М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 109
Текст из файла (страница 109)
39): )' 2 лд лд ) ~ )/1 — 3!н ф г(ф а Действителы!о, подстановка сов ф=!, а затем И=т приводит первый из ннх к виду з р — =)~2 ~ ===~( т (1 — т) ггт=  —, —; (8) ),)г2~ .~ )г1 — !' 2)'2 " 2У2 14 2! 4) Полагая в предыдущем примере р — !=г, д — 1= — г( — 1<г<1) получим, в частности: $ Ь ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЛЛЕРА 601 енелогично 1 '(тт) е'-() — -« в( —,— )+в( —,— ) 4У2 (9) 7) Зли 0 < 1(е г< 1 ' ° 1~ е " Й 4 Р (е) е (1О) о Действительно, рассмотрим интеграл вдоль замкнутого контура, показанного на рис.
194: н и е ~ е(~ = ( + ( + ( + ) = О с к сн ео 1 — - ~т- -() ! Л1 — -1 . л Г'л Е-и,(( и ~ Е-Ьк 1(Х 1 ( ~Е л,) о о действительные и мнимые части, получаем откуда, отделяя интеграл: Ю сов х е(х= —, Г л 1 о к () ' ~ ' = () — )соз — ', ) з(их'е(х = — Г ( — ) з!и — (11) л) 2л ',) ' л (л) 2л о (при п=2 получаем известный нам результат, см. и.
73, пример 6). (он равен нулю по теореме Коши). Так как при Кег=х < 1 величина(ь' ~~ (Гс" ' стремится к нулю при )т — оо, то по лемме Жордана (п. 73, формула (2)) интеграл вдоль Ср также стремится к нулю Рис. 194., при )г — кое. С другой стороны, прн х > О интеграл вдоль С, стремится к нулю при и- О, ибо по теореме к — ! лк и об оценке интеграла его модуль не превосходит и"-' — = — ', 2 2 Таким образом, в пределе при и- О и )т — оо мы получаем: Г(г) = ~: :( е ~е((= ) ((() е ~се((=е -' (( е ~е((, о о о откуда и вытекает искомая формула.
Полагая в ней, в частности, г= 1(п, и > 1, и затем заменяя ( м= х, находим: гл. нн. спеннллы!ые ихними!2 ЮО 'б02 В заключение приведем несколько соотношений, в которых участвует .гамма-функция. 1. Интеграл Раабе. Вычислим интеграл ! )(О = ~ 1п Г (1) дг.
о Заменяя 1 на 1 — 1, можем написать; ! ЯО= 1 !ОГ(! — 1) дг о н тогда, складывая зто выражение с предыдущим и пользуясь вторым функциональным уравнением для гамма-функции, получим: ! ! я л 1 Г 2)(Π—— ~ !иГ (1) Г (1 — 1) д1= ~ 1п —.д1 = 1п л — — ~ !п абике. з!и гл л~ о о О Последний интеграл вычисляется простой заменой переменной к =2и (Э й ле р)! я я12 н12 п12 1= ~ !па!нкдк= 2 ) рз з!и 2и да =и !и 2+ 2 ) )из)пи ди+ 2 ) !исоа иди! о О о О второй из полученных интегралов после замены и = о — — переходит 2 и в ) !пыл ода, и объединяя его с первым, находим 1=л1п2+21, откуда я12 г = — л!и 2. Таким образом, ! 1 1 ЯО = ~ )п Г (1) дг — !п л + — (п 2 = 1п Уйл. 2 2 о Раабе рассмотрел более общий интеграл (а~~О) а+! а+1 а )с(а) ~ (пГ(1) д1= ) а о о Так как К(а) 1ОГ(а+1) — 1пГ(а) =1п а, то интегрированием находим И(а)=а(1па — 1)-1- С.
Полагая здесь а=б и учитывая, что !с(О)=ИО 1п )' 2л, найдем окончательно: а-!. ! )! (а) = ~ )п Г (1) д1 =а(!п а — 1) + 1пУ2л. (12) а 2. Формула Лежандра. Рассмотрим интеграл ! ! В(к, з) = 2! г (1 — т) Нт= ! с( — — ~ — — т) ~ дт.
*-! о о о ь глммл-озмкыия зилнпл Тан каи парабола и — -! — — т) симметрична относительно прямой т 1(2 )2 то можно написать: 'й 1 1 3 г ! В (г, г) = 2 ~ ~ — — ( — — т) ~ з(т, о 1 1 катнула носке замены — — с = — Р 1 получаем: 2 2 В(г, г) — ~ 1 й(1 — !) «1 —  —, г). 4з 2зк ~2 о /1! Эзменяя здесь бета-функцию ее выражением (2) и вспоминая, что Г ! — ) у л ~2/ найдем так иазываемое третье Функциональное уравнение для гамма-функции (Лежандр): Г (г) Г ~г+ — 1 т, Г (2г).
Ул (1Эг л. Формула Эйлера. Вычислим величину произведения Е Г~ — )Г( — )...Г~ — ), где л — любое положительное число. Для этого напишем произведение в обратном порядке Е=Г( )Г( )...Г~ — ) Ег и „и Я з1п — Мп 2 — Мп (л — 1)— л л л (1ог з-! 51п й— П л з-! Для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество г" — 1 = (г — 1) 1г — е " ) ... (г — е " ) (ср.
корни л-й степени нз 1), откуда — =П~*- ' ) и в пределе при г-+ 1 найдем .=П( .мФ) и перемножим оба выражения. Объедение каждую пару множителей, с по- мощью второго функционального уравнения получаем: Гл ч!Г, специдльиые Функции !91' ббф (ср. проиаводиу!о г" в точке а= !), Переходя в правой части к абсолютным .тп:) ~ вл ) велячиоам и учитывая, что ! — е " ~ =~« " 1~ 2!«!п'— ~ = 2'а!п-л-,' и л будем иметь; л-! л=2 Ца!пй —. л ' Подставляя вто в соот!тошеиие (!4), получаем фора!уху (Эйлер) л $ й. Ортогональные многочлены 91. Ортогональные системы функций. Во многих задачах математической физики встречаются разложения функций в так называемые обобщенные ряды Фурье.
Напомним основные понятия, связанные с такими разложениями. Рассмотрим семейство действительных функций действительного переменного х, заданных на фиксированном интервале (а, 6), быть может, неограниченном. Мы предположим, что эти функции кусочно-гладки н обладают лишь точкрми' 'разрь)ва 1 рода. По аналогви с векторной алгеброй введем понятие скалярного произведения функций семейства. В векторной алгебре скалярным произведением векторов а = (аь аь ..., а„) н Ь = (6!, Ьт, ..., 6„) называют сумму произведений их одноименных координат (а, Ь) = ~ алба.
В соответствии с этим, рассматривая функции ((х) и у(х) как векторы с бесконечным множеством «коордннат> (значений этих функций в отдельных точках интервала (а, Ь)), их скалнрньсм произведением называют «непрерывную сумму произведений одноименных координат», т. е. (), д) = — ) ) (х) д(х) т(х. а Также по аналогии с векторной алгеброй вводятся и другие понятия. тторл!ой («длиной») функции )(г) называют квадрат- з х .ОРтогонлльныя многочлсны гв1 пый корень из ее скалярного квадрата: Введенные поняТия обладают и некоторыми свойствами, аналогичными обычнкгм.
Например, очевидно, что в наших' пр' дположепиях !Л=' 0'в том и только в том случае, когда 1(х)'= — 0' (мы не учитываем значения функций в точках разрыва, которые йе оказывают влияния на !Д). Известное из анализа неравенство Буняковского — Шварца г Ь 1' ь ~ Г" (х) д(х) ах~ ( ) Г"'(х) ах ) д'(х) г(х -а а а можно трактовать как свойство скалярного произведения (Ч а)!(!(1!! !!й'!! (3) и т.
д. Функции )(х) и а(х) семейства называются ор~огоналвными, если их скалярное произведение равно нулю; (), л) = ~ ) (х) д (х) ах = О. (4) а В соответствии с этим и система функций (ф„(х)) называется ортогональной, если два любых ее представителя ортогональны друг другу: (ф, ф„)=0, если и Ф а. (), д) = ! ) (х) д (х) ах, а (5) где й(х) обозначает функцию, которая принимает значения, комплексно-сопряженные с д(х). При этом, правда, теряется свойство симметрии скалярного произведения: очевидно, (г, а)=(й,0 Эта система называется, кроме того, нормированной, если нормы всех функций, ее составляющих, равнзя 1.
Введенные определения распространяются и на функции действительного переменного х, принимающие комплексные значения, если под скалярным произведением таких функций понимать вместо интеграла (1) интегра,ч Ь гл. чц. специллъныя Функьн<и Скалярный квадрат функции остается неотрицательным: и (р, 1)= ~(р(х) г<(х О, О и понятие нормы вводится без изменений; также без изменений вводится понятие ортогональной и нормированной системы. Простейшим примером ортогональной системы является система функций <р„(х)=е<иих (п=О, +1, +2, ...). Система не нормирована, ибо ) и )) рх () = $~ 1 ( е'""' )а о<х = ргТ, О но ее легко нормировать, разделив нсе функции на )(Т. Ортогональные системы функций особенно удобно применять для разложения по ним другим функций. В самом деле, пусть функция )"(х) представлена равномерно сходя<цимся рядом по функциям ортогональной системы (<р„(х)) (л = О, 1, 2,...): 7 (х) = со<ра(х) + с,<р, (х) + ...
+ с„<р„(х) + ... (6) Пользуясь свойством ортогональности, легко определить все коэффициенты ряда. Для определения коэффициента с„мы умножаем обе части представления (6) на ф„(х) ") (отчего ряд не перестает равномерно сходиться) и интегрируем по основному промежутку (а, Ь); ь ( ) (х) <р„(х) <тх а = лу' сх ) <рв (х) <р„(х) с(х. в=о а *) Если система 1<р (х)) состоит иа исйствительиых фуииний, то <р (х) = <р„(х). Эта система ортогональна на произвольном интервале длины Т = 2н)<и. В самом деле, при т Ф л имеем (а — л<обое действительное число): и+г С <м-М иа (<р <р„) = е'< -и'их а<х = .
(е«"-"<си — И =О. ы. и < (Ри о) <а О тн1 $2 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛВНЫ 607 В силу ортогональности системы все интегралы справа, кроме одного, для которого й = п, исчезнут, и мы получим: ~ Г (х) ф„(х) йх = с„~~ ф„112, а откуда с„ = , ~ Г (х) ф (х) йх а (7) Г (х) = ~ с„е'""", (см. п. 70), а формулы (7) — с обычными формулами Фурье т с„= — ) )(х) ега «йх. 1 Г 0 Для дальнейшего изложения важную роль играет так называемая ортогонализация системы функций, т.
е. замена функций системы ф„(х) такими их линейными комбинациями 2р„(х), которые образуют ортогональную систему. При доказательстве возможности ортогонализации мы будем предполагать, что система (ф„(х)) линейно независима. Это так же, как в векторной алгебре, означает что ни одна нз функций снстсмы не может быть представлена как линейная комбинация каких-либо других функций той же системы. Теорем а об ар таган а л из а ци и. Какова бы ни была линейно независимая система функций (ф„(х)) (и = О, 1,2, ...), всегда можно построить функции ф"„(х), которые являются линейными комбинациями фА(х) и образуют ортогональную нормированную систему. В качестве функции ф~~(х) мы возьмем фь(х) = фь(х), 1 (мы предполагаем, что система (фа(х)) не содержит функций, равных тождественно нулю). Ряд вида (6) называется обобщенным рядом Фурье функции Г(х) по ортогональной системе (ф„(х)), а формулы (7) для определения его коэффициентов называются обоби1енными Формулами Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
