М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Ю1, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 191 Пользуясь формулой Коши для старших производных из п. 17, находим отсюда первое интегральное представление (Р 1)л Р (х) „, ~3 4„01, (6) с Так как слева и справа здесь стоят аналитические функции х, то последнее равенство, полученное нами для действительных х, 1х~ (1, справедливо и для всех комплексных значений х. Кроме того, легко видеть, что з!п1 в нем можно заменить на сов 1, а интеграл от О до 2п — удвоенным интегралом от О до и.
Мы получим второе интегральное представление многочленов Лежандра (Л а ил а с): Рл(х) = — „~(х+1)еТ вЂ” х'соз1) й. 9 (7) Заменим здесь х+1)1'1 — х'созт=Ь, тогда г(1= ель 9'1 — зхС+ Се и линией интегрирования в плоскости ~ будет слуя1ить вертикальный отрезок, соединяющий точки х+1)1'1 — хг=е'Ф, х — 1 р'1 — х'=е-еФ, так что е1Ф Рл (х) = —— 1 1" й вй л 1 1 ре +91' е 1Ф По теореме Коши зтот отрезок можно заменить дугой окружности ~ Ь ~=1, на которой Ь=е'ь, — 1р -6 а-1р, тогда получим: Ф '9 1 л+ — ) 0 1 '1 1 ~ е'1л+'1 аз 1 ~ е ( .1 ИО 1 )т1 Фх 19 1 9ьз п)1 2 1 Р гол з — х Заменяя здесь х = соз 1р и отделяя справа действительную часть, находим третье интегральное представление Аеногочленов где С вЂ” замкнутый контур, окружающий точку х.
Пусть, в частности, х — действительное число, ~ х ~ ( 1, а С вЂ” окружность с центром в точке х и радиуса $ 1 — х', тогда, полагая ь — х = =)11 — х'е", найдем Ьз — 1=2)/1 — х'еи(х+1з)пт)/1 — х) и, следовательно, Рл (х) = — ~ (х + 1 зш 1 )1~1 — х') Ж. 0 з 2. Ортогонхльныв многочлены Лежандра (Д и рихле): Г~ соз (и+ — ) О с)О Р„(сов ср) = —. ай '2 ф соз Π— соз ф (9) 4) А сии п тот ические формулы для ми о го членов Лежандра. Будем рассматривать в интеграле (8) вместо 8 комплексное переменное Ь=з+ !а и по теореме Коши заменим отрезок интегрирования ( — ф, ф) трехзвенной ломаной 7+П+1П (рнс.
195), получим: 6 тз~с2Р„(совср)= ) + ) + ~; (10) с п сп на отрезке 11, где ~ = в + сН, модуль подын- тегральной функции ! с (з+ —,) С -с (з+ —,) и :с )ссозз — соз ф )С(созз( — (созф( Рис. 195. М с с — и+з с и )с2Р„(созср)=се ( о 1' соз (ф — са) — соз ф 1~ . (з+ —,)сф и ' зу аа о 1' сот (ф + !а) — соз ф (11) Для приближенной оценки интегралов при больших значениях н воспользуемся методом перевала п. 77. Для больших и с ') функция е ~ зс имеет весьма крутой пик в точке О=О, причем наикрутейшим является спуск, для которого а принимает действительные значения, так что путь интегрирования не 1 нужно деформировать.
Наличие множителя У сот (ф т са) — соз ф с ') -(~+-) а перед е ' 'с лишь усугубляет пик в точке о = О. В самом са( . са деле, сов (ф + са) — сов ф = т 2 в! п(ф .+ — )в1п —, и модуль этого н стремится к нулю при Н-с аа, следовательно, ) — 0 при п Н-+со; на отрезках 7 и 1П имеем Ь= ~ ф+!а, с(Ь=!аса. Переходя к пределу при Н -~ аа, получим из (10): аза гл. уи. спшвихльные Функции )99 множителя ! ! ! 009 (Ф Ш ат) — свв вв ) 0 ~/ хвн — ~в)п(Ф-~! — )~ стремится к бесконечности при о- О и убывает со скоростью показательной функции при а- 00. Таким образом, главную часть интегралов (11) при больших п можно вычислять, ограничиваясь лишь малым интервалом интегрирования О < о ( Ь, на котором Ж ! ! ! е о в г' сов (Ф -~- нт) — ссв Ф / . ят Ув!а Ф у +29)ЕФ °вЂ” 2 С той же степенью точности можно сохранить и оставшуюся часть (й, 00) интервала интегрирования, ибо при больших и ! ') -(в.! — ) а функция е ~ в~ все равно принимает на ней весьма малые значения.
Мы получим тогда для первого интеграла фор- муль! (11): 2 Лналогично оценивается второй интеграл: л ~о 'е в аЪ= 1/ 2 тогда Р„(соз вр) а ~ —, ~(1 — !) е ( в~ — (1+!)е( '1 ър'!~у 2 нли после простых преобразований -++-') --1 Р„(соз ф) у' л ~л+ — ) 2! % е ОРТОГОнАльнь5е многочлены С той же степенью точности мы можем заменить в знаменателе 1 и + — через о и тогда получим окончательно аснлсотопгческую 2 формулу для многочленов Лежандрп (Л а и л а с): 505 '1!л+ ) Ч Р„(соз <р) = 1/— ял Р'51п е (12) На оценке погрешности в полученной формуле мы останавливаться не будем. Из асимптотической формулы видно, что Р, при неограниченном возрастании и стремится к нулю, как !/'у'н. Из той же формулы получается приближенная формула для нулей. функции Р,(созф): (18) тем более точная, чем больше число и.
б) Ф у н к ц н н Л е ж а н д р а. Попытаемся удовлетворить дифференцяальному уравнению для многочленов Лежандра (формула (!8) п. 92): Е ((в) =(1 — ~5) гвл — 2згс'+ п(н+ 1) ю = 0 при нецелых н тем же интегралом (6), каким для целых положительных н представлялся многочлен Р„(х): (!5 1)л Гв (а) = 2л.ы~ .
~ (55 )~+ с (14) Подставив это в уравнение (14), найдем: Е (гв) = 2„+,„; ~ )ле5 (2(о+ 1) ~(~ — з) — (н+2) (~' — 1)) д~= с л+1 ( Л ! (!5-1)л+') ='" Ь' «-." ( с Таким образом, Е!гв) = О, если при обходе контура С функция (!5 — 1!" +' / (Ь) = (! ,)л . 5 ° возвращается к исходному значению. Вырежем из плоскости ~ луч, идущий от точки — 1 до — оо по отрицательной оси, н выберем в качестве С любой замкнутый контур, охватывающий ГЛ. Ш1.
СПЕЦИАЛЪНЫЕ ФУ1!КЦИП езо [9! точки 1, = 1 и Ь = е и нЕ задевающий разреза (рис: 196). При полном обходе такого контура агбар(ь) =(п+ 1) (агй(~ — 1)+ ага(ь+ 1)) — (а+ 2) аги(ь — е) получит приращение (и+ 1) 2п — (и+ 2)2п = — 2п, ибо при этом агд(~ — 1) и агд(~ — е) получат приращения 2п, а агу(~ + !) вернется к исходному значению. Отсюда следует, что прн обходе контура С функция ! (ь) возвращается к исходному значению, т. е.
интеграл (~2 !)а Р.(.)=,.„„1 3Г „-„.„й~, (15) с где С вЂ” контур описанного вида, является решением уравнения (14) при любом п. Этот интеграл называется функцией Леэсандра первого рода. При целых положительных п Р нс. !96. точки ь = ~-1 перестают быть осо- бымц и С можно деформировать в любой контур, окружающий точку ь = е. Следовательно, прн таких и функция Лежандра обращается в обычный многочлеп Лежандра. Так как дифференциальное уравнение Лежандра (14) — второго порядка, то наряду с Р„(е) оно должно обладать еще одним решением, линейно независимым от Р„(е). Такое решение может быть получено нз Р„(г) с помощью одной квадратуры: (16) Действительно, уравнение Лежандра можно переписать в виде — ~(! — Е2) — „1 + и (п + 1) 2е = О; так как Р„(г) ему удовлетворяет, то и — ~(1 — ае) — „" ~ + а(п+ 1) Р„=О. Умножая первое из этих двух уравнений на Р„, а второе на а! и вычитая, находим: — (((! — а2) (Р„М вЂ” !е аР" )1 =О, 9 2.
ОРТОГОНАЛЬНЪ|Е МНОГОЧЛЕНЫ 94! откуда интегрированием получаем (1 — г ) ~Є— „— ю — „~ = С, 2 / дм ДРи~ идг дк) или д (в'! С 2) 2(! и далее н4= Р„(г)С ~ (! — ') р'„! 1 что совпадает с интегралом (16) с точностью до постоянного множителя С. Интеграл (16), нормированный так, что в бесконечности он равен нулю, т. е. (17) обычно называется функцией Лежандра второго рода.
Функции Р„(г) и Я„(г) линейно независимы, ибо Р„(г)-ъ ОО при г-+ ОО, а Я„(г)-90 (нз соотношения 4хР„(г)+(!Я„(г) — О, устремляя г к ОО, получаем сначала а = О, а затем подстановкой какого-либо г получаем р = 0). Как видно из формулы (17), точки ь = -к! являются для функции Лежандра 9,(г) особыми точками логарифмического характера, так что Я„(г) и прн целых н не является много- членом. 6) Сферические функции. Рассмотрим однородный гармонический многочлен 11„(х, у, г) вида (7„(х, у, г)= ~2~~ аы хиу'г 9+4+ = (18): где сумма берется по всем неотрицательным индексам А, 1, т, сумма которых равна и.
Многочлен (7„ удовлетворяет трехмер- ному уравнению Лапласа 42(l = " + —.+ =О. дЧ/и д9г4и д2С4и дки дуи дки (19) В сферических координатах х = гз!и О соя 4р, у = г ып О з(п 4р, г = г соз О гармонический многочлен представляется в виде (7„(х, у, г) = г" У„(О, 49), (20) где ӄ— многочлен относительно созО, соз49, з!НО, з!Н4Р. Функция У„(О, 4у) называется сферической функцией н-ео порядка. (9( ГЛ.
ЧИ СПЕЦИАЛЬИЫГ ФУНКЦИИ Непосредственным дифференцированием по к, у и г под знаком интеграла мы убеждаемся в том, что 2((+ 1 многочленов степени а: ) (г+!х сов(+!уз!п!)" совт(сй (т=О, 1, 2, .... и), (21) ~ (г + (х сов | + (у яп !)" яп тт с(! (т = 1, 2, ..., гт) (при т ) и интегралы равны нулю в силу ортогональности тригонометрических функций), являются гармоническими мно- гочленами. Можно доказать, что они образуют максималь- ную') линейно независимую систему многочленов степени а. Вводя сферические координаты и пользуясь представле- ниями (20). мы получаем из (21) систему (2а+1) сфериче- ских фуикций: ) [сов О+(в!пОсоз(г — ф)]" сов т!((Г, [ [сов 8 + ( в!п О сов (! — ф))" в(п т( о(г.
Л Заменяя в этих интегралах ! — ф = т, мы представляем их и виде [сов 8 + т яп О сов т[ ~ . ~ т (ф + т) с(т. Пользуясь теперь известным свойством периодических функций, по которому интеграл по отрезку длины, равной периоду, не зависит от положения этого отрезка, мы заменяем отрезок интегрирования [ — и — (р, и — ф) отрезком [ — и, и[. На(гонец, разлагая сов(И(ф+т) по известной формуле н пользуясь нечетностью функции ыптт, мы получаем окончательные выражения системы (2п+1) сферических функций и-го порядка: совтф ~ (совО+(ып8совт)" совттг!т (т=О, 1,2, ..., и), (22) яп пир ) (созО+('в!пОсовт)" созттс(т (т=1, 2, ..., и).
') Это означает, что любой гармонический многочлен У (к,у,г] степени а можно прелстааить как линейную комбинацию многочленон (2!). оя $2. ОРТОГОНАЛЬНЬ4Е МНОГОЧЛЕНЫ Коэффициенты при совп44р и в)пт4р в выражениях (22) равны; отличающиеся от них лишь постоянным множителем функции Р„, (сов О) = — ) (сов О+1в1НО сов т)" сов п4тс(т (23) называются присоединенными функциями Лежандра. В частности, Р„, (сов О) = -- ~ (сов О + 4 з 1п О сов т)" 4(т = Р„(сов О) о совпадает с многочленом Лежандра (мы воспользовались интегральным представлением Лапласа (7)). Таким образом, систему (2п+1) сферических функций п-го порядка можно представить в виде Р„(сов О); Р„„(сов О) сов пир, Р„, „(сов О) в(п пнр, (24) где т = 1, 2, ..., п и Є— присоединенные ф)нкцни Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
