогичных свойствам преобразования Лапласа, например: д (и[) ы — р, 1 д([) =.' а(р+ а), (18) 1([)йФ-.' ) р(9)а(р-Ф [[ и др. Особо отметим теорему об изображении производной: если предел д([)гр-г при Ф вЂ” 0 и г'- +оо равен нулю, тое) д ([)=.-(р — ца(р- ц; (16) повторно применяя эту теорему, получим формулу для изображения старших производных. Простые изображения имеют произведения [ьйг(ь)(1); интегрированием по частям мы получаем: если д([) [~ ~,„о = О, то гд'(г) и — ра (р); если, кроме того, д'([)г~ [о =О, то гада(У) =.а(р+ Ц ра(р) (18) и т.
д, Последнее свойство можно использовать для решения дифференциальньгх уравнений, содержащих члены вида г'— о г(зх н)з ' В качестве примера применения преобразования Меллина рассмотрим задачу о стационарном тепловом поле в секторе [ага г[ = а, на сторонах которого в точках, где [х[ < а, поддерживается постоянная температура иь 580 ГЛ. Ут. ОПЕРЛЦИОННЫН МЕТОЦ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !ва а в точках, где )а)) о,— температура, равная нулю. Задача сводится к решению уравнення д'н дп д'ц ггЛн = гг — + г — + — = О, ( 1.9) дгг дг. д,„г где Ь вЂ” оператор Лапласа в полярных координатах г, аг, при граничных условиях ~ иа прн г(а (20) ,,„- (, Совершим преобразованне Меллнна по переменной г; на основании формул (!8) и (17) мы получаем, что уравнение (19) переходит в обыкновенное дифференциальное уравненне дги р и+ —., -о, дгрг общее решение которого имеет внд и = А (р) соз ргр + В (р) з! и !Рр.
Грани шые условия (20) после перехода к изображениям дадут; Р и( =до ~ цзг г(с=на —, р ! а о следовательно, мы должны иметь: оа А (р) соз ра .~ В (р) з!п ра = из —. Р ар Отсюда находим А (р) = и, , В (р) = 0 и получаем изображение рерсоз ра ' щения ор соз ргр и=ц, р соз ра Само решение найдем по формуле обращения Меллипа Подынтегральная функпня аналитична в полосе 0 ( Ве р < 1, нбо блии жайшай к Р=О полюс подынтегральной функции лежит в точке р= — >1, 2а ц если а< —, что мы н предположим.
Следовательно, в последней формула 2' в качестве з можно взять любое число, 0 ( з ( 1 *). Перейдя к пределу ири з-г0, мы можем брать интеграл но мнимой оси плоскости р с обходом то гкп р = 0 по малой полуокружности против часовой стрелки. При этом обходе приращение интеграла будет равно вычету подынтегральной функции *) Относительно выбора з см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
